Antes de describir el protocolo por el que se identifican los arcos se explicar´an los conceptos que entran en la definici´on de arco:
Part´ıculas de soporte: se considera que dos part´ıculas en contacto con el grano i pueden servir de soporte s´olo si cada part´ıcula est´a a un lado de i y la l´ınea que une los dos puntos de contacto, que se denominar´a segmento de contacto, est´a por debajo del centro de masas de i.
La presencia de las fronteras formadas por las paredes del silo hace necesario tener en cuenta las siguientes observaciones: si uno de los contactos es con la pared, se considera que la coordenada vertical de ´este es la misma que la de la part´ıcula i. Los granos que alcanzan el reposo en la base del dep´osito son siempre estables. Si el grano i tiene, en un instante dado, un s´olo contacto, ´este es
Figura 4.1: Esquema de un arco t´ıpico. Las part´ıculas j y m est´an a ambos lados de la part´ıcula i con el segmento que une sus centros de masas pasando por debajo del centro de masas de i. Por tanto, j y m soportan a la part´ıcula i. De la misma manera, la part´ıcula j est´a soportada por k e i. En este ejemplo, j soporta a i (con m) e i soporta a j (con k) y, por tanto, i y j son mutuamente estables. Del mismo modo se puede razonar que k y j son mutuamente estables, pero no k y 1 porque k no puede soportar a 1: el segmento de contacto k − 2 est´a por encima del centro de masas de 1 y el par k − 3 est´a al mismo lado de 1. Por tanto, 1 ser´a una de las bases del arco.
considerado un contacto estabilizante potencial ´unicamente si su centro de masas est´a por debajo
del de i. Los contactos con las paredes no se consideran un contacto estabilizante potencial. Part´ıculas mutuamente estables: Dos part´ıculas i y j son mutuamente estables si i soporta a j
y j soporta a i.
Para identificar los arcos es preciso encontrar las dos part´ıculas que son soporte de cada grano del sistema, una vez identificados los soportes los arcos pueden identificarse de la siguiente forma [111]: primero se encuentran todas las part´ıculas mutuamente estables -que se definen como directamente conectadas- y los arcos se encuentran como cadenas de part´ıculas directamente conectadas.
Los conceptos introducidos para definir un arco pueden verse de forma gr´afica en la figura Fig. 4.1 d´onde se representa de forma esquem´atica un arco t´ıpico, como los que se pueden formar en un dep´osito granular.
A medida que el dep´osito se forma, los granos colisionan y se separan muchas veces, de forma complicada. Cada vez que se produce un contacto, es posible saber si alguna de las dos part´ıculas contribuye a la estabilidad de la otra y almacenar esta informaci´on, o borrarla si los granos se separan. Cuando ya no se produzcan cambios en la informaci´on de cada grano, el dep´osito se considerar´a formado y cada part´ıcula tendr´a dos contactos responsables de su estabilidad (el
n´umero total de contactos ser´a mayor).
Para identificar los contactos estabilizantes se mantiene, a lo largo del proceso de sedimenta- ci´on, una lista doble que contiene los contactos estabilizantes de cada grano. As´ı, el lugar k-´esimo de la lista contiene los ´ındices de los granos que, en ese instante, dan soporte a la part´ıcula k- ´esima. Al principio, todas las entradas est´an vac´ıas y se van llenando y actualizando a medida que progresa la sedimentaci´on. Para llenar la lista se utiliza un protocolo, detallado a continuaci´on,
que se aplica iterativamente en cada paso de integraci´on las veces que sea necesario, hasta que la
(o nL(i) = −1). Hay seis posibles situaciones que pueden surgir dependiendo de la situaci´on de estabilidad de la part´ıcula antes de la actualizaci´on, y dentro de cada caso se presentan distin- tas opciones en funci´on de las nuevas posiciones de las part´ıculas tras actualizar las posiciones. Algunas situaciones plausibles no se han considerado bien por no ser posibles en la pr´actica o porque son extremadamente poco probables. La figura Fig. 4.2 muestra un resumen de los casos m´as relevantes.
Caso (a): Aqu´ı el grano i reposaba sobre la base del contenedor. Se comprueba si permanece en dicha situaci´on; si no lo est´a, se pone nR(i) = nL(i) = −2.
Caso (b): El grano i estaba soportado (antes de la actualizaci´on de posiciones) por dos part´ı- culas cuyos ´ındices estaban almacenados en nR(i) y nL(i). Se comprueba si estas part´ıculas siguen dando soporte a i; si no, los soportes se redefinen tomando en cuenta varias posibles situaciones:
(1) nR(i) y nL(i) a´un est´an en contacto con i, nR(i) est´a a´un a la derecha y nL(i) a la
izquierda y el segmento de contacto est´a bajo el centro de masas de i; entonces, nR(i) e nL(i) no cambian.
(2) Ni nR(i) ni nL(i) est´an en contacto con i, entonces nR(i) = nL(i) = −2.
(3) Si s´olo falta uno de los contactos, ´este se pone a −2. Adem´as, se comprueba que el restante est´a en el lado que le corresponde y por debajo de i; de no ser as´ı, tambi´en este contacto es puesto a −2.
(4) nR(i) y nL(i) est´an a´un en contacto con i, pero uno de los dos ha cambiado de lado
(sup´ongase que nR(i) se ha desplazado hasta la izquierda de i). Entonces, (i) nL(i) ser´a, de los dos contactos, el que menor coordenada vertical posea, y (ii) nR(i) = −2.
(5) nR(i) y nL(i) est´an a´un en contacto con i, cada uno en el lado que le corresponde pero
el segmento de contacto ya no est´a por debajo del centro de masas de i. Entonces, se pone nR(i) = −2 ´o nL(i) = −2, el que tenga mayor coordenada vertical.
Caso (c): Este caso corresponde a un grano con un primer contacto estabilizante potencial. Sup´ongase que ´este corresponde a nR(i). Es necesario comprobar que nR(i) permanece en su lugar y si un nuevo contacto puede completar la condici´on de estabilidad.
(1) nR(i) est´a a´un en contacto con i y a su derecha. Entonces, se busca una part´ıcula j (o
pared) que est´e en contacto con i de manera que el segmento de contacto est´e por debajo del centro de masas de i. Si se encuentra, se pone nL(i) = j.
(2) nR(i) est´a a´un en contacto con i, pero se ha desplazado a la izquierda. Entonces, nL(i) =
nR(i) y nR(i) = −2.
(3) nR(i) no est´a en contacto con i, entonces nR(i) = −2.
Caso (d): Este caso es similar al (b) pero una de las paredes verticales del contenedor toma el papel de una de las part´ıculas que dan soporte a i. Sup´ongase que i se apoya en la pared derecha, es decir, nR(i) = −1. Los soportes se redefinen de acuerdo con las siguientes posibles situaciones:
Figura 4.2: Resumen esquem´atico de los posibles estados de estabilidad de un grano i en un momento dado junto a la actualizaci´on que le corresponde.
se pone a −2; (ii) si el contacto restante es nR(i) (la pared), entonces nR(i) = −2, si no,
comprobar que nL(i) est´a a´un a la izquierda y por debajo de i; y si no lo est´a, nL(i) = −2.
(4) nR(i) y nL(i) est´an a´un en contacto con i, pero nL(i) no est´a a la izquierda de i;
entonces, nR(i) = nL(i) y nL(i) = −2.
(5) nR(i) y nL(i) est´an a´un en contacto con i, nL(i) est´a a´un a la izquierda pero el centro
de masas de i no est´a por encima del segmento de contacto; entonces, nR(i) = nL(i) = −2 Case (e): Este caso corresponde a un grano que estaba en el aire (nR(i) = nL(i) = −2) antes de actualizar las posiciones. Es preciso comprobar si hay nuevos contactos y si son soportes potenciales. Previamente se ha comprobado que i est´a cayendo, no subiendo tras un rebote. Hay dos posibles situaciones:
(1) El grano i entra en contacto con la base del contenedor, entonces nR(i) = nL(i) = −1. (2) El grano i entra en contacto con otro j; si i tiene coordenada vertical mayor que j se
pone nR(i) = j ´o nL(i) = j, seg´un en qu´e lado est´e j.