7.3 Modelo Matem ´atico de un motor Stirling
7.3.1 Rendimiento te ´orico de un ciclo Stirling con irreversibilidades
Para calcular el trabajo real que produce un motor Stirling en condiciones reales, hay que tener en cuenta diferentes aspectos que van a afectar al rendimiento final del motor. En este TFG se estudiar ´an estos aspectos estipulando para cada uno un rendimiento espec´ıfico as´ı como las ecuaciones que los definen.
Partiendo del rendimiento de un ciclo ideal Stirling, (ecuaci ´on 51), y partiendo del salto t ´ermico en el que queremos trabajar, exterior al motor, se puede establecer el trabajo util m ´axi- mo que podemos extraer del motor en condiciones ideales.
Wutil=ηcc·Qabs= (1−
Tf
Tc
)·Qabs (52)
Siendo:
Tf = Temperatura del foco fr´ıo.
Tc= Temperatura del foco caliente.
En realidad las temperaturas que alcanza el gas en el interior del motor no son las ideales ya que seg ´un el proceso que se determine para la transmisi ´on de ese calor al interior del motor se generar ´a es un salto t ´ermico real en el interior del motor.
Wutil = (1− Tf +4Tf Tc− 4Tc )·Qabs (53) Siendo: 4Tf =Tf −Tb. 4Tc=Tc−Ta.
DondeTbyTaser ´an las temperaturas m´ınimas y m ´aximas que alcanza el gas en el interior del motor.
Se puede establecer entonces el rendimiento m ´aximo ideal del ciclo que se produce dentro del motor,ηc, queda en funci ´on de las temperaturas generadas dentro del motor.
ηcc= 1− Tf +4Tf Tc− 4Tc = 1− Tb Ta (54)
Y el trabajo m ´aximo del ciclo:
Wutil=ηc·Qabs (55) Siendo el calor absorbido por el motor, considerando un regenerador ideal sin p ´erdidas:
Qabs= (m·R·Ta·ln(rc))·nrev (56) Siendo:
nrev = Revoluciones del motor.
rc= la relaci ´on de compresi ´on VVmaxmin
m=n·M (M = masa molar constante en el gas seleccionado) 7.3.1.1. Ciclo Stirling con regeneraci ´on parcial
Hasta ahora se ha considerado un regenerador ideal sin p ´erdidas, pero en la realidad se producen irregularidades en el proceso de intercambio de calor en el regenerador, que afectan a la eficiencia total del motor. Como el regenerador act ´ua en los procesos isoc ´oricos (ecuaci ´on
47) definidos en la figura9, como los procesos 2-3 y 4-1, la relaci ´on entre absorci ´on y cesi ´on constituye el rendimiento del mismo:
ξ = Q2−3,real |Q4−1|
<= 1 (57) Por lo tanto la fracci ´on (X) de energ´ıa que se pierde en el regenerador y que hay que aportar al motor.
X= 1−ξ (58)
La ecuaci ´on que determina el aporte de calor necesario.
Q2−3,real= (1−ξ)· |Q4−1| (59)
Estableciendo el calor absorbido y el trabajo ´util extra´ıdo en funci ´on de la masa de gas contenida en el motor.
Qabs= (m·R·Ta·ln(rc))·nrev (60)
Wutil= (m·R·(Ta−Tb)·ln(rc))·nrev (61) De igual manera se calcula el aporte de calor debido a las p ´erdidas en el regenerador.
ξ· |Q4−1|= ((1−ξ)·m·Cv·(Ta−Tb))·nrev (62) Por lo tanto, el rendimiento derivado de las irregularidades en el regenerador en el ciclo depender ´an del calor total absorbido por el gas.
Qabs,real = (m·R·Ta·ln(rv) + (1−ξ)·m·Cv·(Ta−Tb))·nrev (63) ηirr,reg = Wutil Qabs,real = m·R·(Ta−Tb)·ln(rv) m·R·Ta·ln(rv) + (1−ξ)·m·Cv·(Ta−Tb) (64)
Operando se obtiene la ecuaci ´on simplificada del rendimiento del ciclo Stirling con p ´erdidas en el regenerador: ηirr,reg = (1− Tb Ta) 1 +(1−ξ)·Cv R·ln(rv) ·(1− Tb Ta) (65)
Siendoηc= (1−TTba)se define el rendimiento derivado del regenerador.
ηirr,reg =ηreg·ηcc (66) ηreg = 1 1 +Cv·(1−ξ) R·ln(r) ·ηc = 1 1 +(1−ξ)·Q4−1 Qabs = Qabs,real1 Qabs = Qabs Qabs,real (67)
Por lo tanto el trabajo ´util del motor con p ´erdidas por ciclo e irregularidades en el regenera- dor:
Wutil=ηc·ηreg·(m·R·(Ta−Tb)·ln(rc))·nrev (68) 7.3.1.2. Ciclo Stirling con p ´erdidas por fricci ´on
Otras ireversivilidades que se producen en el motor son las derivadas de la fricci ´on, que se pueden expresar como una ca´ıda de presi ´on que sufre el gas al transitar desde la zona caliente a la zona fr´ıa y viceversa. Por lo tanto, estas p ´erdidas son funci ´on de la masa de gas que contenga el motor.
m·R= Pmin·Vmax
Tb
(69) Considerando estas p ´erdidas como un trabajo mec ´anico a vencer por el motor, su rendi- miento estar ´a relacionado con el trabajo ´util que se extrae del motor:
Wf riccion =
Z 2
1
4P dV (70)
Donde4P es la ca´ıda de presi ´on.
Como se produce el intercambio dos veces por ciclo:
Wf riccion= 2·nrev·(Vmax−Vmin)· 4P (71) Al trabajo ´util, aplicando los rendimientos calculados anteriormente y sustituyendo la masa en la ecuaci ´on68, se le tendr ´a que a ˜nadir las p ´erdidas, obteniendo as´ı el trabajo real ´util del
motor:
Wutil,real= (ηc·ηreg·
Pmin·Vmax
Tb
·Ta·ln(rc)−2·(Vmin−Vmax)· 4P)·nrev (72) Por lo tanto el rendimiento que resulta de las irreversilidades derivadas de la ca´ıda de presi ´on estipulada.
ηirr,4P =
Wutil,real
Wutil
= 1− 2·(Vmin−Vmax)· 4P
ηc·ηreg·PminT·bVmax ·Ta·ln(rc)
(73) Operando: ηirr,4P = 1− 2·(1− 1 rc)· 4P Pmin ηreg·TTa bln(rv) (74)
Se puede concluir que las p ´erdidas por fricci ´on se producen principalmente en el regene- rador, despreciando las producidas en el calentador y enfriador. Para realizar una estimaci ´on:
4P =f·(1 2·ρr·c
2
r) (75)
Siendo:
f = Constante de fricci ´on (15γ) seg ´un la bibliograf´ıa [3].
γ = Coeficiente adiab ´atico Cp
Cv.
ρr= Densidad del fluido en el regenerador.
cr = Velocidad del fluido en el regenerador, que se puede determinar como:
Cr= 2·πnrev·L
ρp·d2p
ρr·d2r
(76) Siendo:
El sub´ındicepel asociado al pist ´on y elral regenerador
d= Di ´ametro.
Lla longitud de la carrera del pist ´on.
El trabajo ´util en funci ´on de las p ´erdidas.
Wutil=ηc·ηreg·ηirr,4P ·(m·R·(Ta−Tb)·ln(rc))·nrev (77) 7.3.1.3. Ciclo Stirling con p ´erdidas por tranferencia de calor entre dos focos t ´ermicos
determinados.
El motor Stirling tiene unos l´ımites f´ısicos donde se contiene el gas, por lo que la transfe- rencia de calor se har ´a mediante conducci ´on, la cual estar ´a directamente relacionada con las propiedades del material seleccionado. La absorci ´on se realiza durante el proceso 2-3 de la figura9, que corresponde a una expansi ´on isot ´ermica. Por lo tanto, se puede considerar que existe una p ´erdida en el salto t ´ermico entre los focos externos e internos del motor.
Qabs,motor =U ·A·(Tc−Ta) = k x ·A·(Tc−Ta) (78) Siendo: U = Transmitancia t ´ermica. k= Conductividad t ´ermica. x= Espesor. A= ´Area.
Se puede asumir entonces la reversibilidad del ciclo, como el rechazo al proceso de tran- ferencia. El trabajo m ´aximo que puede otorgar el motor trabajando entre los focos exteriores (suponiendo la temperatura del foco fr´ıo aproximadamente igual a la temperatura ambiente) es:
Wmax=nrev·m·R·
p
Tc·Tamb·ln(rv)−ηsQabs,motor =Qabs(1−
r
Tamb
Ta
) (79)
Siendo:
ηs= El rendimiento total del ciclo Stirling
Debe fijarse el flujo de potencia en funci ´on a la diferencia de temperaturas entre el foco caliente y la temperatura ambiente:
σW
σ4T = 0 (80)
SiendoTa= √
Tc·Tamby sustituyendo en las ecuaciones78y79, el trabajo y el rendimien- to: Wmax=Qabs(1− r Tb Tc ) (81) ηirr,4T = (1− Tb Ta ) = (1− r Tc Ta ) (82)
Como esta ca´ıda de temperatura influye en las temperaturas de trabajo del regenerador, modifica tambi ´en su rendimiento.
ηirr,reg = (1− Tb Ta) 1 +(1−ξ)·Cv R·ln(rv) ·(1− q Tb Tc) (83) ηirr,reg =ηreg·ηc (84) ηreg = 1 1 +(1−ξ)·Cv R·ln(rv) ·(1− q Tb Tc) (85)
7.3.1.4. Conclusiones.
El rendimineto te ´orico de un ciclo Stirling real con las irreversibilidades propias de un motor, se considerar ´a la del total de las p ´erdidas.
ηs=ηc·ηirr,4T ·ηreg·ηirr,4P (86)
ηs= (1− Tb Ta )·( 1 1 + q Tc Ta )·( 1 1 +(1−ξ)·Cv R·ln(rv) ·(1− q Tb Tc) )·(1−2·(1− 1 rc)· 4P Pmin ηreg·TTa b ln(rv) ) (87) El trabajo ´util:
Wutil=ηc·ηirr,4T ·ηreg·ηirr,4P ·m·R·(Tc−Tf)·ln(rc) (88) Por lo que aunque en teor´ıa el ciclo Stirling ideal puede alcanzar el rendimiento te ´orico de un ciclo de Carnot, en la pr ´actica, debido a la irregularidades propias de la estructura y componentes que forman el motor, el rendimiento ser ´a mucho menor.
En cuanto a las p ´erdidas, habr´ıa que a ˜nadir las que se producen por efectos mec ´anicos y de viscosidad del gas (casi despreciable), las que se deriven en funci ´on de juntas y defectos constructivos.
Adem ´as, la particularidad de que haya particulas de gas que no completen el ciclo t ´ermico debido a las condiciones para un gas en movimiento, donde se generan diferentes puntos de presi ´on (efecto del espacio muerto), generan unas p ´erdidas a ˜nadidas que var´ıan en funci ´on de la velocidad, de manera que a mayor velocidad, menor p ´erdidas.