Referente matemático

Es necesario precisar en la definición del concepto de función lineal, por ello se consideran la definición que presenta Swokowski (1983), partiendo de una presentación teórica del concepto de función lineal, mostrando las diversas representaciones que aluden este concepto, entre otros factores relevantes que se deben tener en cuenta para manejar a cabalidad este concepto matemático.

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Ilustración 1 Representación gráfica de una función lineal Función lineal:

f es una Función Lineal si 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde m es un número real y m≠0 . A m se le denomina pendiente de la función y a (b) como el punto de intercepto en el eje y.

Donde m, determina el cambio de la función a medida que x también cambia. Si m es menor que 0, la variable x aumenta, la función disminuye (decreciente), si m es mayor que 0, la función aumenta (creciente), pero si la m es igual a 0, la gráfica que le corresponda a la función es paralela al eje x, y cualquier valor que se le asigne a la variable x, la función siempre será constante.

Representación2

Para determinar o hallar la pendiente es necesario conocer dos puntos de la línea recta, (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (𝑥2, 𝑦2) para aplicar su expresión matemática: 𝑚 =

𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1

En caso, de hacer comparaciones entre funciones, se puede determinar fácilmente si las rectas que determina la expresión son paralelas o perpendiculares. Pues si las pendientes son iguales estas son paralelas 𝑚1 = 𝑚2, pero si al realizar el producto de las pendientes da como resultado menos uno, serán rectas perpendiculares 𝑚₁∗ 𝑚₂ = −1.

2_{Imagen recuperada de:}

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De este modo, se puede contemplar que el concepto de Función lineal es un conocimiento matemático rico en representaciones, dado que se puede hacer referencia a este, en términos algebraicos, cartesianos, en diagramas sagitales e incluso en lengua natural, de tal forma que se describan comportamientos de una determinada situación.

“… el concepto de Función Lineal es un subconjunto de lo que se entiende por función y que su naturaleza está estrechamente ligada con cantidades directamente proporcionales y cantidades covariacionales”. (Angulo. J, Mina. S y Valencia, J, 2011, p. 23)

En este sentido se muestra una red conceptual que nos permite comprender mejor la estructura matemática de la función lineal.

Red conceptual3

Ilustración 2 Red Conceptual

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Esta red muestra unos elementos que conforman la función, de los cuales nos enfocamos en Función lineal, específicamente en sus formas de representación, la cual aborda las expresiones algebraicas, las descripciones gráficas, los aspectos tabulares y las expresiones relacionadas con el concepto en el lenguaje natural, línea optada, dado que al involucrar la coordinación de los registros de representación, los estudiantes desarrollan destrezas para reconocer la relación entre las representaciones adquiriendo una comprensión significativa del concepto matemático.

Como señala, Duval que si los estudiantes logran relacionar diferentes formas de representar un contenido matemático se puede hablar que este ha aprendido y comprendido el concepto matemático. (MEN, 2006. P54). Por esta razón se ha seleccionado las formas de representar el concepto, dado que en las tareas propuestas el objetivo fue articular las diferentes modalidades que aluden al concepto de función lineal de manera cómoda donde el estudiante logre identificarlo sin importar su representación, movilizándose así por los diferentes niveles de comprensión señalados en el enfoque de la EpC.

A continuación, se presentan diversas formas de representación en torno al concepto de función lineal, según lo expuesto por Roldán (2013).

Diagrama sagital: para representar funciones en diagramas sagitales se necesita de la determinación de dos conjuntos A y B, donde los elementos del conjunto A como punto de partida, tienen una única correspondencia con los elementos del conjunto B como punto de llegada. Particularmente, el primer conjunto A es llamado Dominio, debido a que es el conjunto de salida y, el segundo conjunto B es llamado Codominio, ya que es el conjunto de llegada. Cada elemento del conjunto A se relaciona mediante una flecha con un único

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elemento del conjunto B. De esta forma se puede apreciar las dependencias y correspondencias de los elementos.

Conjunto de pares ordenados: Esta clase de representación es de la forma (x, y) en la que se hace explícita una a una de cada pareja ordenada de la función. El primer componente de la pareja ordenada corresponde a los elementos del conjunto de salida o Dominio (A), mientras que el segundo componente de la pareja ordenada corresponde a los elementos del conjunto de llegada o Codominio (B). Esta es una forma de representar una función como conjunto de parejas ordenadas por extensión.

(𝑎, 𝑏)(𝑐, 𝑑)

Tablas: es una de las formas más tradicionales que se utiliza en la escolaridad para ubicar u organizar datos y pares ordenados. En la representación de función, en ellas se ordena la información en un par de columnas o filas, cuya primera hilera corresponde a los elementos del conjunto de partida y la segunda hilera corresponde al conjunto de llegada. Las correspondencias entre estas cantidades tienen las mismas reglas de los diagramas sagitales y las tablas, en donde solo se vincula un único elemento entre el conjunto de salida con el de llegada. La diferencia en ésta es que permite una estructuración gráfica de manera sistemática o secuencial.

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𝑥 -2 -1 0 1 2

𝑦 = 2𝑥 + 3 -1 1 3 5 7

Plano cartesiano: Se forma al construir dos líneas perpendiculares o rectas numéricas reales de manera vertical y horizontal formando así cuatro ángulos rectos en los que obtienen el nombre de ejes, el punto de corte de los dos ejes es llamado origen y se representa con el número cero (0) la cual no es positivo, ni negativo, es neutro. El eje horizontal corresponde a los elementos del conjunto de salida (x) Dominio, mientras que al eje vertical se le asigna los elementos del conjunto de llegada (y) Codominio.

Ecuaciones o fórmulas: comúnmente es la forma de representar una función algebraicamente en la que se describe la relación entre las variables de la función. Esta representación es cuya expresión analítica un polinomio de primer grado, en la que es reemplazada las parejas ordenadas, para encontrar una solución en el grafico o plano cartesiano. En las ecuaciones es muy fácil evidenciar algunas características generales de la función; puesto que permite observar minuciosamente si la función es creciente, decreciente, lineal o afín, de cierto modo, esta representación relaciona las correspondencias o dependencias entre magnitudes o cantidades.

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 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0

 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

 𝑚 =𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1

Forma Verbal: las funciones también pueden ser expresadas verbalmente, ésta representación utiliza el lenguaje natural o común, en la que presenta un estilo de texto para hacer una descripción de la función en palabras de forma detallada. Ésta forma describe la relación explicitas e implícitas de las variables, en la que se pueda identificar fácilmente su correspondencia y dependencia; por ejemplo: “el número de pacientes que atiende un doctor varía de acuerdo a la hora, si en 2 horas atiende a 68 pacientes, entonces:

 Expresa en forma algebraica la situación.

 ¿cada cuánto aumentan los pacientes?

 Si el doctor trabaja 7 horas, 5 días a la semana ¿Cuántos pacientes atiende? En la enseñanza y aprendizaje de las funciones lineales es importante tener en cuenta que, aunque existan diversas formas de representar una función, nunca debe alterarse su resultado por mucho que se exprese de manera distinta, es decir, un estudiante puede representar la misma función de múltiples maneras, pero su resultado o solución debe ser la misma.

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CAPÍTULO 3. ASPECTOS METODOLÓGICOS