Fig. 2.14: Diferencia entre estado de tensión plana y estado de deformación plana
De la comparación de las expresiones obtenidas para los estados de tensión y de- formación plana se observa que ambos son muy similares una vez la atención se centra sobre el plano de análisis (el plano xy en la descripción anterior). Sin embargo, hay que resaltar que fuera de dicho plano (a lo largo del eje z) la realidad es muy diferente en ambos casos, tal y como se ilustra en la Figura 2.14.
2.5 Relación tensión-deformación. Estudio experimental
La relación real entre tensión y deformación de un material se determina de forma ex- perimental mediante ensayos en laboratorio. Los ensayos más simples de realizar son los de tracción o de compresión pura sobre probetas cilíndricas o prismáticas normalizadas. Estos ensayos se realizan aplicando en los extremos de la probeta una fuerza P en dirección del eje de la misma (Figura 2.15). Llamando A al área inicial de la sección transversal de la probeta, se de…ne como tensión nominal (media) a la relación:
= P
Fig. 2.15: Probeta para ensayo de tracción uniaxial
Por otro lado, llamando L a la longitud calibrada de la probeta y L al alargamiento de ésta producida por la fuerza axial, se de…ne como deformación axial nominal a la relación:
" = L
L (2.26)
Si en el ensayo se mide también la variación d de una de las dimensiones transver- sales de la probeta, de longitud inicial d; se puede calcular la deformación transversal nominal como:
"t=
d
d (2.27)
El ensayo se realiza aumentando progresivamente la fuerza P aplicada de forma lenta y gradual y midiendo los alargamientos axiales L y los acortamientos transver- sales d correspondientes a cada nivel de carga. A partir de los conjuntos de valores (P; L; d) obtenidos, se calculan los correspondientes conjuntos de valores de ten- sión y deformación nominales ( ; "; "t). Los pares ( ; ") se representan en una curva
que se denomina curva de tensión-deformación del material (Figura 2.16).
Aunque el comportamiento de cada material es diferente, en la curva tensión- deformación se distinguen, en general, las zonas y tensiones límite siguientes:
Tramo proporcional ( OA). En este tramo inicial se cumple la ley de Hooke, es decir, la relación entre tensión y deformación es lineal para tensiones inferiores al valor p que se llama límite de proporcionalidad. La pendiente del tramo
determina el valor del módulo de elasticidad o de Young (E) del material. El coe…ciente de Poisson puede calcularse como la relación entre la deformación transversal y la longitudinal, = "t=":
Tramo elástico ( OB). En este tramo la descarga se produce de forma elástica, es decir, sin que aparezcan deformaciones permanentes al disminuir la carga hasta anularla. Se llama límite elástico ( e) a la máxima tensión que se puede alcanzar
2.5. RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN. ESTUDIO EXPERIMENTAL 57
Fig. 2.16: Curva tensión-deformación uniaxial
sin que se produzcan deformaciones permanentes, también llamadas inelásticas o plásticas. El tramo AB, de comportamiento elástico no lineal, puede ser más o menos observable dependiendo del material.
Tramo plástico ( BD). En este tramo se observa deformación permanente al descargar la probeta, por ejemplo la marcada OL en el diagrama. Se llama límite de ‡uencia ( f) a la tensión a partir de la cual el material se deforma casi sin
aumento de la tensión.
Tramo de ‡uencia ( CD). En este tramo la deformación aumenta sin que se pro- duzca un aumento apreciable de la tensión. Hasta llegar al punto D la deformación longitudinal y las deformaciones transversales son sensiblemente uniformes a lo largo de la longitud útil de la probeta.
Tramo de endurecimiento por deformación ( DE). A partir de un determinado valor de la deformación, la tensión necesaria para seguir aumentando la defor- mación plástica se incrementa. A este fenómeno se le llama endurecimiento por deformación y suele venir acompañado por la pérdida del estado uniforme de de- formaciones y el inicio de la localización de éstas en la zona media de la probeta.
Tramo de estricción ( EF ). En este tramo la sección de una parte de la probeta comienza a disminuir de forma apreciable. Este fenómeno de localización de las
Fig. 2.17: Barra de acero sin deformar y deformada después de un ensayo a tracción
deformaciones longitudinales y transversales, con pérdida del estado uniforme anterior, se denomina estricción (Figura 2.17). La aparente pérdida de tensión en este tramo se debe a la de…nición nominal de la tensión, que está calculada sobre el área inicial de la probeta, en lugar de calcularla sobre el área real en cada momento, y que es menor debido a la estricción. Se denomina tensión de rotura ( r) a la máxima tensión medida en el ensayo.
El tipo de curva tensión-deformación descrito corresponde a los materiales llama- dos dúctiles, como por ejemplo el acero o el cobre, que presentan un marcado com- portamiento plástico y alcanzan la rotura con un nivel elevado de deformación. Así,
2.5. RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN. ESTUDIO EXPERIMENTAL 59
para estos materiales, "D ' 20 "Ay "F ' 200 "A, y los tramos descritos son fácilmente
identi…cables.
En otros materiales como, por ejemplo, la fundición, el hormigón o el vidrio, lla- mados frágiles, no se presenta una zona de ‡uencia plástica bien de…nida. En estos materiales se toma convencionalmente como tensión de ‡uencia, f, la correspondiente
a una deformación permanente de 0,2 % (Figura 2.18). Estos materiales rompen con poca deformación ("F ' 5 "A), bruscamente, circunstancia peligrosa para la seguridad
de las estructuras. No obstante lo dicho, no es del todo riguroso cali…car a un material concreto como dúctil o frágil, ya que el comportamiento mecánico depende en gran medida de las condiciones de carga. Así, un acero dúctil en condiciones “normales” puede mostrar un comportamiento marcadamente frágil a bajas temperaturas o a al- tas velocidades de carga. Por otra parte, el hierro fundido o el vidrio muestran un comportamiento dúctil a altas temperaturas.
Debe señalarse también que muchos materiales frágiles exhiben resistencias muy diferentes según estén solicitados a tracción o a compresión. Así por ejemplo, el hormigón y la mayoría de las rocas naturales tienen un comportamiento muy frágil a tracción con una resistencia relativamente baja. Por otro lado, su comportamiento a compresión es mucho más dúctil, aunque sin mostrar una zona clara de ‡uencia, y su resistencia a compresión es mucho mayor que a tracción, del orden de 10 veces mayor, tal como se muestra en la Figura 2.19.
Los aceros de construcción, en cambio, tienen un comportamiento parecido en trac- ción y en compresión (para piezas poco esbeltas), y con marcados tramos de ‡uencia
Fig. 2.20: Curva tensión-deformación idealizada para el acero de construcción
en ambos casos. Para estos materiales la curva tensión-deformación se suele repre- sentar mediante diagramas trilineales (Figura 2.20), en los que sólo se consideran los tramos proporcionales y los tramos de ‡uencia. Otros tipos de aleación de acero, por su parte, apenas muestran un tramo horizontal de ‡uencia, pero tienen una zona clara de endurecimiento por deformación, habitualmente lineal.
Ejemplo 2.5.1
La barra de la Figura 2.21, con un diámetro de 12 mm y longitud de 60 mm, se somete a un ensayo de tracción hasta la rotura. Partiendo de las medidas obtenidas en el ensayo, calcular: a) el límite de proporcionalidad p; b) el módulo de elasticidad o de Young y
c) la tensión de rotura r:
Fig. 2.21: Barra del Ejemplo 2.5.1
2.5. RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN. ESTUDIO EXPERIMENTAL 61
Cargas y alargamientos en el ensayo de tracción
P [ kN] 0 6 12 18 24 30 36 42 48 57 (aprox) L 10 3[ mm] 0 12 24 36 48 60 98 144 240 rotura
Tensiones y deformaciones en el ensayo de tracción [ MPa] 0 53 106 159 212 265 318 371 424 " 10 6 0 200 400 600 800 1000 1630 2400 4000
teniendo en cuenta que:
Área inicial de la barra A = D
2 4 = 122 4 = 113 mm 2 Tensión nominal = P A Deformación axial nominal " = L
L =
L mm 60 mm
En la curva tensión-deformación correspondiente (Figura 2.22) puede verse que el límite de proporcionalidad corresponde a la tensión p = 265 MPa: La deformación
unitaria que se produce al alcanzar dicho límite de proporcionalidad es igual a " = 10 3: El módulo de elasticidad o módulo de Young es la pendiente de la recta que repre- senta el comportamiento elástico proporcional:
E = " =
265
10 3 = 265 GPa
La tensión de rotura r es la máxima tensión medida en el ensayo, en este caso
corresponde a r= 424 MPa: El tipo de diagrama tensión-deformación obtenido indica
que el material ensayado es un material dúctil.
Ejemplo 2.5.2
En el límite de proporcionalidad la barra de la Figura 2.23 se alarga 0; 34 mm y la dimensión transversal h = 18 mm disminuye en 7 10 3mm. Si la carga correspondiente es 32 kN, calcular: a) el límite de proporcionalidad p; b) el módulo de elasticidad y c)
el coe…ciente de Poisson.
Fig. 2.23: Barra del Ejemplo 2.5.2
La carga en el límite de proporcionalidad es Pp = 32 kN, y al área de la sección
transversal de la barra es: A = 6 18 = 108 mm2; luego el límite de proporcionalidad resulta: p = Pp A = 32 103 108 = 296 MPa La deformación axial nominal es:
" = L L =
0; 36
250 = 1; 36 10
3
Por tanto, el módulo de elasticidad o de Young es:
E = p " =
296 106
1; 36 10 3 = 217 GPa
La variación de la dimensión transversal h es h = 7; 1 10 3, luego, la deformación transversal nominal es:
"t= h h = 7; 1 10 3 18 = 0; 394 10 3
2.6. TENSIÓN LÍMITE, TENSIÓN ADMISIBLE Y COEFICIENTE DE SEGURIDAD 63
Por de…nición, el coe…ciente de Poisson es igual a:
= "t " =
0; 394 10 3
1; 36 10 3 = 0; 289