El razonamiento proporcional

Lesh y otros (1988) consideran al razonamiento proporcional como una habilidad o capacidad de los sujetos que les permite

Trabajar con situaciones que impliquen la variación, el cambio, un sentido de covariación y comparación múltiple, y la capacidad de procesar y almacenar mentalmente varias piezas de información, se denomina razonamiento proporcional, el cual, está estrechamente ligado con la inferencia y la predicción e involucra tanto métodos de pensamiento cuantitativo como métodos de pensamiento cualitativo. (p. 93)

Lamón (2007) agrega que esta habilidad o capacidad de los sujetos les permite identificar y comprender las relaciones estructurales presentes en los problemas de comparación y de

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cálculo de una cuarta proporcional.20 Además indica que esta forma de concepción del razonamiento proporcional permite transformarlo en un elemento imprescindible para la comprensión de la proporcionalidad, aunque enfatiza que éste no es suficiente en dicha comprensión. En tal sentido, propone complementar tal trabajo con aproximaciones al estudio de las variables, las funciones, las ecuaciones lineales, los vectores y otros objetos de conocimiento matemático que serán estudiados con mayor amplitud y formalización en las matemáticas universitarias. De tal forma que se seguirá aportando a la ampliación y profundización de sus perspectivas sobre relaciones multiplicativas.

La autora realiza una propuesta acerca de cómo debe entenderse en un sentido amplio el razonamiento proporcional, en los siguientes términos:

Propongo que el razonamiento proporcional signifique suministrar argumentos para soportar las enunciaciones hechas sobre las relaciones estructurales entre cuatro cantidades, (digamos a, b, c, d), en un contexto que simultáneamente involucra la covariación de cantidades y la invariancia de razones o productos; este podría considerarse como la habilidad para diferenciar la relación multiplicativa entre dos cantidades así como también la habilidad de extender la misma relación a otros pares de cantidades. (Lamon, 2007, pp. 637,638)

En este punto vale la pena decir que la forma como consideran Lesh y otros (1988) al razonamiento proporcional es más completa y brinda más elementos para determinar lo que realmente involucra tal razonamiento. Por ejemplo, estos autores enfatizan en el carácter decisivo que tiene el diseño de situaciones de cambio y variación, además de dar prelación tanto a los análisis de índole cualitativo como a los de índole cuantitativo, en tanto que Lamon (2007) centra su definición en el cálculo de la cuarta proporcional, lo cual deja por fuera el análisis de otros casos de situaciones de proporcionalidad como, por ejemplo, la proporcionalidad simple inversa. La razón de ser de esta exclusión está en que la autora centra sus planteamientos en el razonamiento proporcional directo, aunque no hace explicita tal determinación.

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En los problemas de comparación se dan cuatro valores (a, b, c y d), la meta es determinar la relación de orden entre las razones . Un problema de cuarta proporcional provee tres de los cuatro valores en la proporción y la meta es encontrar el valor desconocido.

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Lamon (2007), enuncia que el tipo de razonamiento que se efectúa en el razonamiento proporcional simple directo incluye el reconocimiento de:

 La razón constante entre elementos del mismo espacio de medida.

 La relación funcional entre los espacios de medida.

El primer elemento tiene que ver con determinar que el cociente entre dos elementos del mismo espacio de medida es siempre el mismo que el de los dos elementos correspondientes (y en el mismo orden) en el otro espacio de medida. El segundo apunta a determinar la constante de proporcionalidad que pone en relación un elemento del primer espacio de medida con su correspondiente elemento en el segundo espacio de medida,21 e identificar que hay una relación invariante (comparación por cociente) entre los dos espacios de medida.

Por otro lado, Lamon considera que el tipo de razonamiento implicado en una situación de proporcionalidad simple inversa, se caracteriza porque:

 Existen dos operadores escalares (cociente entre elementos del mismo espacio de medida) los cuales son el inverso multiplicativo el uno del otro.

 El producto entre elementos correspondientes de los espacios de medida es constante.

Por su parte Modestou y Gagatsis (2010) quienes comparten los planteamientos de Lamon acerca del razonamiento proporcional, proponen un enfoque que asume que el razonamiento proporcional puede ser descrito “mejor”22

mediante un modelo de tres componentes, del cual hacen parte el razonamiento analógico, las rutinas de proporcionalidad y la conciencia meta – analógica.

Las rutinas de proporcionalidad tienen que ver con la capacidad de resolver las tareas proporcionales rutinarias, es decir, resolver los problemas clásicos de proporcionalidad que aparecen en los libros de texto y en diferentes ejercicios y ejemplos propuestos en el aula de clase. Por su parte los autores definen el razonamiento analógico como:

21 _{Estos dos elementos, la razón constante y la relación funcional, tienen que ver con lo que Vergnaud}

(1983) denomina análisis escalar y análisis funcional, respectivamente.

22 _{Las comillas pretenden resaltar que esta palabra es de los autores, es decir, que son ellos quienes han}

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La capacidad de razonar con relación a patrones. Por lo tanto, el razonamiento analógico se refiere a las habilidades individuales de reconocer y aplicar patrones, ya sea que esos patrones estén representados por objetos concretos o ideas abstractas. Esta habilidad es un elemento fundamental que justifica la inclusión del razonamiento analógico en la interpretación del razonamiento proporcional. [Según los autores Polya ya había puesto de manifiesto la relación existente entre las proporciones y las analogías al indicar que una proporción es una forma especial de analogía]. En efecto tanto las proporciones como las analogías requieren que los estudiantes razonen acerca de las relaciones entre relaciones, enfocándose en encontrar los patrones estructurales entre términos. Cuando los estudiantes son capaces de determinar la semejanza estructural entre los términos de analogías verbales o visuales y no solo en sus semejanzas perceptuales, entonces ellos son capaces de darse cuenta de la relación que personifica el razonamiento proporcional. (Modestou & Gagatsis, 2010, p. 41).

En tanto que la conciencia meta - analógica involucra, por un lado, la capacidad de decidir si una situación es o no una situación de proporcionalidad, y por otro, la habilidad para enfrentarse a tareas que no son de tipo proporcional. Este aspecto es importante, entre otras razones, porque el desarrollo del razonamiento proporcional está ligado a la determinación de la existencia o no de una relación proporcional entre las magnitudes involucradas. Formalmente los autores la definen así:

La conciencia meta – analógica hace referencia a ser consciente que aunque una situación parezca proporcional no lo es, y a la distinción entre cuáles situaciones son realmente proporcionales y cuáles no. Por ejemplo la tarea de determinar si la afirmación “Un niño de cinco años mide 83 cm. Cuando tenga 10 años medirá 1.66 m” es proporcional o no, es considerada un elemento del razonamiento proporcional. Por lo tanto, este aspecto metacognitivo en el modelo de razonamiento proporcional propuesto refleja el fenómeno de la ilusión de linealidad, acompañado de todas las dificultades que los estudiantes tienen para reconocerlo. (p. 40)

Vale la pena anotar que Lamon (2007) y Modestou y Gagatsis (2010) coinciden en afirmar que el hecho de que un sujeto resuelva correctamente problemas de comparación o de cuarta proporcional no garantiza un desarrollo del razonamiento proporcional, puesto que para su

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resolución puede haber acudido a procesos aditivos o a procesos rutinarios, memorísticos y algorítmicos como por ejemplo la regla de tres o la multiplicación en cruz.

Para Stemn (2008) el razonamiento proporcional es considerado un importante tópico matemático en la escuela media el cual tiene correlación con tópicos como el álgebra, la geometría, la medida, la probabilidad y la estadística y que tiene como elemento fundamental la determinación de la relación multiplicativa que existe entre dos razones. Además plantea, citando a Lamon, que las dificultades de los estudiantes en la comprensión de las proporciones son atribuidas por algunos estudios, a la prematura introducción del algoritmo de la multiplicación en cruz, como única forma de resolución, puesto que aunque es eficiente inhibe en los estudiantes la comprensión de la relación multiplicativa, la cual es el corazón del razonamiento proporcional.