3.4 Formalismo de supercampos N = 1
3.4.3 Representaciones irreducibles
Supercampo quiral: El supercampo quiral est´a caracterizado por la condici´on16
¯
Dα˙Φ = 0 (3.88)
El v´ınculo anterior se resuelve facilmente haciendo un cambio de variables en el superespacio de (x, θ, ¯θ)→ (y, θ, ¯θ) donde
yµ= xµ+ iθσµθ¯ (3.89)
El cambio de variables est´a motivado porque ¯
Dα˙yµ = 0 (3.90)
¯
Dα˙θβ = 0 (3.91)
Luego, toda funci´on de (y, θ) es un supercampo quiral17. La soluci´on para el v´ınculo es
Φ(y, θ) = φ(y) +√2θψ(y) + θ2F (y) (3.94)
donde φ(y) y F (y) son campos escalares complejos, mientras que ψ(y) es un espinor de Weyl (12, 0). Tenemos 4 + 4 = 8 componentes de campo reales off-shell, estas son el doble que
16Debido a que
{Q, D} = {Q, ¯D} = { ¯Q, D} = { ¯Q, ¯D} = 0 tenemos que, frente a una transformaci´on supersim´etrica, DΦ transforma covariantemente
Φ→ GΦ =⇒ D(GΦ) = GDΦ . (3.87)
donde G est´a dada por (3.64). Luego, la condici´on de quiralidad es invariante.
17El cambio de variables transforma las derivadas covariantes (3.74) en
Dα = ∂α+ 2i(σµθ)¯α∂µ (3.92)
¯
Dα˙ = ∂¯α˙ (3.93)
las que aparecen en las representaciones irreducibles on-shell. La expansi´on total en θ’s de (3.94) es18 Φ(y, θ) = φ(x) +√2θψ(x) + θ2F (x) (3.101) +iθσµθ∂¯ µφ(x)− i √ 2θ 2∂ µψ(x)σµθ¯− 1 4θ 2θ¯2 ✷φ(x) (3.102)
Las transformaciones supersim´etricas infinitesimales para los campos son
δφ = √2ξψ (3.103)
δψ = √2ξF +√2iσµξ∂¯ µφ (3.104)
δF = i√2 ∂µ( ¯ξ ¯σµψ) (3.105)
En notaci´on de espinores de cuatro componentes, agrupando (ξα, ¯ξα˙) → Ξ y (ψα, ¯ψα˙)→ Ψ
(ver ap´endice A), toman la forma δφ = √1 2 ¯ Ξ(1 + Γ5)Ψ (3.106) δΨ = √1 2 h (1 + Γ5)(F + iΓµ∂µφ) + (1− Γ5)(F∗+ iΓµ∂µφ∗) i Ξ (3.107) δF = √i 2 ∂µ ¯ Ξ(1− Γ5)ΓµΨ (3.108)
Notemos que la variaci´on de F es una derivada total19. Tenemos entonces que el supercampo
quiral define una representaci´on lineal off-shell de supersimetr´ıa N = 1. La expresi´on on- shell de las transformaciones se obtiene al reemplazar el campo auxiliar F por su ecuaci´on de movimiento (que resulta ser una ecuaci´on algebraica). En general las transformaciones on-shell ser´an no lineales.
18El supercampo quiral corresponde al supercampo escalar general con el siguiente v´ınculo
¯ χ(x) = 0 (3.95) n(x) = 0 (3.96) Aµ(x) = i∂µf (x) (3.97) ¯ λ(x) = −2i∂µφσµ (3.98) ψ(x) = 0 (3.99) d(x) = −14✷f (x) (3.100)
es facil verificar que las transformaciones supersim´etricas N = 1 respetan este v´ınculo.
19La manera de obtener elegantemente la componente mas alta de un supercampo quiral es integrando en
La representaci´on del campo quiral Φ = (φ, ψ) corresponde on-shell al multiplete super- sim´etrico que contiene un campo escalar complejo φ y un fermi´on de Weyl ψ (cf.(3.36)).
Los supercampos antiquirales se definen de la manera obvia. Si Φ(y, θ) es un campo quiral, Φ†(y†, ¯θ) ser´a un campo antiquiral, esto es, satisfar´a
DαΦ† = 0 (3.109)
Φ† = Φ†(y†, ¯θ) , y† = xµ− iθσµθ¯ (3.110) Dado que Dα y ¯Dα˙ obedecen la regla de Leibniz, todo producto de supercampos quirales
(antiquirales) es un supercampo quiral (antiquiral).
Supercampo vectorial: Este multiplete se define como un supercampo real
V (x, θ, ¯θ) = V†(x, θ, ¯θ) (3.111) en componentes V (x, θ, ¯θ) = c + θψ + ¯θ ¯ψ + θ2m + ¯θ2m∗− θσµθA¯ µ +iθ2(¯θ¯λ + 1 2θ/¯¯∂ψ)− i¯θ 2(θλ −1 2θ/∂ ¯ψ) + θ 2θ¯2(1 2D− 1 4✷c) (3.112) Tenemos entonces 4 escalares reales, 2 espinores de Weyl y un campo vectorial real. El n´umero total de componentes es 8 + 8 = 16 componentes reales y corresponde a una repre- sentaci´on irreducible off-shell con el doble de grados de libertad que la representaci´on on-shell masiva correspondiente a Ω1
2. La presencia del vector Aµ en el supermultiplete sugiere em-
plearlo para construir modelos supersim´etricos invariantes de gauge. Debemos, entonces, definir la generalizaci´on de la invarianza de gauge en el caso supersim´etrico.
Definimos las transformaciones de gauge supersim´etricas (supergauge) del multiplete vec- torial como
V → V + Λ + Λ† (3.113)
donde Λ (Λ†) es un supercampo quiral (antiquiral). Desarrollando en componentes vemos que es posible elegir convenientemente Λ de manera de llevar al supercampo V al gauge de “Wess-Zumino” donde c = ψ = m = 0
VW Z =−θσµθA¯ µ+ iθ2θ¯¯λ− i¯θ2θλ + θ2θ¯2
1
La elecci´on del gauge WZ fija todas las componentes del campo quiral Λ = (ϕ, χ, G) excepto la correspondiente a la parte imaginaria del campo ϕ. Es facil ver desarrollando (3.113) en componentes que fijado el gauge de WZ a´un tenemos la libertad de realizar transformaciones de gauge abelianas sobre Aµ
Aµ→ Aµ+ ∂µϕI (3.115)
con ϕI = 2 Im(ϕ). De esta manera, el campo vectorial A
µ transforma frente a (3.113) de la
manera esperada. El gauge de Wess-Zumino no es invariante frente a supersimetr´ıa20, sin
embargo aun habi´endolo fijado tenemos la libertad de realizar transformaciones de gauge abelianas sobre Aµ. Las transformaciones supersim´etricas infinitesimales para los campos
son
δW ZAµ = −i(ξσµ¯λ + ¯ξ¯σµλ) (3.116)
δW Zλα = i(Dξα− Fµν(σµνξ)α) (3.117)
δW ZD = ∂µ( ¯ξ¯σµλ− ξσµλ)¯ (3.118)
Que en notaci´on de espinores de cuatro componentes toman la forma
δW ZAµ = −i ¯ΞΓµΛ (3.119)
δW ZΛ = i(DΓ5− FµνΣµν)Ξ (3.120)
δW ZD = ∂µ(¯ΞΓµΓ5Λ) (3.121)
A partir de V definimos el supercampo de curvatura como21
Wα = 1 8D¯ 2e−2VD αe2V (3.122) = iλα− θαD + i 2(σ µσ¯νθ) αFµν − θ2(/∂¯λ)α (3.123)
20La situaci´on es an´aloga a lo que sucede en las teor´ıas de gauge usuales, el fijado del gauge de Coulomb A 0
no es invariante de Lorentz, si queremos permanecer en el gauge de Coulomb luego de una transformaci´on de Lorentz, debemos realizar una transformaci´on de gauge adicional. En nuestro caso, si queremos permanecer en el gauge de WZ luego de una transformaci´on supersim´etrica debemos realizar una transformaci´on de supergauge adicional. Por lo tanto en (3.118) denotamos por δW Z ≡ δ(SUSY )+δ(SG)donde δ(SG)corresponde
a la transformaci´on de supergauge adicional que es necesario realizar sobre el supercampo V′= V +δ(SUSY )V
para llevarlo al gauge de WZ.
21Como veremos mas abajo, en el caso abeliano W
α es invariante de gauge por lo tanto puedo calcular
(3.122) en el gauge de WZ, la particularidad de este gauge es que V3 = 0. Luego, la exponencial tiene un
Fµν es el tensor de campo electromagn´etico usual Fµν = ∂µAν−∂νAµ. Wα es un supercampo
quiral e invariante de gauge22
Wα → 1 4D¯ 2D α(V + Λ + Λ†) = Wα+ 1 4D¯ 2D αΛ (dado que DαΛ† = 0) = Wα− 1 4D¯ ˙ β{ ¯D ˙ β, Dα}Λ (dado que ¯Dβ˙Λ = 0) = Wα (3.124)
donde en el ´ultimo paso usamos que
{ ¯Dβ˙, Dα} = −2σα ˙µβPµ
[ ¯Dβ˙, Pµ] = 0 . (3.125)
Los campos de materia, representados por supermultipletes quirales Φ, cambian frente a una transformaci´on de supergauge como
Φ→ e−2ΛΦ , Φ† → Φ†e−2Λ† (3.126)
Combinaciones
Φ†e2VΦ (3.127)
son invariantes de gauge.
En la generalizaci´on no abeliana V pertenece a la representaci´on adjunta del ´algebra V = Vat
a y las transformaciones de gauge se implementan como
e2V → e−i2Λ†e2Vei2Λ donde, Λ = Λata (3.128)
con [ta, tb] = ifabctc. El supercampo de curvatura se define por (3.122), cuya expresi´on en
campos componentes queda
Wα = iλα− θαD + i 2(σ µσ¯νθ) αFµν− θ2(/∇¯λ)α (3.129) 22W
donde ahora las expresiones para la fuerza de campo Fµν y la derivada covariante actuando
sobre el gaugino son
Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ+ i[Aµ, Aν] (3.130)
(/∇¯λ)α ≡ σα ˙µα(∂µλ¯α˙ + i[Aµ, ¯λα˙]) (3.131)
En el caso no abeliano Wα es covariante frente a transformaciones de gauge (cf. ec.(3.124))
Wα → e−i2ΛWαei2Λ (3.132)
Las transformaciones supersim´etricas toman la forma (3.118) recordando ahora que los cam- pos toman valores en el ´algebra de Lie del grupo de gauge elegido. El fijado del gauge de WZ en el caso no abeliano es mas sutil pero una vez realizado, el ´unico grado de libertad que queda en Λ es el correspondiente a las transformaciones de gauge usuales, las que se realizan tomando Λ = a donde a es un campo real.
Chapter 4
Teor´ıa de Born-Infeld-Higgs Abeliana
y cotas BPS
En este cap´ıtulo estudiamos la extensi´on supersim´etrica N = 2 del modelo Born- Infeld-Higgs en tres dimensiones espacio-temporales y derivamos las ecuaciones de Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) para el sector bos´onico. La supersimetr´ıa im- pone una forma particular para el potencial del campo de Higgs y para el acoplamiento del mismo con el campo de gauge (cuya din´amica esta determinada por la acci´on de Born-Infeld). Derivamos las cotas de Bogomol’nyi para la energ´ıa del v´ortice a partir del ´algebra supersim´etrica; las ecuaciones BPS resultantes coinciden con las obtenidas en el modelo de Maxwell-Higgs.
Discutimos tambi´en la estructura BPS para modelos no polin´omicos generales, mos- trando la ineluctabilidad de las ecuaciones de Bogomol’nyi.
El inter´es en 3 dimensiones se debe a que en este espacio-tiempo se conocen soluciones de v´ortice para las ecuaciones de Bogomol’nyi. Estos resultados son parte de las contribuciones originales de esta tesis [65].
4.1
Introducci´on
La extensi´on supersim´etrica de la teor´ıa de Born-Infeld [1]-[2] fue analizada en [55]-[56] empleando t´ecnicas de superespacio. Mas recientemente, se estudiaron las extensiones su- persim´etricas de la teor´ıa de Born-Infeld en 10 dimensiones, de inter´es dada su conexi´on con la din´amica de Dp-branas [31]-[34],[44]-[46],[57]-[61].
El objeto del presente cap´ıtulo es estudiar las relaciones de Bogomol’nyi y las soluciones BPS para el modelo de Born-Infeld-Higgs y para modelos no polin´omicos generales, temas ´ıntimamente relacionados a la extensi´on supersim´etrica de los mismos. Con este fin, cen- tramos el an´alisis en la extensi´on supersim´etrica N = 2 de la teor´ıa de Born-Infeld en tres
dimensiones espacio-temporales. La elecci´on del espacio-tiempo d = 3 simplifica los c´alculos sin perder generalidad. Es posible mostrar que al ser acoplada de manera particular a un campo de Higgs la teor´ıa de Born-Infeld, admite para su sector bos´onico una cota de Bo- gomol’nyi [18]. Esto sugiere que dicha teor´ıa deber´ıa poder ser supersimetrizada. Como consecuencia de la construcci´on realizada en [18] las ecuaciones BPS resultantes coinciden con las de la teor´ıa de Maxwell-Higgs. Este punto ser´a discutido hacia el final del presente cap´ıtulo en conexi´on con la extensi´on supersim´etrica de modelos no polin´omicos generales.
Como es sabido, las relaciones de Bogomol’nyi pueden ser halladas estableciendo una desigualdad entre la energ´ıa del sistema y la carga topol´ogica [17] o analizando las rep- resentaciones del ´algebra supersim´etrica en presencia de extensiones centrales [21]. Para este ´ultimo punto de vista es muy instructivo derivar expl´ıcitamente, usando el m´etodo de Noether, el ´algebra supersim´etrica, descubri´endose as´ı el origen de las propiedades BPS de los estados y mostrando la igualdad entre la extensi´on central y la carga topol´ogica. Este procedimiento fue seguido para el modelo de Maxwell-Higgs en [23]. En el presente cap´ıtulo realizamos un an´alisis similar para el modelo supersim´etrico de Born-Infeld-Higgs.
El plan de este cap´ıtulo es el siguiente: en la primera secci´on construiremos la teor´ıa de Born-Infeld con N = 1 supersimetr´ıas en d = 4 dimensiones dando una f´ormula explicita para el lagrangiano fermi´onico, necesario para la construcci´on de las cargas supersim´etricas. En la secci´on siguiente resumiremos el modelo supersim´etrico de Higgs con ruptura espont´anea de la simetr´ıa de gauge. En la secci´on 4 procederemos a realizar una reducci´on dimensional a d = 3, obteniendo la teor´ıa de Born-Infeld-Higgs con N = 2 supersimetr´ıas. Mostraremos el origen supersim´etrico de las ecuaciones BPS en la secci´on 5; el ´algebra supersim´etrica N = 2 ser´a constru´ıda en la secci´on 6 en donde se discutir´an las cotas de Bogomol’nyi. La sensibilidad de las ecuaciones BPS a la din´amica asociada al campo de gauge ser´a discutida para modelos polin´omicos generales en la secci´on 7. En la ´ultima secci´on discutiremos los resultados obtenidos.