Capítulo 2. LA RAZÓN Y LA PROPORCIÓN EN ELEMENTOS DE EUCLIDES
2.3 La teoría de la razón y la proporción en el libro VII de Elementos de Euclides
2.3.2 Proposiciones del libro VII de Euclides
Este apartado pretende estudiar algunas de las 39 proposiciones contenidas en el libro VII de Elementos de Euclides. Consideramos a Guacaneme (2012, p.120) para clasificar las proposiciones de libro V estudiadas con anterioridad. Las proposiciones del libro VII se estudian porque ya conocemos la definición de números proporcionales propuesta por Euclides, pero no conocemos la manera en que dichos números se relacionan. Por otra parte, recalcamos que un estudio particularizado de cada una de las proposiciones estaría fuera de los alcances temporales de este trabajo de grado, razón por la cual a continuación ejemplificamos e interpretamos algunas proposiciones de los grupos propuestos.
2.3.2.1 Grupo 1: Proposiciones que relacionan números con números
Este grupo hace referencia a proposiciones que relacionan números, sin considerar igualdades entre razones que los involucren. A este grupo pertenecen las proposiciones 1, 15, 16, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 37 y 38, que es el grupo más numeroso. Consideremos, por ejemplo, la siguiente proposición:
Libro VII, proposición 24: Si dos números son primos respecto a otro número, también el producto será número primo respecto al mismo número. (Puertas, 1994, p. 146)
Para ejemplificar esta proposición es necesario conocer el concepto de número primo propuesto por Euclides. Dicho concepto se contempla en la definición 12 del libro VII:
Libro VII, definición 12: Un número primo es aquél que sólo es medido por la unidad. (Puertas, 1994, p. 116)
Para interpretar esta definición recordamos el significado otorgado a la palabra “medir”, que se interpreta como submúltiplo en el contexto del libro VII de
26
Elementos de Euclides. Interpretamos el significado de números primos como
aquellos números cuyos submúltiplos son únicamente la unidad, esto excluyendo la idea de que un número pueda ser medido por sí mismo. Por ejemplo el número 5 es primo porque su único submúltiplo es la unidad.
Consideremos ahora la definición de números primos entre sí:
Libro VII, definición 13: Números primos entre sí son los medidos por la sola unidad como medida común. (Puertas, 1994, p. 116)
Podemos considerar los números 8 y 9, los cuales solo tienen por medida común a la unidad.
Regresando al estudio de la proposición 24 nos disponemos a dar nuestra interpretación mediante un ejemplo: Consideremos los números 7, 8, 9. En la pareja (7,9) los números son primos relativos. De igual forma en la pareja (8,9) los números son primos relativos. Y al tener en cuenta el producto de 7 y 8, que es 56, los números de la pareja (56,9) también resultan ser primos relativos, tal como lo afirma la proposición.
A continuación exponemos el siguiente grupo de proposiciones
2.3.2.2 Grupo 2: Proposiciones que relacionan números con proporciones
Este grupo está conformado por las proposiciones 17, 18, 19 (parte 2) y 23, haciendo referencia a proposiciones cuyos enunciados inician mencionando relaciones entre números y finalizan concluyendo “igualdad” entre las razones que los involucran, es decir proporciones. Consideremos la proposición 18:
Libro VII, proposición 18: Si dos números, al multiplicar a un número cualquiera, hacen ciertos números, los resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados. (Puertas, 1994, p. 140)
Tengamos en cuenta la pareja de números (3,4). El producto de esta pareja y el número 7 es la pareja (21, 28). La razón que hay entre 21 y 28 es la misma razón que hay entre 3 y 4. Usando una simbología moderna podemos expresar esta idea como:
27 ( ) Y de forma generalizada: ( ) Siendo números naturales mayores que 1.
Consideremos ahora el siguiente grupo de proposiciones que relaciona proporciones y números.
2.3.2.3 Grupo 3: Proposiciones que relacionan proporciones con números
Este grupo lo conforman las proposiciones 19 (parte1), 21, 22, con la característica que sus enunciados mencionan números que guardan la misma razón y concluyen alguna propiedad entre los mismos.
Consideramos importante resaltar un cuestionamiento que surgió a partir del estudio de la proposición 21.
Libro VII, proposición 21: Los números primos entre sí son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos. (Puertas, 1994, p. 144)
La primera vez que estudiamos esta proposición se planteó el siguiente cuestionamiento:
- ¿Esta proposición es una definición de números primos entre sí?
La pregunta surgió en vista de que la proposición contiene la palabra “son” que es un verbo que se usa en muchas ocasiones para definir un grupo de varios elementos. Sin embargo, explicamos que las definiciones no se demuestran, y esta proposición tiene una demostración en el libro VII de Euclides por lo cual no se considera una definición.
28 El segundo cuestionamiento fue:
- ¿La proposición tiene una estructura de implicación (si, entonces)? Sugerimos examinar la demostración de la proposición:
Sean números primos entre sí.
Digo que son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Pues, si no, habrá algunos números menores que que guarden la misma razón que . Sean .
Así pues, como los números menores de los que guardan la misma razón miden a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor, es decir, el antecedente al antecedente y el consecuente al consecuente, entonces mide a el mismo número de veces que .
Pues cuantas veces mide a , tantas unidades habrá en . Por tanto, mide a según las unidades de . Pero, puesto que mide a según las unidades de , entonces mide a según las unidades de . Luego, por lo mismo, mide también a según las unidades de . Entonces mide a que son primos entre sí. Lo cual es imposible. Luego no habrá algunos números menores que que guarden la misma razón con .
Por consiguiente, son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos. (Puertas, 1994, p. 144)
La expresión “pues si no” indica que la proposición se demostrará por reducción al absurdo. La hipótesis es que “ son primos entre sí”, y la tesis es que “ son los menores de aquéllos que guardan la misma razón entre ellos”.
29
Considerando que se trata de una demostración por contradicción, suponemos que tiene la estructura si, entonces…, por lo cual hay que tener en cuenta la negación de una implicación:
( ) ( ) son primos entre sí.
son los menores de aquellos que guardan la misma razón entre ellos. no son los menores de aquellos que guardan la misma razón entre ellos.
Estudiando esta proposición concluimos que no es necesario que las proposiciones cuya estructura sea de la forma “si,… entonces” contengan de manera explícita estas dos palabras en sus enunciados. Adicionalmente deseamos enfatizar que para conocer la estructura de una proposición es pertinente considerar su demostración.
A continuación un ejemplo de nuestra interpretación de la proposición 21, libro VII de Elementos:
Consideremos las parejas de números (16,30), (32,60), (24,45) que guardan la misma razón entre ellos. Existe la pareja (8,15) que es la pareja compuesta por dos números menores a los dados, de tal forma que se guarde la misma razón. Por consiguiente los números 8 y 15 son primos entre sí.
Ahora presentamos el siguiente grupo de proposiciones, el grupo 4:
2.3.2.4 Grupo 4: Proposiciones que relacionan proporciones con proporciones
Este grupo está conformado por proposiciones donde la hipótesis y la tesis se caracterizan por involucrar igualdad entre razones de números. El grupo lo componen las proposiciones 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20. Estudiemos la proposición número 9 para ejemplificar este grupo:
30
Libro VII, proposición 9 : Si un número es parte de un número y otro número es la misma parte de otro, también, por alternancia, la parte o partes que el primero es del tercero, la misma parte o partes será el segundo del cuarto. (Puertas, 1994, p.131)
Consideremos la siguiente proporción:
Es decir, la parte que 5 es de 15 es la misma parte que 10 es de 30. La proposición indica que a partir de este hecho se puede establecer la siguiente proporción:
Estudiemos ahora el último grupo de proposiciones:
2.3.2.5 Grupo 5: Proposiciones que no presentan estructura condicional
Las proposiciones de este grupo se caracterizan por no tener una estructura condicional de la forma “si,… entonces”, en vez de ello presentan proposiciones
problema, es decir, proposiciones que establecen un método para hallar un
número relacionado con los conceptos de la teoría. Por ejemplo, un método para hallar la medida común máxima entre dos números o el número al que dichos números miden. Las proposiciones que pertenecen al grupo 5 son: 2, 3, 4, 33, 34, 36, 39.
A continuación consideremos la proposición 4 para ejemplificar este grupo:
Libro VII, proposición 4: Todo número es parte o partes de todo número, el menor del mayor. (Puertas, 1994, p. 126)
Consideremos la demostración de esta proposición:
Sean dos números y sea el menor . Digo que es parte o partes de . Pues o son primos entre sí o no lo son. En
31
primer lugar sean primos entre sí. Entonces, si se divide en las unidades que hay en él, cada unidad de las que hay en será alguna parte de ; de modo que es partes de .
Ahora no sean primos entre sí; entonces o mide a o no (lo mide). Si en efecto mide a , es parte de Pero, si no, tómese la medida común máxima, , de , [VII, 2]2 y divídase en los (números) , , iguales a . Ahora bien, como mide a , es parte de pero es igual a cada uno de los números) , , ; luego cada uno de los números) , , es también parte de A. De modo que es parte de . Por consiguiente, todo número es parte o partes de todo número, el menor del mayor. Q.E.D. (Puertas, 1994, p. 126).
Esta demostración está dividida en tres casos:
1) Se asume que los números y son primos entre sí concluyendo que es partes de . Por ejemplo podemos considerar los números 5 y 6, pues ambos son primos entre sí y 5 es “partes” de 6.
2) Se asume que y no son primos entre sí considerando que divide a y se concluye que es parte de . Por ejemplo los números 6 y 12, pues 6 y 12 no son primos entre sí y 6 divide a 12.
3) Se asume que y no son primos entre sí considerando que no divide a . Hallando el máximo común divisor de y se pueden determinar las partes que es de . Se concluye que es partes de . Por ejemplo los números 6 y 8 que no son primos entre sí y 6 no divide a 8. El máximo común divisor entre 6 y 8 es el número 2. De esta manera puede afirmarse que 6 es partes de 8 porque 6 es el triplo de la cuarta parte de 8.
2
32
De esta manera finalizamos nuestro estudio de los libros V y VII de Elementos de Euclides, el cual nos ha permitido adquirir algunas ideas relacionadas con razones y proporciones.