Resistencia

Los esfuerzos de flexión son el resultado de aplicar fuerzas en la dirección perpendicular al eje longitudinal, con el resultado de que el tubo tiende a doblarse. Estas cargas tienden a flexionar los tubos, provocando momentos flectores. Esta tensión no podrá en ningún caso ser superior a la tensión de fallo, representada en este caso por el límite elástico del material, para evitar las deformaciones plásticas.

F

Cálculo de la función de índice de material para evitar la plasticidad, sin superar la tensión de fallo con cargas que producen flexión, con el objetivo de minimizar el peso y el coste.

Para estos cálculos será necesario utilizar el área y los momentos de sección de un tubo cilíndrico hueco. [4]

Tabla 7 2: Ecuaciones para una sección cilíndrica.

Sección Área m2 _{Momento I m}4 _{Momento Z m}3

π.(r

o2

- r

i2

)

≈ 2.π.r.t

π

4. (r

o 4

_{- r}

i 4

₎

≈ π.r

3

. t

π

4r

₀

. (r

o 4

_{- r}

i 4

₎

≈ π.r

2

.t

El momento máximo sobre dicha sección se halla en el punto más lejano del eje neutro y se calcula con el momento resistente Z.

Z

=

I

ym

Ecuación 7 1

F = Fuerza aplicada en el tubo (N) r = Radio del tubo (m)

t = Grueso del tubo (m) L = Longitud del tubo (m) Mf = Momento flector (N.m)

m = Masa del tubo (Kg) σf= Tensión de fallo (MPa)

ρ = Densidad del material (Kg/m3₎ σy = Límite elástico del material (MPa)

y

_m

= Distancia desde el eje neutro (m)

I = Segundo momento de área (m

4₎

Z

= Momento resistente (m

3₎

C = Constante del modo de carga

F

L

r

M

_t

Figura 7 2: Elemento sometido a flexión.

Se toman las ecuaciones de momento flector, momento resistente y masa, se igualan en función del grueso y se despeja la masa.

Mf = F. L = C.I.σ_f y_m

Ecuación 7 2 Z

=

I y_m

= π.r

2

_.t

_{Ecuación 7 3}

Se calcula la ecuación de la función.

F =C.I.σf y_m.L

=

C.Z.σ_f L

=

C.π.r2.t.σ_f L

Ecuación 7 4

m = 2.π.r.t.ρ.L

→ t

=

m 2.π.r.ρ.L

Ecuación 7 5 Se calcula la ecuación de rendimiento

F =

C.r.σf.m 2.ρ.L2

→ m

=

2.F.ρ.L2 C.r.σ_f

Ecuación 7 6

R = f [F, G, M] → m = (

F C

) (

L2 r

) (

ρ σf

)

De la ecuación de rendimiento, se extrae la función índice del material, que se usará en el software Granta Edupack para determinar qué materiales pueden efectuar la función con la máxima eficacia, a la vez que conseguir el mínimo peso.

m ↓=

ρ

σ_f

↓=

σ_f

ρ

↑

Ecuación 7 7

Función índice del material → M = σy

ρ

Ecuación 7 8

Para encontrar el mínimo precio, se incorpora el coste del material en la ecuación de la masa.

C = C

_m

.m → C ↓=

Cm.ρ

σ_f

↓=

σ_f

Cm.ρ

↑

Ecuación 7 9

Función índice del material → M = σy

C_m.ρ

Ecuación 7 10

7.3. Valores umbral.

Las restricciones que se aplicarán a las propiedades mecánicas del material, rigidez, tenacidad a la fractura, resistencia a la fatiga y resistencia a la corrosión, deberán cumplir un valor mínimo, por encima del cual se asegura la fiabilidad del cuadro. Los cálculos de los valores umbral se realizarán con los siguientes componentes del cuadro.

Tabla 7 3: Dimensiones de componentes del cuadro para cálculo de valores umbral.

Propiedad Componente Longitud

(mm)

Diámetro (mm)

Grueso (mm)

Rigidez Tubos tirantes 500 16 0,2

Tenacidad a la fractura Tubo horizontal 600 30 0,3 Resistencia a la fatiga Tubo vertical 500 30 0,3

Las dimensiones dadas para los componentes son las mínimas exigibles, tal como se puede ver en el catálogo de un fabricante de tubos de bicicletas. Con esto se asegura que los valores

umbral calculados, actuarán como óptimas restricciones, para asegurar la fiabilidad del cuadro. [7]

Figura 7 3: Dimensiones de los tubos tirantes.

Figura 7 5: Dimensiones de los tubos verticales.

Las cargas estáticas que ha de soportar el cuadro son las siguientes:

o Peso del ciclista: es la carga ocasionada por la masa del ciclista (80 Kg), que estará aplicada, el 75% en el sillín (600 N) y el 25% en el manillar (200 N), resultado de multiplicar la masa por la gravedad.

o Fuerza del pedaleo: es la carga producida en la acción de pedalear, que realiza el ciclista alternativamente con cada pierna en cada uno de los pedales. Se calcula la fuerza (212 N) como la máxima que se puede realizar en cada pedal, en función de la potencia máxima (400 W) que puede desarrollar un ciclista, con una cadencia de pedaleo máxima de (100 rpm).

100 rpm

400 W

Figura 7 6: Conjunto pedalier formado por platos, bielas y pedales.

Cuando el ciclista hacer girar el conjunto del pedalier a 100 rpm la velocidad angular (

ω

) de la biela es:

ω =

2∗π∗100

60

= 10,5 rad/s

Con la potencia desarrollada de 400 W y la velocidad angular se puede calcular el par (M) y con la longitud de la biela extraer la fuerza aplicada.

P = M. ω = F. L. ω

Ecuación 7 11

F = P L.ω

=

400

Se realizarán los cálculos con diferentes elementos del cuadro, en función del tipo de esfuerzo al que esté sometido. En todos los casos, para simular una situación límite, un único componente del cuadro soportará toda la carga en ese punto calculada, incluyendo un factor de seguridad, lo cual ofrecerá un resultado, que asegurara que el cuadro nunca se va a fracturar ni a deformar al soportar las cargas en su uso habitual.

Además, hay que tener también en cuenta las restricciones que obligan, que los componentes del cuadro deberán estar fabricados con tubo redondo de pared delgada, con una longitud y diámetro definidos, siendo estas unas restricciones que imponen que los componentes para fabricar el cuadro tienen que poder ser manufacturados con los materiales seleccionados y la forma y dimensiones así definidas.

600N

200N

212N

7.3.1. Rigidez.

Las cargas de compresión tienden a provocar el pandeo de los tubos, para evitar el pandeo hay que buscar la máxima rigidez, evitando las deformaciones elásticas. Por sus características, el cuadro de una bicicleta, debería ser lo más rígido posible, para no absorber energía elástica, pues esto sería un punto negativo en la utilización de la bicicleta.

F

Figura 7 8: Componente del cuadro sometido a flexión y compresión.

Los tubos tirantes están sometidos a cargas que provocan compresión y flexión, el resultado es flexión compuesta.

F

L

r

t

M

F

Figura 7 9: Elemento sometido a flexión y compresión.

Se aplica la carga sobre el sillín de 600 N con un factor de seguridad de 1,5, de esta forma la carga que soportan los tirantes es de 900 N. Como los tubos tirantes son dos, se reparten la carga total y cada uno soportará 450 N. Los tubos tirantes serán tubos cilíndricos huecos, tendrán unas dimensiones de 0,2 mm de grueso, 16 mm de diámetro y 500 mm de longitud. Debido a la geometría de los tirantes, al ser los tubos de menor diámetro del cuadro y estar sometidos a compresión y flexión, son los componentes en los que más se podrá producir pandeo, se especifica una carga elevada de 450 N, para dar a los tirantes la máxima rigidez y garantizar que no se producirán deformaciones elásticas.

Fc = Fuerza crítica (N)

M

_f = Momento flector (N.m) r = Radio del tubo (m) t = Grueso del tubo (m) L = Longitud del tubo (m) E = Modulo de Young (GPa)

I = Segundo momento de área (m

4₎ n = Constante longitud de onda de pandeo

Se toma la ecuación de esfuerzo crítico y segundo momento del área para calcular el valor umbral del módulo de Young.

Fc = 450 N L = 500 mm r = 8 mm t = 0,2 mm n = 2

F

c

=

n2.π2.E.I L2

−

M_f2 4.E.I

Ecuación 7 12

M

_f =

F

_c. L Ecuación 7 13

F

_c

=

n 2_.π2_.E.I L2

−

(F_c.L)2 4.E.I

Ecuación 7 14

Se calcula E con una ecuación de segundo grado.

4.n

2

_.π

2

_{. E}

2

_{. I}

2

_{− 4.F}

c

. L

2

.E.I − F

c2

. L

4

= 0

Ecuación 7 15

I= π.r

3

_.t

_{Ecuación 7 16}

E = 33 GPa

7.3.2. Tenacidad a la fractura.

La mecánica de fractura lineal elástica es la ciencia que estudia los mecanismos y procesos de propagación de grietas en sólidos sometidos a tensión externa. En resumen, la mecánica de fractura consiste en comparar la energía disponible para la propagación de una grieta con la energía necesaria para producirla. La energía disponible para el avance de la grieta se denomina (G_I) y la energía necesaria se denomina (G_Ic

).

[8]

El criterio de propagación de grietas de Griffith se basa en un balance entre energía disponible y energía requerida para la propagación. La energía disponible (GI) para la propagación de la

grieta se denomina tasa de liberación de energía, tal como lo escribió Griffith. [8]

G

I

=

π.σ2.a

E

Ecuación 7 17

Se puede definir la tensión crítica de propagación de la grieta, también conocida como tensión de fractura de Griffith, donde (GIc) es una propiedad del material denominada fuerza resistente

al agrietamiento. [8]

σ

_c

= √

GIc.E

Más adelante Irwin formuló el problema de propagación de grietas en términos del estado de tensiones del material y dedujo que el proceso de fractura se producía en una zona próxima a la punta de la grieta que denomino zona plástica o zona de proceso de fractura. Definió KI

como el factor de intensidad de tensiones, que determina completamente el campo de tensiones alrededor de una grieta. Por lo tanto, una grieta se propagará cuando alcance un valor crítico KIc denominado factor crítico de intensidad de tensiones, también conocido como

tenacidad a la fractura. [8]

K

_Ic

=

Y. σ

c

.√π. a

Ecuación 7 19

Se realizarán los cálculos con el tubo horizontal, se aplica la carga sobre el sillín de 600 N con un factor de seguridad de 1,5, de esta forma la carga que soporta el tubo horizontal es de 900 N. El tubo horizontal será un tubo cilíndrico hueco, tendrá unas dimensiones de 0,3 mm de grueso, 30 mm de diámetro y 600 mm de longitud. Se toma un valor de longitud de grieta crítica de 10 µm.

Figura 7 10: Relación entre límite elástico y tenacidad a la fractura.

Cuando el estado de tensiones alrededor de una grieta alcanza un valor crítico, la grieta se propaga. La longitud de grieta crítica es una relación entre la tenacidad a la fractura del material y la tensión soportada por el componente. Como se puede ver en la figura 7 10, si se

elástico, se puede llegar a calcular un tamaño de grieta crítico que marcará un límite para la mayoría de materiales.

a

_c

=

KIc 2 π.Y2.σ_c2

≈

K_Ic σ_y

=

0,01 1000

= 10

−5

_{Ecuación 7 20}

La plasticidad en una zona próxima a la grieta precede al proceso de fractura, es por esto que, para calcular la longitud de la grieta crítica, se toma un valor de tensión crítica de 1000 MPa, el cual no se va a alcanzar en ningún componente del cuadro, ya que este valor supera el valor medio de límite elástico de todos los materiales, el cual, no se va a superar en ningún caso, para evitar las deformaciones plásticas, tal como está definido en la ecuación de rendimiento basada en la resistencia, de la cual se extrae la función índice del material. Por esto, se toma un valor de longitud de grieta crítica de 10 µm.

Según lo explicado anteriormente, la grieta se propaga cuando se alcanza un valor crítico de intensidad de tensiones. El valor de la intensidad de tensiones alrededor de una grieta no solo está producido por la carga que soporta el componente, ya que esta intensidad también se puede ver incrementada repentinamente por vibraciones, frenazos y golpes o esfuerzos puntuales elevados, provocados por algún accidente no previsto en su uso normal, que podrían provocar una fractura frágil del componente. Debido a esto, se toma una carga más elevada de la que soportará el componente en su uso habitual, para asegurar que este tendrá la tenacidad a la fractura suficiente para resistir cargas y golpes imprevistos.

Primero, con la ecuación del momento flector y del momento resistente, se calculará la tensión máxima a la que estará sometido el tubo, la cual se usará como tensión crítica más adelante.

Fc = 900 N L = 600 mm r = 15 mm t = 0,3 mm c = 1 a = 10 µm

M

f

= F

c

. L =

C.I.σ_f y_m

Ecuación 7 21

Z

=

I y_m

= π.r

2

_.t

_{Ecuación 7 22}

σ

_f

=

Fc.L C.π.r2.t

=

900∗600 1∗π∗152∗0,3

=

2546MPa

La tensión calculada es superior al límite elástico de todos los materiales, es así, porque esta tensión sólo se producirá por golpes o esfuerzos puntuales elevados.

Cálculo del factor geométrico [4]:

Figura 7 11: Factor geométrico de elemento flexionado.

Y =

1,1∗(1−

3 2

∗

a t

)

(1−

a t

)

3 2

= 1,1

Ecuación 7 23

Y = Factor geométrico

σ

_c

= Tensión crítica (MPa)

a = Longitud de la grieta (m)

KIc

= Tenacidad a la fractura (MPa.m

1/2)

Se calculará la tenacidad a la fractura con la ecuación del valor crítico KIc

K

Ic

=

Y. σ

c

.√π. a Ecuación 7 24

K

_Ic

= 1,1 ∗ 2546 ∗ √π ∗ 0,01 ∗ 10

−3

_{= 16 MPa. m}

12

7.3.3. Resistencia a la fatiga.

Las cargas cíclicas favorecen el crecimiento de las grietas que pueden terminar en fallo por fatiga del componente. Para muchos materiales existe una resistencia a la fatiga, por debajo del cual, la rotura, o no se produce, o se produce después de un número muy alto de ciclos. La cadencia del pedaleo puede llegar a ser de hasta 100 rpm. Dependiendo de la posición del pedal (ángulo en el que se encuentra situado) el ciclista realizará más o menos fuerza sobre él, lo que provocará los ciclos de carga.

0°

90°

180°

270°

Figura 7 12: Amplitud de fuerza realizada al pedalear en función del ángulo de la biela.

En el estudio del efecto de cargas cíclicas que pueden producir rotura por fatiga, se utiliza el concepto de amplitud de tensión, que se define con la ecuación.

σ

_a

=

σmax−σmin

La figura 7.11 muestra cómo varía el número de ciclos de fallo con el valor de amplitud de tensión utilizado en los ensayos. Para muchos materiales existe una resistencia a fatiga, que es la amplitud de tensión, cuando la tensión media es igual a 0, por debajo del cual la fractura no se produce, o sólo tiene lugar después de un número muy alto, superior a 107 _ciclos. El software Granta Edupack utiliza el valor de la resistencia a la fatiga para un número de ciclos determinado (107 _ciclos).

A

m

p

lit

u

d

d

e

ten

si

ó

n

Ciclos de fallo

Límite a fatiga

MPa

Resistencia

a la fatiga

Figura 7 13: Límite de amplitud de tensión en función del número de ciclos.

Las cargas variables se realizan a partes iguales sobre el tubo vertical y diagonal. Se realizarán los cálculos con el tubo vertical, soportando la carga cíclica producida por el pedaleo.

F = Fuerza aplicada (N)

σ

_f = Tensión de fallo (MPa)

σ

_a = Tensión de amplitud (MPa)

La fuerza del pedaleo es la carga producida en la acción de pedalear. La carga calculada es de 180 N, aunque esta no es la fuerza que produce fatiga, la cual se calculará más adelante. El tubo vertical será un tubo cilíndrico hueco, tendrá unas dimensiones de 0,3 mm de grueso, 30 mm de diámetro y 500 mm de longitud.

F

La fuerza ejercida que produce fatiga es perpendicular a la que ejerce el ciclista sobre el pedal.

F

p (212 N)

F

f

45 mm

180 mm

Figura 7 15: Fuerza ejercida para el cálculo a fatiga

Se toman las dimensiones de un pedal y una biela para calcular la fuerza que causa fatiga, que es la que se ejerce perpendicularmente a la realizada en el pedal.

Fp∗ 45 =

F

f∗ 180 Ecuación 7 26

Ff =

212 ∗ 45

180

= 53N

Se aplica el factor de seguridad de 1,5 y la fuerza ejercida que produce fatiga es de 80 N. Con la ecuación del momento flector y del momento resistente, se calcula la tensión máxima a la que estará sometido el tubo, la cual se usará para calcular la tensión de amplitud.

Fc = 80 N L = 500 mm r = 15 mm t = 0,3 mm Mf=

F

c. L = C.I.σ_f y_m

Ecuación 7 27 Z

=

I y_m

= π.r

2

_.t

_{Ecuación 7 28}

σ

f

=

F_c.L C.π.r2_.t

=

80∗500 1∗π∗152_∗0,3

= 189MPa

Para calcular la tensión de amplitud, hay que tener en cuenta que el pedaleo se realiza con dos pedales, izquierdo y derecho, que están unidos por un eje y desfasados 180 grados el uno del otro. Cuando uno está realizando la máxima fuerza, el otro no realiza fuerza, el resultado es que el tubo ha de resistir las cargas por ambos lados. La tensión de amplitud es la variación entre la máxima y la mínima de cada ciclo y es igual al promedio de las tensiones alcanzadas. FUERZA 90° 180° 270° PEDAL DERECHO 90° 0° 0° 180° 270° 0° 180° PEDAL IZQUIERDO

Figura 7 16: Fuerza realizada con cada pedal en función del ángulo de la biela.

σ

_a

=

σmax−σmin

2

Ecuación 7 29

σ

_a

=

189−(−189)

7.3.4. Corrosión.

El deterioro del material debido a la corrosión, puede debilitar la resistencia de los elementos que se ven afectados por este fenómeno. Una excelente resistencia a la corrosión producida por el agua dulce será necesaria para evitar estos daños.

También será necesario tener en cuenta, si se da el caso, los procesos de soldadura por fusión. Debido a la diferente composición química del material de aporte y a tensiones establecidas en el proceso de unión, se generan diferencias estructurales que pueden producir fácilmente corrosión galvánica del material.

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