Réplica del modelo Hadley-Whitin

En este apartado será presentada la réplica del modelo HW que se construyó para esta investigación. Como se mencionó en el apartado 4.2.3, al momento de ser desarrollado el

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modelo en la década de 1960, la tecnología no permitía resolverlo de manera computacional, por lo que los métodos utilizados para encontrar los valores óptimos de R y S incluían, entre otros, al método de Newton, aunque Hadley & Whitin (1963) prefi eren tabular la función de costos como una función de R, encontrando el valor óptimo de S para distintos valores de R, hasta encontrar la combinación que lograra el mínimo valor para el costo total. Actualmente es posible modelar el problema utilizando programación matemática, que es justamente lo que se ha hecho en esta investigación. No obstante, como podrá apreciarse, se ha decidido modelar el problema expresando S como una función de variable, cambiando sólo R, en orden de respetar lo más posible el método original de resolución empleado por los autores.

Se presentará, en primer lugar, el modelo HW considerando backorder, en orden de demostrar la funcionalidad del mismo mediante la resolución de un ejemplo de la obra de Hadley & Whitin (1963) que opera bajo este sistema. Se desarrollará una explicación pertinente para cada elemento del modelo, y luego se expondrán las modificaciones que se necesita efectuar en orden de extender la aplicación a lost sale que, como ya se ha expuesto, corresponden sólo a una pequeña adición a la función objetivo.

Formulación del Modelo:

Parámetros.

𝐶_𝐹 : Costo fijo de emitir una orden.

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ℎ : Holding cost unitario por unidad de tiempo.

𝐷 : Tasa de demanda promedio del ítem por período.

𝐿 : Lead time.

𝜎2 : Varianza de la demanda del ítem por período.

Variables.

𝑅 : Periodicidad del ciclo de revisión del inventario.

Funciones de Variable. 𝑆 =𝑍_𝑆∗ √𝜎2_{∗ (𝑅 + 𝐿) + 𝜇 ∗ (𝐿 + 𝑅): Target Level.} 𝑍𝑆 = 𝑋(1 − 𝛷 ( 𝑆−𝜇∗(𝑅+𝐿) √𝜎2_{∗(𝑅+𝐿)})) 𝜙(𝑥). 𝛷(𝑥).

𝑋(𝛷): Función para recuperar el valor x a partir de la función 𝛷(𝑥).

Restricciones.

93 Función Objetivo. Min{𝐶𝐹 𝑅 + ℎ ∗ [𝑆 − 𝐷 ∗ 𝐿 − 𝐷 ∗ 𝑅 2 ] + 𝑏 𝑅∗ [√𝜎 2_{∗ (𝑅 + 𝐿) ∗ 𝜙(}𝑆 − 𝐷 ∗ 𝐿 ∗ (𝑅 + 𝐿) √𝜎2_{∗ (𝑅 + 𝐿)} ) + (𝐷 ∗ 𝐿 ∗ (𝑅 + 𝐿) − 𝑆) ∗ 𝛷(𝑆 − 𝐷 ∗ 𝐿 ∗ (𝑅 + 𝐿) √𝜎2_{∗ (𝑅 + 𝐿)} )]}

Esta formulación es meramente explicativa, para introducir la técnica aplicada, ya que realmente la réplica fue desarrollada en la plataforma Microsoft Excel 2010, y su programación dista mucho de la estructura aquí expuesta, aunque, por supuesto, es totalmente equivalente. Se elaborará sobre esto de manera posterior, una vez se hayan explicado todos los componentes del modelo. No obstante, debe notarse en este punto la introducción del término 𝐷 ∗ 𝐿, que reemplaza a 𝜇, dado que la demanda esperada durante

el lead time será igual a la demanda esperada de un período multiplicada por la cantidad de períodos que dure el lead time.

Como es posible apreciar, muchos de los parámetros utilizados ya fueron introducidos como parte de la presentación del modelo HW. En particular, es necesario explicar la introducción de 4 funciones de variable como elementos del modelo, la función

𝑍_𝑆, la función 𝜙(𝑥), la función 𝛷(𝑥), y la función 𝑋(𝛷). Es preciso hacer notar que estas

funciones son utilizadas por los autores del modelo para resolver numéricamente la integral que expresa el valor estimado del backorder promedio en un período de operación.

En primer lugar, dada la ecuación (HW-9), Hadley & Whitin (1963) definen que Ĥ(𝑅; 𝑆) = ∫ ĥ(𝑥; 𝑅) ⅆ𝑥_𝑆∞ = 𝛷(𝑆−𝜇∗(𝑅+𝐿)

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tabulada en la obra de Axsäter (2006), en el apéndice 2. Sin embargo, es preciso exponer que Axsäter define la función como 𝛷(𝑥) = ∫_−∞𝑥 𝜙(𝑣) ⅆ𝑣, es decir, con los límites de

integración invertidos respecto a la definición de Hadley & Whitin (1963)1. Ahora bien, la réplica del modelo HW fue construida utilizando la tabulación de Axsäter (2006), por lo que para obtener los resultados realmente deseados, la réplica presentada del modelo HW, al utilizar la función 𝛷(𝑥) para computar cierto valor, debe usarse con una pequeña

corrección. Al utilizar x para obtener 𝛷(𝑥), no se contará con el resultado buscado, sino

que lo que realmente se necesita es aplicar un paso adicional, y obtener el valor de 1 −

𝛷(𝑥). Podrá apreciarse que el ejemplo a referirse posteriormente será especialmente

esclarecedor en este respecto. De momento, las tablas con las funciones 𝛷(𝑥) 𝑦 𝜙(𝑥)

tabuladas, extraídas de Axsäter (2006), se encuentran en el anexo n°1.

En cuanto a la función 𝜙(𝑥), Hadley & Whitin (1963) hacen referencia a que el

promedio de backorders en que su modelo incurre anualmente puede ser calculado combinando la ecuación (HW-5) con la ecuación 25 del apéndice 4 de su libro, que se expresa como: 1 𝜎∫ (𝑥 − 𝑟) ∗ 𝜙( 𝑥−𝜇 𝜎 ) ⅆ𝑥 ∞ 𝑟 = ∫ 𝛷(𝑥−𝜇 𝜎 ) ⅆ𝑥 ∞ 𝑟 = 𝜎 ∗ 𝜙(𝑥−𝜇 𝜎 ) − (𝑟 − 𝜇) ∗ 𝛷( 𝑥−𝜇 𝜎 ). 1

En breve, la función que presenta Axsäter es la de probabilidad acumulada, mientras que la que presentan Hadley & Whitin es la complementaria de la probabilidad acumulada.

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Considerando esta ecuación, es relativamente inmediato ahora comprender el origen de la función objetivo del modelo de programación matemática presentado. Note como este término es el único que no se había formulado explícitamente durante la presentación del modelo HW.

Continuando, lo que se ha definido como la función 𝑋(𝛷) corresponde sólo a una

simplificación de una operación que debió programarse en la réplica del modelo. La función 𝑋(𝛷) consiste en recuperar, de la tabla de Axsäter (2006) del anexo n°1, el valor de

x tal que 𝛷(𝑥) = 1 − ℎ∗𝑅

𝑏 , esto para obtener el valor de S* para un R dado, como ya fue explicado anteriormente.

Por su parte, la función de variable S que se presenta en el modelo proviene directamente de (HW-9) y de la función 𝛷(𝑥), ya que:

1 − ℎ ∗ 𝑅 𝑏 = 𝛷(

𝑆 − 𝜇 ∗ (𝑅 + 𝐿) √𝜎2_{∗ (𝑅 + 𝐿)})

Aplicando la función 𝑋(𝛷) a 1 − ℎ∗𝑅

𝑏 , se conocerá el valor “x” que es igual a

(𝑆−𝜇∗(𝑅+𝐿)

√𝜎2_{∗(𝑅+𝐿)}) (el argumento de la función 𝛷(𝑥)), con lo que S*= "x" ∗ √𝜎2∗ (𝑅 + 𝐿) + 𝜇 ∗

(𝐿 + 𝑅), que es justamente la definición de S como función de variable. Con esto también

se explica suficientemente la función de variable 𝑍_𝑆 que simplemente es igual a la función

𝑋(𝛷) aplicada con el argumento correcto, de acuerdo con las diferencias entre las

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En el anexo n°2 se exponen figuras de la réplica del modelo HW desarrollado en Microsoft Excel 2010, donde se expone el código utilizado para programar cada celda, y también el uso de la herramienta Solver para encontrar los valores que minimizan el costo total.

En el anexo n°3 se exponen imágenes de la resolución del ejemplo desarrollado en la página 242, capítulo 5 de la obra de Hadley & Whitin (1963), que aborda un sistema de control de inventarios operado bajo una política (R,S) considerando backorder . Los resultados obtenidos por Hadley & Whitin (1963) son comparados con los obtenidos por la réplica de esta investigación con el fin de explicitar la calidad de la misma.

Finalmente, es necesario realizar las modificaciones al programa en orden de que éste considere lost sale y no backorder para la escasez. Los pequeños ajustes son: 1) cambiar la función de variable 𝛷(𝑥) = ℎ∗𝑅

𝑏 por 𝛷(𝑥) = ℎ∗𝑅

𝑏+ℎ∗𝑅; 2) Ajustar el costo de almacenamiento en la Función Objetivo, cuya nueva expresión debe ser:

Min{𝐶𝐹 𝑅 + ℎ ∗ [𝑆 − 𝐷 ∗ 𝐿 − 𝐷∗𝑅 2 ] + ( 𝑏 𝑅+ ℎ) ∗ [√𝜎 2_{∗ (𝑅 + 𝐿) ∗ 𝜙(}𝑆−𝐷∗𝐿∗(𝑅+𝐿) √𝜎2_{∗(𝑅+𝐿)} ) + (𝐷 ∗ 𝐿 ∗ (𝑅 + 𝐿) − 𝑆) ∗ 𝛷(𝑆−𝐷∗𝐿∗(𝑅+𝐿) √𝜎2_{∗(𝑅+𝐿)} )]}.

En el anexo n°4 se encuentran imágenes del programa en Microsoft Excel 2010 modificado para considerar lost sale.