Las curvas de ruido de Peterson y el modo de representarlas han standardizado la manera de representar el ruido sísmico. Sin embargo, observando esas curvas, es difícil poder relacionarlas a algo físico.
Cuál es el significado físico de las curvas de Peterson?
Las curvas de ruido realizadas en el dominio del tiempo pueden ser relacionadas directamente al sismograma, mientras que las curvas de Peterson no lo hacen, ya que reflejan una medición en el dominio de la frecuencia. Sin embargo como se verá, bajo ciertas condiciones, es entonces posible ir de unas hacia las otras.
El problema es cómo relacionar una amplitud espectral a una dada frecuencia con una amplitud en el dominio del tiempo en una dada banda de frecuencia.
La amplitud media cuadrática RMS de una señal en un intervalo de tiempo 0-T, se define como: 2 2 0
1
( )
T RMSa
a t dt
T
(3.9) Entonces, la potencia promedio de la señal en el intervalo de tiempo es igual a2
RMS
a . Esta se puede calcular a partir de la densidad de potencia espectral (Teorema de Parseval) como: 2 1 2 2 1
( )
(
)
f RMS fa
P w df
P f
f
(3.10)considerando que la densidad de potencia espectral es aproximadamente una constante P en el rango de frecuencias f1 a f2 , que no es irrazonable si el filtro es
angosto. En el caso general, P podría representar el valor promedio de P w( ) en esta
banda de frecuencias.
Es importante que P w( ) sea la densidad de potencia espectral normalizada y
que la potencia represente la contribución total a
w
tanto para frecuencias positivascomo negativas. Si, como es de práctica usual, la densidad de potencia espectral se calculara usando solamente las frecuencias positivas, 2
RMS
a deberá calcularse como
2 1
2 (P f f ).
Los valores de densidad de potencia dados por el Nuevo Modelo Global de Ruido de Peterson (1993) contienen el factor 2, o dicho en otras palabras representan la densidad de potencia total.
Bajo estas condiciones, se tiene entonces una relación entre la amplitud media cuadrática y la densidad de potencia espectral en una banda angosta de frecuencia:
2 1
(
)
RMS
a
P f
f
. (3.11)Hay entonces un modo simple de relacionar la densidad de potencia espectral a las amplitudes, como se ven en un sismograma; sin embargo, la última relación da la amplitud media cuadrática (RMS).
Estadísticamente, hay un 95% de probabilidad que el pico instantáneo de amplitud de una ondícula tomada al azar con una distribución de amplitudes Gaussiana se encuentre en el rango de2aRMS; Peterson (1993) mostró que tanto las amplitudes del ruido de banda ancha como de largo período siguen muy de cerca la distribución Gaussiana de probabilidad. En el caso de filtros de banda angosta, los
valores promedio de las amplitudes pico son el 1, 25aRMS(Bormann, 2002). De modo que, para tener un verdadero promedio de las amplitudes pico en un sismograma, se puede usar un factor de aproximadamente 1,25. Entonces, se establece la relación entre los valores de la potencia espectral y las amplitudes pico promedio como:
2 1
1, 25
RMS1, 25
(
)
a
a
P f
f
. (3.12)La banda de frecuencias depende del instrumento, fundamentalmente si es analógico, ya que para datos digitales el usuario puede seleccionar el filtro.
Una forma común de especificar la banda del filtro es usando el término octava de filtro. Un filtro de n- octavas tiene límites:
2 1
2
nf
f
, (3.13)por ejemplo, un filtro de ½ octava tiene un límite dado por f1 y entonces:
1 2
2 1
2
f
f
(e.g. 1-1.42 Hz).
Muchos de los sismógrafos analógicos clásicos tienen anchos de banda de 1-3 octavas y los sismógrafos digitales pueden tener un ancho de banda de 6-12 octavas. Sin embargo, el ancho de banda de la señal de muchas componentes dominantes del ruido sísmico del subsuelo puede ser menor que 1 octava. En consecuencia, la frecuencia de las mediciones es realmente el rango de frecuencias. Sin embargo, por razones prácticas, será usada la frecuencia promedio para representar la medición.
Para la frecuencia promedio, se usa la frecuencia central geométrica
f
0:2 0 1 2 1 1
2
12
n nf
f f
f f
f
, (3.14) 2 1 02
nf
f
y 2 2 02
nf
f
.Para filtros angostos, la frecuencial geométrica central es casi la misma que la frecuencia promedio.
Si se comparan las relaciones con señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia, las unidades no tienen importancia; sin embargo, las curvas de Peterson están representadas en aceleración, de modo que la densidad de potencia espectral debe ser expresada en aceleración cuando se calcula a partir de señales en el dominio del tiempo.
La unidad más común para el sismograma original es la velocidad, algunas veces aceleración y raramente desplazamiento. Las relaciones entre las densidades
Se puede hacer algún ejemplo:
Sea una amplitud pico de 13 nm para la banda de frecuencias 0.7-1.4 Hz, que resulta expresado en
P
d:9 2 16 2
(13.10 /1.25) /(1.4 0.7) 1.55.10 / d
P m Hz.
La frecuencia central es
0.7.1.41.0Hz
y la densidad de potencia espectral enaceleración es: 16 4 4 13 2 2 1.55.10 .16 1 2.4.10 ( / ) / a P
m s Hz ó –126dB relativos a 2 2 1( /m s ) /Hz.El nivel –126dB pareciera alto comparado con el nivel espectral que es alrededor de –136dB, fig, 3.1. ¿Cómo se puede explicar esto?.
Se debe recordar que la fórmula está basada en que la amplitud es el promedio de la amplitud pico, mientras que lo que se ha usado es la mayor amplitud en la ventana. Si la amplitud pico promedio es 3 veces menor que la amplitud máxima, el nivel debiera ser corregido por 2
10log(3 ) 9.5dB
y las medidas en ambos dominios serían similares.
Hay una regla de oro que es la siguiente: Un desplazamiento pico de 1nm en 1Hz significa un buen lugar en términos de ruido ambiente.
Un punto para ser considerado es que, en realidad, el ruido es de naturaleza aleatoria, (cualquier perturbación “predecible” no es ruido como se define aquí). La potencia espectral estimada por la simple transformada de Fourier para una ventana de tiempo de una muestra de datos crudos, es también aleatoria. El error standard de tal estimación es muy alto. Realmente, cuando se expresa el nivel de ruido como densidad de potencia espectral o RMS en una determinada banda de frecuencias, se está asumiendo implícitamente, como ya se ha mencionado, que el ruido es un proceso estacionario, que significa que sus características estadísticas no son tiempo- dependientes o al menos varían suficientemente lento para ser consideradas constantes en un cierto intervalo de tiempo.
De manera que, si se necesita una estimación real del nivel de ruido en un lugar dado, se debe realizar una estimación del promedio de la densidad de potencia en varias muestras de ventanas-tiempo sobrepuestas o algún suavizado espectral para decrecer la varianza estimada.
LA PLATA DIGITAL
4.1 Antecedentes