Eduardo Daniela
5.6. RELACIONES DEFINIDAS EN R
LA RECTA: Son relaciones donde se da una correspondencia de primer grado
entre las variables ―x‖ y ―y‖, tienen la forma:
R = {(x, y) 2/ ax + by + c = 0 a, b, c a, b no son nulos a la vez}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación:
R = {(x, y) / x – 5 = 0}
Solución:
x – 5 = 0 x = 5, lo cual indica que para cualquier valor de y el valor de x siempre es 5, así los puntos (5, 1), (5, 2), (5, 9) pertenecen a R
Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta que dos puntos determinan una recta, se obtiene una recta paralela al eje y, que intersecta al eje de abscisas en x = 5: -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -5 0 5 10 15 20
Eje X
Eje Y
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Dom(R) = {5} Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación: R = {(x, y) / y
+ 6 = 0}
Solución:
y + 6 = 0 y = -6, lo cual indica que para cualquier valor de x el valor de y siempre es -6, así los puntos (1, -6), (2, -6), (7, -6), (-4, -6) pertenecen a R Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta que dos puntos determinan
una recta, se obtiene una recta paralela al eje x, que intersecta al eje de ordenadas en y = -6:
Dom(R) = Ran(R) = {-6}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0}
Solución:
Si x = 0 2(0) – 3y – 12 = 0 y = -4. El par (0, -4) R Si y = 0 2x – 3(0) – 12 = 0 x = 6. El par (6, 0) R
Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0) se tiene:
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Dom(R) = y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 5x + 10}
Solución:
Si x = 0 y = 5(0) + 10 y = 10 El par (0, 10) R Si y = 0 0 = 5x + 10 x = -2 El par (-2, 0) R
Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, 10) y (-2, 0) se tiene:
Dom(R) = y Ran(R) =
Cuando la ecuación tiene la forma y = mx + b, m da la pendiente, o tangente del ángulo de inclinación, de la recta y b la ordenada del punto de intersección con el eje y.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / 1 6 4 y x } Solución: Si x = 0 1 6 4 0 y y = 6 El par (0, 6) R Si y = 0 1 6 0 4 x x = 4 El par (4, 0) R
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Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, 6) y (4, 0) se tiene:
Dom(R) = y Ran(R) =
Cuando la ecuación tiene la forma 1 b y a x
, se denomina forma simétrica y
los valores a y b indican la abscisa y ordenada de los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y respectivamente.
LA CIRCUNFERENCIA: relación en la que los puntos en el plano cartesiano son
equidistantes de un punto fijo de dicho plano (centro). La distancia del centro a cualquiera de los puntos se denomina radio. En forma general una circunferencia corresponde a una relación de la forma:
R = {(x, y) 2/ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 > 4F}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 – 9 = 0}
Solución:
x2 + y2 = 32 se dice que la ecuación de la circunferencia está en su forma canónica, donde su centro es el origen de coordenadas O(0, 0) y su radio mide 3
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Dom(R) = [-3, 3] y Ran(R) = [-3, 3]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa como x2 + y2 = r2 está en su forma canónica, su centro está en el origen de coordenadas O(0,0) y su radio mide r.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0}
Solución:
x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22
La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio mide 2.
Dom(R) = [0, 4] y Ran(R) = [-1, -5]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa como (x – h)2 + (y – k)2 = r2 está en su forma canónica, su centro está en el punto C(h, k) y su radio mide r.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 + 8x – 2y + 1 = 0}
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Solución:
x2 + y2 + 8x – 2y + 1 = 0, la ecuación de la circunferencia expresada en su forma general y su centro es el punto C
2 2 , 2 8 = C(-4, 1) y su radio mide r = 2 ) 1 ( 4 ) 2 ( 82 2 =4 Dom(R) = [-8, 0] y Ran(R) = [-3, 5]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 está en su forma general, su centro es el punto C
2 , 2 E D , su radio mide r = 2 4 2 2 F E D , su dominio es Dom(R) = D r D r 2 , 2 y su rango es Ran(R) = E r E r 2 , 2 .
LA PARÁBOLA: es una relación donde la regla de correspondencia relaciona una
variable lineal y una variable cuadrática y se expresa de cualquiera de las dos siguientes formas:
R = {(x, y) 2/ y = ax2 + bx + c a ≠ 0} con eje de simetría vertical. Si a > 0 se
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R = {(x, y) 2/ x = ay2 + by + c a ≠ 0} con eje de simetría horizontal. Si a > 0 se
abre hacia la derecha y si a < 0 se abre hacia la izquierda.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 4x2}
Solución:
y = 4x2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre hacia arriba
Dom(R) = y Ran(R) = [0, + >
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -2x2}
Solución:
y = -2x2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre hacia abajo
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Dom(R) = y Ran(R) = <- , 0]
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = 3y2}
Solución:
x = 3y2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la derecha.
Dom(R) = [0, + > y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -2y2}
Solución:
x = -2y2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda
Dom(R) = <- , 0] y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = x2 – 4x +
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Solución:
y = x2 – 4x + 6 y – 2 = x2 – 4x + 4 y – 2 = (x – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma ordinaria, donde su vértice es el punto V(2, 2), el eje de simetría es vertical y se abre hacia la arriba
Dom(R) = y Ran(R) = [2, + >
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -y2 + 4y –
10}
Solución:
x = -y2 + 4y – 10 x + 6 = -(y2 – 4y + 4) x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6, 2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda
Dom(R) = <- , -6] y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -3x2 + 12x - 8}
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y = ax2 + bx + c, la ecuación de la parábola está en su forma general y la abscisa del vértice se puede determinar mediante la expresión x =
a b 2 , el
valor de la ordenada se obtiene reemplazando el valor anterior en la ecuación.
y = -3x2 + 12x – 8 la abscisa del vértice es x =
) 3 ( 2 ) 12 ( = 2
Si x = 2 y = -3(2)2 + 12(2) – 8 y = 4 es la ordenada del vértice. La parábola tiene vértice en el punto V(2, 4), su eje de simetría es vertical y
se abre hacia abajo.
Dom(R) = y Ran(R) = <- , 4]
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = 2y2 + 12y + 15}
Solución:
x = ay2 + by + c, la ecuación de la parábola está en su forma general y la ordenada del vértice se puede determinar mediante la expresión y =
a b 2 , el
valor de la abscisa se obtiene reemplazando el valor anterior en la ecuación.
x = 2y2 + 12y + 15 la ordenada del vértice es y =
) 2 ( 2 ) 12 ( = -3
Si y = -3 x = 2(-3)2 + 12(-3) + 15 x = -3 es la abscisa del vértice. La parábola tiene vértice en el punto V(-3, -3), su eje de simetría es
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Dom(R) = [-3, + > y Ran(R) =
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN