Se ordenan las medias de tratamientos de mayor a menor
En un ejemplo de un diseño bloques al azar se tienen las siguientes medias.
Tratamientos. Medias 6 10.25 5 8.75 1 8.50 2 8.50 4 7.50 3 6.75
Se calcula el Error Estándar ( EE ) de la diferencia de medias
Cuando se tiene diferentes número de repeticiones por tratamiento
EE = CME [1 ni + 1 nj]
DONDE:
EE = Error Estándar
CME = Cuadrado Medio del Error
ni = Número de repeticiones de las media i nj = Número de repeticiones de la media j
Sí los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, entonces el Error Estándar es. EE = (CME) r En el ejemplo el EE es: EE = (0.275) = 0.2622 4
Se obtiene de las tablas para la prueba de Duncan los valores de Rangos Estudentizados ( RE ) con:
α = nivel de significancia ( 0.05 y/o 0.01 ) gl = grados de libertad del error
Para el ejemplo se tiene que:
α = 0.05; p = 2, 3, 4, 5, 6
gl = 15; entonces los Rangos Estudentizados ( RE ) son:
p = 2 3 4 5 6
RE = 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36
Se obtienen los Rangos Mínimos Estudentizados (RME) multiplicando los Rangos Estudentizados (RE) por el Error Estándar (EE) (0.2622).
p = 2 3 4 5 6 RE = 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 RME = 0.79 0.83 0.85 0.87 0.88
Se comparan las medias, de tal forma que si el valor absoluto de la diferencia de dos medias es mayor que Rango Mínimo Estudentizado (RME) correspondiente, entonces se rechaza la hipótesis nula: Ho = μi = μj.
En el ejemplo la comparación de medias es:
10.25 - 8.75 = 1.50 0.790 → medias diferentes 8.75 - 8.50 = 0.25 0.790 → medias iguales 8.75 - 7.50 = 1.25 0.790 → medias diferentes 8.50 - 7.50 = 1.00 0.790 → medias diferentes 7.50 - 6.75 = 0.75 0.790 → medias iguales
Los resultados se presentan en una tabla en donde las medias estadísticamente iguales (que no son diferentes) se identifican con la misma letra.
Tratamientos. Medias 6 10.25 a 5 8.75 b 1 8.50 b 2 8.50 b 4 7.50 c 3 6.75 c
Con respecto a los resultados del ejemplo, se concluye que el tratamiento 6, es el que mostró ser diferente estadísticamente a los demás; y que los tratamientos 5, 1 y 2 respectivamente estadísticamente no son diferentes; así mismo los tratamientos 4 y 3 estadísticamente no son diferentes.
Sí en el ejemplo, la variable a evaluar es rendimiento, entonces se dice que el tratamiento 6 fue el que produjo el mayor rendimiento, por lo tanto se considera que fue el mejor. Sin embargo, si los tratamientos a evaluar fueran la aplicación de un producto químico u orgánico para reducir el porcentaje de infestación de un patógeno, y la variable fuera numero de plantas enfermas después de la aplicación de los tratamientos en este caso el tratamiento 3 es el que se recomendaría.
‘’Las características del diseño siempre triunfan sobre las características del análisis‘’ G. E. Dallal
‘’100% de todos los desastres son fallas del diseño no del análisis’’ Ron Marks
‘’Proponer que la pobreza del diseño pueda ser corregida por sutiles técnicas de análisis, es contrario al buen pensamiento del científico’’
Stuart Pocock
EXPERIMENTOS FACTORIALES
Los experimentos factoriales: Son en los que se estudian más de dos factores
simultáneamente, de modo que los tratamientos se forman por las combinaciones de los niveles de cada factor.
Un experimento factorial no constituye un nuevo diseño experimental, sino un diseño para la formación de los tratamientos.
Los experimentos factoriales pueden ser conducidos bajo los lineamientos de un diseño experimental completamente al azar, bloques completamente al azar y cuadro latino.
Los experimentos factoriales son ampliamente utilizados y son de gran valor en el trabajo exploratorio cuando se sabe poco sobre los niveles óptimos de los factores o ni siquiera que factores son importantes.
Estos experimentos son útiles también en campos de estudios más complejos en los que se sabe que un factor no actúa independientemente sino en estrecha relación con otros
factores.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS Ventajas:
Permite obtener más información que en un experimento de un solo factor, ya que se estudian los efectos principales, los efectos simples, los efectos cruzados y de interacción entre factores.
Todas las unidades intervienen en la estimación de los efectos principales y de interacción, por lo que el número de repeticiones es elevado para estos casos.
El número de grados de libertad para el error experimental es alto, comparándolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los mismos factores, lo que contribuye a disminuir la variancia del error experimental, aumentando por este motivo la precisión del experimento.
Desventajas:
Se requiere un mayor número de unidades experimentales que en los experimentos con un solo factor.
Dado que todos los niveles de un factor se combinan con todos los niveles de los otros, por requerimientos del análisis estadístico se tendrá que algunas combinaciones que no son de interés por el investigador, serán también incluidas en el experimento.
El análisis estadístico y la interpretación de los resultados son más complicados que en los experimentos con un solo factor, y la dificultad aumenta considerablemente conforme mas factores son incluidos.
Notación y Definiciones:
FACTORIAL.- Es una combinación de factores para formar tratamientos.
Factor: Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o característica. Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilización, variedades de cultivo, manejo de crianzas, etc.
Es aquel donde los valores son controlados y cuyo efecto será evaluado en los resultados del experimento.
Los factores son designados por letras mayúsculas: Por ejemplo en un experimento donde se evalúan 3 densidades de siembra con 4 dosis de nitrógeno y 2 variedades de maíz por unidad experimental, el factor densidad de siembra se denota con la letra A, el factor dosis de nitrógeno con la letra B y las variedades de maíz con la letra C.
Niveles de un factor: Son valores que son estudiados dentro de un factor
Los niveles de un factor son denotados con letras minúsculas con subíndices. Por ejemplo, las 3 densidades de siembra se denotan por a1, a2, a3, las 4 dosis de nitrógeno por b1, b2, b3,
b4 y las 2 variedades de maíz se denotan por c1 y c2.
Una combinación de letras minúsculas con sus respectivos subíndices es utilizar para denotar una combinación de los niveles de los factores. Por ejemplo la combinación a2, b2, c1
denotara el tratamiento conformado por la aplicación de la densidad a2 de semilla con la
dosis b2 de nitrógeno y la variedad c1 de maíz.
Ejemplos:
Factor: Distancia de siembra en un cultivo. Niveles: 40, 60 y 80 cm;
Factor: Aplicación de Nitrógeno.
Niveles: 10, 20, 30 y 40 kg por parcela:
Factor: Dosis de vitamina B12 en la alimentación de cerdos.
Niveles: 5, 10 y 15 µ lb-1 de ración alimenticia
Factor: Fármacos utilizados para inducir la relajación muscular. Niveles: Innovar, Droperidol, Fentanyl.
TIPOS DE FACTORES:
Dependiendo de la naturaleza de los niveles de los factores, estos pueden ser: Cualitativos o Cuantitativos; en el ejemplo de densidades de siembra (factor A) y dosis de nitrógeno (factor B), son Cuantitativos, las variedades de maíz (factor C), son Cualitativos.
En el caso de factores Cuantitativos, estos pueden ser igualmente espaciados o no. Por ejemplo para el factor B, niveles de nitrógeno (0, 10, 20 y 30 kg por parcela) y de (10, 20, 40 y 80 kg por parcela) constituirían niveles igualmente espaciados y no igualmente espaciados respectivamente.
Adicionalmente, los factores pueden ser fijos o al azar, dependiendo de la forma en que son seleccionados sus niveles.
Un experimento factorial con todos sus factores fijos corresponderá a un modelo I o de efectos fijos.
Un experimento factorial con todos sus factores aleatorios corresponderá a un modelo II o de efectos aleatorios.
Un experimento factorial con algunos factores fijos y otros aleatorios corresponderá a un modelo III o de efectos mixtos.
TIPOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES:
Un experimento factorial queda definido por el numero de factores y niveles de cada factor.
Un experimento factorial puede ser denotado utilizando las letras correspondientes a los factores antecedidas por el numero de niveles correspondiente a cada uno. Por ejemplo, el experimento con 3 niveles del factor A, 4 del factor B y 2 del factor C puede ser denotado por 3A 4B 2C o simplemente 3X4X2.
EFECTOS EN LOS EXPERIMENTOS FACTORIALES:
Efecto Simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de los demás factores.
Efecto Principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de los otros factores.
Efecto de Interacción: Esta dado por la variación que tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a otro de otro factor.
Efecto Cruzado: Esta dado por las combinaciones cruzadas de dos factores. Modelo Estadístico (DCA)
Yijk = µ + αi + βj + (α β )ij + Єijk
i = 1,…., p j = 1,…., q k = 1,…., rij
Donde:
Yijk = Es el valor o rendimiento observado con el i-esimo nivel del factor A, j.esimo nivel del
factor B, k.esima repetición.
µ = Es el efecto de la media general.
αi = Es el efecto del i-esimo nivel del factor A. βj = Es el efecto del j-esimo nivel del factor B.
(α β)ij = Es el efecto de la interacción en el i-esimo nivel del factor A, j-esimo nivel del
Єijk = Es el efecto del error experimental en el i-esimo nivel del factor A, j-esimo nivel del factor B, k-esima repetición.
p = Es el numero de niveles del factor A. q = Es el numero de niveles del factor B.
rij = Es el numero de repeticiones en el i-esimo nivel del factor A, j-esimo nivel del factor B.
Ejemplos de factoriales
En un experimento con arreglo combinatorio y distribución en cinco bloques al azar, se estudiaron cuatro variedades de maíz y tres dosis de nitrógeno (kg ha-1). Los rendimientos
de grano seco en ton ha-1 fueron los siguientes.
No. de Tratamiento Variedad Dosis Kg ha-1 Bloques I II III IV V Suma de Tratamientos xi. 1 H-1 50 3 2 3 3 2 13 2 100 4 4 4 5 5 22 3 150 6 5 6 7 6 30 4 H-2 50 5 5 6 6 5 27 5 100 6 5 6 7 7 31 6 150 7 8 8 9 8 40 7 V-1 50 2 1 1 2 1 7 8 100 2 2 3 3 2 12 9 150 5 4 5 6 6 26 10 V-2 50 4 5 4 3 2 18 11 100 6 6 5 5 4 26 12 150 7 8 7 8 8 38 Suma por Bloque X..k 57 55 58 64 56 290
Estudio de la interacción variedad por dosis. Suma de cinco repeticiones. Variedad Dosis
50 100 150
Suma por Variedad Xi..
H.1 13 22 30 65 H.2 27 31 40 98 V-1 7 12 26 45 V-2 18 26 38 82 Suma por Dosis X.j. 65 91 134 290
Promedios con base en la unidad experimental Variedad Dosis
50 100 150
Promedio para las variedades Xi H.1 2.6 4.4 6.0 4.33 H.2 5.4 6.2 8.0 6.53 V-1 1.4 2.4 5.2 3.00 V-2 3.6 5.2 7.6 5.47 Promedio Xj 3.25 4.55 6.70 4.83
Para cualquier dosis
Para calcular los promedios, ton ha-1, con base en la unidad experimental, se determinan de
la siguiente manera:
Por ejemplo, el H-1 a la dosis de 50 kg ha-1
La observación de los valores y las líneas de tendencia indican lo siguiente:
a). Todas las variedades aumentan su producción de grano al incrementarse la dosis de nitrógeno.
b). Se manifiesta un paralelismo entre las líneas de tendencia; es decir, hay un efecto aditivo. Aparentemente, no hay interacción; la prueba de F en el análisis de varianza lo confirmara. c). Todas las variedades manifiestan una tendencia lineal. El H-2 y el V-1 indican cierto efecto cuadrático; el análisis de regresión lo revelara.
Procedimiento para el calculo de la S.C.
* Factor de Corrección: F.C. = (GT)2 ∕ abn = (290)2 ∕ 4x3x5 = 84,100 ∕ 60
F.C. = 1,401.67 *S.C. total = ∑X2ijk – F.C.= 32 + 42 + …. + 82 – 1,401.67 S.C. total = 254.33 *S.C. tratamiento = ∑X2ij. ∕ n – F.C. = 132 + 222 + …. + 382 ∕ 5 – 1,401.67 S.C. tratamiento = 229.53 *S.C. bloques = ∑X2..k ∕ ab – F.C. = 572 + 552 + …. + 562 ∕ 4X3 – 1,401.67 S.C. bloques = 4.14
*S.C.error = S.C. total – (S.C. tratamiento + S.C. bloques)
S.C.error = 254.33 – (229.53 + 4.14)
S.C.error = 20.64
División de G.L. y S.C. de los tratamientos: *Factor A:
G.L. = a – 1 = 4 – 1 = 3
S.C.A = ∑X2i.. ∕ bn – F.C. = 652 + 982 +…. 822 ∕ 3 X 5 – 1,401.67
*Factor B: G.L. = b – 1 = 3 – 1 = 2 S.C.B = ∑X2j. ∕ an – F.C. = 652 + 912 + 1342 ∕ 4 X 5 – 1,401.67 S.C.B = 121.43 * Interaccion A X B: G.L. = (a – 1) (b – 1) = (4 – 1) (3 – 1) = 6 S.C.AB = (∑X2ij. ∕ n – F.C.) – (S.C.A + S.C.B) S.C.AB = (132 + 222 +….382 ∕ 5 – 1,401.67 ) – (103.53 + 121.43) S.C.AB = (8,156 ∕ 5 – 1,401.67) - (224.96) S.C.AB = (1,631.20 - 1,401.67) - (224.96) S.C.AB = 229.53 – 224.96.0 S.C.AB = 4.57
A N A L I S I S D E V A R I A N Z A PARA UN EXPERIMENTO CON AREGLO COMBINATORIO Y DISTRIBUCION EN BLOQUES AL AZAR
─────────────────────────────────────────────────── FV GL SC CM Fc Ft ────────────────────────────────────────────────── TRATAMIENTOS (11) (229.53) (20.87) 44.50 2.08 2.80 BLOQUES 4 4.166748 1.041687 2.2214 FACTOR A (Var.) 3 103.533447 34.511150 73.5942 2.81 4.24 FACTOR B (Dosis) 2 121.433350 60.716675 129.4768 3.20 5.10 INTERACCION 6 4.566528 0.761088 1.6230 2.30 3.22 ERROR 44 20.633301 0.468939 TOTAL 59 254.333374 ___________________________________________________________________________ C.V. =√C.M.E. ∕ Media General X 100
C.V. = √ 0.469 ∕ 4.833 X 100 C.V. = 0.6848357 ∕ 4.833 X 100 C.V. = 0.1416999 X 100
T A B L A D E D A T O S
VARIABLE: Rendimiento de grano seco
─────────────────────────────────────────────────── B L O Q U E S A B 1 2 3 4 5 ─────────────────────────────────────────────────── 1 1 3.0000 2.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1 2 4.0000 4.0000 4.0000 5.0000 5.0000 1 3 6.0000 5.0000 6.0000 7.0000 6.0000 2 1 5.0000 5.0000 6.0000 6.0000 5.0000 2 2 6.0000 5.0000 6.0000 7.0000 7.0000 2 3 7.0000 8.0000 8.0000 9.0000 8.0000 3 1 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 3 2 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 2.0000 3 3 5.0000 4.0000 5.0000 6.0000 6.0000 4 1 4.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 4 2 6.0000 6.0000 5.0000 5.0000 4.0000 4 3 7.0000 8.0000 7.0000 8.0000 8.0000 ──────────────────────────────────────────────────
A N A L I S I S D E V A R I A N Z A ─────────────────────────────────────────────────── FV GL SC CM Fc Ft ──────────────────────────────────────────0.05── .01──── REPETICIONES 4 4.166748 1.041687 2.2214 FACTOR A 3 103.533447 34.511150 73.5942** 2.81 4.24 FACTOR B 2 121.433350 60.716675 129.4768** 3.20 5.10 INTERACCION 6 4.566528 0.761088 1.6230 NS 2.30 3.22 ERROR 44 20.633301 0.468939 TOTAL 59 254.333374 Tratamientos 11 229.53 20.87 44.50 2.08 2.80 ─────────────────────────────────────────────────── C.V. = 14.17%
TABLA DE MEDIAS DEL FACTOR A
─────────────────────────────── FACTOR A MEDIA ─────────────────────────────── 1 4.333333 2 6.533333 3 3.000000 4 5.466667 ───────────────────────────────
TABLA DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS AB ───────────────────────────────────────────────── FACTOR B FACTOR A 1 2 3 MEDIA ────────────────────────────────────────────────── 1 2.6000 4.4000 6.0000 4.3333 2 5.4000 6.2000 8.0000 6.5333 3 1.4000 2.4000 5.2000 3.0000 4 3.6000 5.2000 7.6000 5.4667 ─────────────────────────────────────────────────── MEDIA 3.2500 4.5500 6.7000 4.8333
COMPARACION DE MEDIAS DEL FACTOR A
--- TRATAMIENTO MEDIA --- 2 6.5333 a 4 5.4667 b 1 4.3333 c 3 3.0000 d --- NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 0.05 DMS = 0.5046
COMPARACION DE MEDIAS DEL FACTOR B --- TRATAMIENTO MEDIA --- 3 6.7000 a 2 4.5500 b 1 3.2500 c --- NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 0.05 DMS = 0.4370