Recuperación de las propiedades ópticas de la tercera

Como último análisis presentamos en esta Sección el resultado de aplicar nuestro algoritmo de ajuste a a las DTOFs de la Figura 5.11 correspon- dientes al medio mixto. Las propiedades ópticas recuperadas se muestran en la Figura 5.16. Al igual que en los casos anteriores, las curvas negras representan los valores de referencia listados, recordemos, en el Cuadro 5.4 y se muestran a efectos comparativos.

Figura 5.16: Coecientes (a) de absorción y (b) de scattering reducido de la terce- ra capa recuperados para cada distancia fuente-detector y para cada concentración de tinta, a través de DTOFs generadas por simulaciones de Monte Carlo en el caso del me- dio mixto. La curva negra representa los valores de referencia. Los parámetros iniciales utilizados fueron µ(0)_a,3, µ0_s,3(0)=(0.009,0.7) mm−1.

Como puede apreciarse en la Figura 5.16a, es posible recuperar valores del coeciente de absorción muy cercanos a los verdaderos utilizando las tres distancias fuente-detector, siempre y cuando nos limitemos a las primeras dos concentraciones de tinta. Para concentraciones mayores, la distancia

ρ = 20 mm se aparta visiblemente de los valores reales, primero subesti-

mándolos pero luego sobreestimando el valor correspondiente a la última concentración. Para ρ = 30 mm y ρ = 40 mm, los valores recuperados

se mantienen muy próximos a los verdaderos en todo el rango de con- centraciones de tinta estudiado, a excepción de ρ = 40 mm en la quinta

concentración de tinta, y de ρ = 30 mm en la última concentración de

tinta. Es notable, destacamos, que los valores devueltos por el algoritmo de ajuste para la distancia ρ = 20 mm sean mejores que los respectivos

resultados mostrados en la Figura 5.7a para el medio completamente difu- sivo; tengamos en cuenta, por supuesto, que este último caso corresponde a resultados de mediciones reales, en donde las condiciones experimentales son más difíciles de mantener bajo control.

Por otro lado, en la Figura 5.16b presentamos la recuperación del coecien- te de scattering reducido de la tercera capa. En términos generales podemos decir que, en este caso, no podemos ser tan optimistas como en el anterior. Aquí, la separación ρ = 20 mm comienza subestimando levemente el valor

verdadero, para luego sobreestimarlo en gran medida en todo el intervalo posterior de concentraciones de tinta (de hecho, alcanza la cota superior de 2 mm−1 _{impuesta a µ}0

s,3 por el algoritmo de ajuste, según se detalla en la

Sección 3.2.2). Para ρ = 30 mm, los valores recuperados se hallan relativa-

mente cerca de los verdaderos hasta la cuarta concentración de tinta, luego de lo cual se apartan sensiblemente, mientras que para ρ = 40 mm los

valores recuperados son, en general, mucho más cercanos, salvo el caso de la cuarta concentración de tinta y el caso mucho más notorio de la quinta.

Figura 5.17:Coeciente de absorción de la tercera capa recuperado para cada distan- cia fuente-detector y para cada concentración de tinta, a través de DTOFs generadas por simulaciones de Monte Carlo en el caso del medio mixto. Los valores jos de µ0_s,3

se tomaron del Cuadro 5.4. La curva negra representa los valores de referencia. Los parámetros iniciales utilizados fueronµ(0)_a,3, µ0_s,3(0)

=(0.009,0.7) mm−1.

jamos el valor de µ_s,3 en el algoritmo de ajuste según los datos del Cua-

dro 5.4, e intentamos recuperar solamente µa,3. Los resultados respectivos,

mostrados en la Figura 5.17, muestran que, en general, la recuperación del coeciente de absorción es mucho mejor que cuando se deja µ0_s,3 como pa-

rámetro libre, incluso para la menor de las distancias fuente-detector, que en el peor de los casos que es para la mayor concentración de tinta se desvía del valor verdadero en menos del 10 %. En cuanto a las otras se- paraciones interbra, ρ = 30 mm devuelve mejores resultados que ρ = 40

mm para bajas concentraciones de tinta, mientras lo contrario ocurre para altas concentraciones de tinta, siendo este comportamiento similar al del caso experimental presentado en la Figura 5.8, aunque, a diferencia de es- te, aquí el apartamiento siempre es menor al 5 % con respecto a los valores reales.

Conclusiones

En este trabajo de tesis hemos presentado, de forma detallada pero a la vez concisa, los resultados de una investigación sostenida sobre la propagación de la radiación infrarroja en medios multicapas semiinnitos, de carácter tanto difusivo como mixto (difusivono difusivo). Discutimos a continua- ción los objetivos que nos hemos propuesto y las conclusiones a las que hemos arribado.

1. En primer lugar, fuimos capaces de desarrollar un modelo teórico no- vedoso para el estudio de la difusión de la luz en cilindros compuestos por N capas, basado en el de la Ref. [35], con la salvedad de que en

una serie de ventajas. Por un lado, se trata de una geometría mu- cho más similar a la que presenta la anatomía de la cabeza humana, que es el sistema biológico que pretendemos modelar. Por otro lado, las expresiones teóricas resultantes son más sencillas de calcular y de programar. Como consecuencia de esto, la reectancia difusa R(ρ, t)

(Ec. 2.45), que fue programada en Python, puede obtenerse en ca- sos típicos en lo que respecta a dimensiones y propiedades ópticas de los medios estudiados en tiempos menores a los 0.5 ms, siendo el doble de rápido que en el caso del modelo teórico para cilindros de extensión axial nita. Estos tiempos podrían reducirse aún más de dos formas:

i) optimizando el código a través del uso de herramientas de para- lelización que posee el mismo lenguaje Python. Nuestro código ya hace uso de algunas de estas herramientas, entre las que destacamos la librería numexpr, que puede denirse, en pocas palabras, como un evaluador veloz de expresiones numéricas [89], y que, en nuestro caso, ayuda a incrementar la velocidad de cómputo en un factor 2; ii) utilizando otros lenguajes de programación de más bajo nivel, co- mo por ejemplo C++ o FORTRAN.

en el caso del modelo de la Ref. [35], debido a que dicho espesor apa- rece como argumento de funciones hiperbólicas que tienden a tomar valores elevados muy rápidamente, lo cual diculta o hasta impide su aplicación en sistemas biológicos como el de la cabeza humana. 2. Una vez desarrollado el modelo teórico, procedimos a su validación.

Para ello, llevamos adelante una serie de experimentos, tanto en el IFAS como en el PTB de Berlín, en fantomas de dos y tres capas, lo que implicó desarrollar un protocolo de preparación de los mismos, jando como metas la minimización de la dicultad en su preparado, la minimización de los materiales utilizados (agua, leche, tinta china y agarosa) y los tiempos de preparación, y la repetitividad. En par- ticular, este último objetivo puede verse cumplido al comparar los coecientes de absorción de la capa líquida en los casos del fanto- ma de dos capas (Cuadro 5.2) y del fantoma de tres capas (Cuadro 5.4). Asimismo, siempre buscamos analizar situaciones en las que el coeciente de scattering reducido de la última capa se mantuviera aproximadamente constante hecho consistente con lo que reporta la literatura acerca de la hemodinámica cerebral, lo cual ha sido

conseguido con bastante buena aproximación si se tiene en cuenta que dichos valores presentaron variaciones menores al 7 % a lo largo de todo el rango de concentraciones de tinta que utilizamos.

3. Una vez preparados los fantomas, adquirimos distribuciones de tiem- po de vuelo a través de mediciones de reectancia difusa resueltas en el tiempo y en la conguración de distancias interoptodo individuales, en contraposición con el esquema experimental de distancias múlti- ples. La ventaja principal de la conguración que utilizamos nosotros radica en que el volumen de información a procesar es considerable- mente menor, lo que implica tiempos de procesamiento bastante más reducidos. Asimismo, implementamos nuestro modelo teórico en una rutina de ajuste, basada en el método de Levenberg-Marquardt y programada también en Python, con el n de recuperar las propie- dades ópticas de la última capa de los fantomas estudiados, que era líquida para alterar con facilidad su absorción mediante el agregado de tinta, y que en nuestro caso representa lo que ocurre en la re- gión comprendida por el cerebro humano, que es precisamente donde tienen lugar los principales cambios de absorción, asociados a varia- ciones en la irrigación sanguínea y en la concentración de los distintos componentes en la sangre.

no fue aportar novedades con respecto al mismo sino tomarlo como punto de partida para el caso más complejo y menos estudiado de tres capas. Así, gracias a los experimentos sobre el fantoma de dos capas demostramos que es posible recuperar las propiedades ópticas de la última capa, en la mayoría de los casos con desviaciones en el coeciente de absorción menores al 10 %. El peor caso lo reviste la menor separación interbra, ρ = 20 mm, y la mayor concentra-

ción de tinta, mientras que en los casos de ρ = 30 mm y ρ = 40

mm los valores de µa,2 resultan muy cercanos a los verdaderos. En

lo que respecta al coeciente de scattering reducido, las situaciones más conictivas se presentan, en general, para ρ = 20 mm, en cuyo

caso las discrepancias con respecto a los valores verdaderos de µ0_s,2

rondan el 20 % en todo el intervalo de concentraciones de tinta; es- tas diferencias, si bien son no menores, son típicas en este tipo de experimentos. En contraste, los mejores resultados se obtuvieron me- diante la separación ρ = 30 mm para bajas concentraciones de tinta,

luego de lo cual los valores recuperados comienzan a subestimar a los reales. A mayores concentraciones de tinta, la separación ρ = 40

mm es la única que devuelve valores de µ_s,2 dentro del 10 % de error.

Todo esto sugiere dos cosas: primero, que es más fácil recuperar con precisión µa,2 que µ0s,2; y segundo, que existe una conexión entre la

distancia fuente-detector y la concentración de tinta de la segunda capa, y que dicha conexión inuye en cuál es la separación ρ que

devuelve las propiedades ópticas más cercanas a las verdaderas. Este último punto se discute con más detalle a continuación.

A esta altura nos parece necesario destacar que, al recuperar las pro- piedades ópticas de la capa líquida en el fantoma de dos capas, la dependencia con los parámetros iniciales introducidos en el algorit- mo de ajuste resultaba más bien leve, sobre todo en lo que respecta al coeciente de absorción. Por este motivo, y dado que nuestro mayor interés se centró en el medio de tres capas, dejamos dicho análisis para este último caso.

A diferencia de los experimentos sobre el fantoma de dos capas, en el de tres capas notamos que los valores recuperados de los parámetros ópticos de la tercera capa, y sobre todo el coeciente de scattering reducido, presentaban una dependencia muy fuerte con los valores iniciales utilizados en la rutina de ajuste. Esto representa a todas luces un problema si buscamos implementar este tipo de técnicas en

estudiados. Para librarnos de esta dicultad y elegir los parámetros de entrada de la forma más objetiva posible, decidimos implemen- tar un muestreo sistemático del espacio de parámetros µa,3, µ0s,3

y analizar los valores de la función objetivo χ2_{M S} (Ec. 5.2) que surge

como resultado de comparar las DTOFs experimentales con las teóri- cas obtenidas a través de la evaluación sucesiva de R(ρ, t) en todo el

rango de valores de µa,3 y µ0s,3 propuesto. De dicho análisis tomamos

aquellos pares de parámetros que minimizaban el valor de χ2_{M S} y los

utilizamos como semillas del algoritmo de ajuste.

En líneas generales observamos, al igual que en el caso de dos ca- pas, que es posible recuperar el coeciente de absorción con mayor delidad que el coeciente de scattering reducido, y también que existe una relación entre las distancias interoptodo utilizadas y las concentraciones de tinta, es decir, a mayor concentración de tinta, es necesario utilizar mayores distancias interoptodo para obtener mejo- res valores de los parámetros ópticos. Este es un hecho que asociamos a la capacidad de penetración que presentan los fotones colectados: para separaciones ρ pequeñas, la mayoría de los fotones detectados

penetra poco en el interior del medio turbio, y por lo tanto presen- ta una capacidad más bien reducida de proveer información sobre lo que ocurre en la región profunda del mismo; este comportamiento se acentúa con el agregado de tinta, pues en dicho caso aumenta la probabilidad de que los fotones más profundos sean absorbidos, dando como resultado un perl de caminos fotónicos que se repliega hacia la supercie externa del fantoma. Por dicho motivo, si preten- demos estudiar lo que ocurre en zonas profundas y de alta absorción, necesitamos separaciones ρ mayores. Esto se reeja en las propieda-

des ópticas recuperadas para cada separación fuente-detector. Así, cuando ρ = 20 mm, difícilmente podemos recuperar el coeciente de

absorción para la primera concentración de tinta, mientras que con

ρ = 30 mm y ρ = 40 mm dicho parámetro es obtenido para todas

las concentraciones con muy buena aproximación. En cuanto al coe- ciente de scattering reducido, al utilizar la separación ρ = 20 mm

obtenemos valores muy por encima de los verdaderos, mientras que con ρ = 30 mm y ρ = 40 mm los resultados son sustancialmente

mejores. Notemos en particular que, al aumentar la concentración de tinta, la mayor distancia fuente-detector devuelve los valores de µ0_s,3

mos mencionado en otras ocasiones, en el estudio de la hemodinámica del cerebro muchas veces reviste mayor interés el estudio de la ab- sorción, o de los cambios de absorción, que el estudio del scattering. En nuestros experimentos, en particular, vimos que el coeciente de absorción recuperado es bastante insensible a los parámetros iniciales utilizados en la rutina de ajuste, por lo que, desde este punto de vis- ta, la recuperación del coeciente de scattering reducido se encuentra lejos de ser un problema signicativo.

4. Con el n de complementar los resultados experimentales y obtener así una validación de nuestro modelo y de la rutina de ajuste de forma independiente, generamos DTOFs numéricas mediante simu- laciones de Monte Carlo. La ventaja de las simulaciones radica en que pueden pensarse como experimentos perfectamente controlados, en los cuales se conocen todos los parámetros que denen el medio analizado. Con esto en mente, buscamos nuevamente recuperar las propiedades ópticas de la última capa de un medio de tres capas con las mismas características del fantoma de tres capas utilizado en los experimentos. Obviamos en este caso el análisis de la inuencia de los

parámetros iniciales y, en cambio, utilizamos valores de µ_a,3, µ_s,3

generalmente alejados de los valores objetivos en más del 20 %, salvo para el coeciente de absorción dado por la mayor concentración de tinta. Por lo que muestran las comparaciones entre los pulsos simula- dos y los ajustes teóricos, vemos que la diferencia entre los parámetros ópticos reales y los recuperados es siempre menor o del orden del 10 % para todas las distancias interbra (incluso ρ = 20 mm) y para to-

das las concentraciones de tinta. Asimismo, dicha diferencia tiende a disminuir con el aumento de ρ, al igual que en los experimentos.

La bondad de los resultados numéricos frente a los experimentales se debe, justamente, a la capacidad de control que el usuario tiene sobre las simulaciones numéricas, en contraste con las mediciones de laboratorio.

Gracias a las simulaciones de Monte Carlo también pudimos acerca- nos al caso más realista en que la uencia de la fuente utilizada es apta para el uso en aplicaciones in vivo. En nuestras mediciones ex- perimentales esto no fue así dado que utilizamos una fuente con una potencia de unos 110 mW, valor que puede ser excesivo para aplica- ciones in vivo, pero que en el caso de los fantomas no solo no produce efecto alguno, sino que también ayuda a reducir los tiempos de ad-

del orden de lo que se utiliza en experimentos en la clínica (∼105),

y mediante el ajuste de estos pulsos pudimos recuperar con notable precisión las propiedades ópticas de la última capa, demostrando que el algoritmo de ajuste se mantiene robusto ante condiciones todavía más exigentes que las analizadas hasta el momento.

5. Por último, y buscando modelar una situación más realista, en la que la capa intermedia presenta una baja absorción y un bajo scatteri- ng, al igual que lo que ocurre en la cabeza humana con el líquido encefalorraquídeo, generamos pulsos de Monte Carlo en un medio de carácter mixto, en donde la primera y la tercera capas presentan características difusivas, mientras que la segunda presenta caracte- rísticas no difusivas. La comparación de estas DTOFs con aquellas originadas a partir del medio completamente difusivo muestra que las primeras poseen un aspecto muy similar a las segundas, siendo la mayor diferencia la pendiente abrupta del anco ascendente, mo- tivada por el reducido valor de µ0_s,2. Esto, en general, hace que los

ancos descendentes tampoco coincidan, aunque sí parecen mante- ner caídas paralelas. Las únicas excepciones son las correspondientes

a la separación interoptodos de ρ = 20 mm: en este caso, los ancos

ascendentes de los pulsos se encuentran prácticamente superpuestos, mientras que la única discrepancia visible se localiza pasando el valor máximo de los pulsos y hasta canales temporales intermedios, luego de lo cual ambas distribuciones parecen coincidir; sin embargo, estas pequeñas diferencias se reducen considerablemente con el agregado de tinta en la tercera capa, lo que hace que para las dos últimas con- centraciones los pulsos se superpongan casi en su totalidad.

De estas mismas simulaciones obtuvimos también, en cada caso, la cantidad de fotones detectados, la cantidad de colisiones que sufrió cada uno, los pesos relativos con que alcanzaron el detector y la lon- gitud de los caminos que recorrieron en cada una de las capas. Estas cantidades resultaron útiles pues nos permitieron llevar adelante un análisis detallado sobre los momentos estádisticos fotónicos de orden 0 (cantidad total de fotones detectados), de orden 1 de las colisiones (cantidad promedio de colisiones de cada fotón) y de orden 1 de los caminos (distancia promedio que cada fotón recorre en cada capa y en total).

Al comparar estos momentos con los correspondientes al caso del me- dio completamente difusivo, aparecen algunas diferencias notorias.

tidad de colisiones promedio es menor. Ambos fenómenos se explican teniendo en cuenta que un menor coeciente de scattering reducido en el medio hace que los fotones detectados sufran menos colisio- nes, reduciendo de esta manera el tiempo que invierten en llegar al detector y, por lo tanto la probabilidad de que eventualmente sean absorbidos.

En cuanto a los caminos medios parciales y totales, a grandes rasgos podemos decir que son mayores en el caso del medio difusivo que en el caso del medio mixto. Las excepciones que salen a la luz son las correspondientes a la segunda y tercera capas, cuando se utiliza la menor de las separaciones interbra y cuando tenemos altas concen- traciones de tinta. Esto último parece tener una estrecha relación con el comportamiento de las respectivas DTOFs, discutido unos párrafos arriba.

Con toda esta información presente, el siguiente y último paso consis- tió en tratar de determinar las propiedades ópticas de la última capa en el medio mixto, utilizando nuestro algoritmo de ajuste que, en principio, es aplicable solo en condiciones de difusividad total. Con

gran sorpresa, sin embargo, notamos que bajo ciertas condiciones esto puede lograrse con buena precisión. La situación más conicti-