Descripción de los datos
RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL
El alumno A8 resuelve en forma no lineal en el sistema de representación numérico (SRN), formula adecuadamente la expresión algebraica exponencial en el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), y resuelve en forma lineal tanto en el sistema de representación grafico (SRG) como en el sistema de representación verbal escrito (SRVE).
En el SRN, calcula el porcentaje de aumento para la primer hora 7,5, y lo va suma a la cantidad de bacterias iniciales. Por ejemplo: para el mes 1 obtiene 50+7,5=57,5, para el mes 2 calcula (57,5. 0,15)=8,62 y lo suma al valor anterior 57,5+8,62= 66,12 bacterias. Repite el proceso para las primeras 20 horas. (Ver figura 22).
SRN SRG SRVE SRA1
T.A.N: Aumenta lo mismo cada mes
T.A.G: Es posible unir dos puntos mediante una recta.
T.A.G: La representación
gráfica del crecimiento de las
población de bacterias es una recta
T.A.G: Es una función lineal porque
la gráfica es una recta T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de bacterias es una recta
creciente.
T.A.A1: La
expresión algebraica que permite calcular la cantidad de
bacterias por hora es f (t)= a.t+b , donde t es el tiempo en horas, a es el valor fijo, y b es la cantidad inicial. T.A.A1: El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema.
76 Figura 22: resolución parcialmente exponencial de A8
En el SRA1 formula adecuadamente la expresión del modelo, pero no escribe el dominio y la imagen de la función. (Ver figura 23)
En el SRG, representa una función lineal, y luego argumenta que efectivamente lo es (ver figura 23).
77 Figura 23: resolución parcialmente exponencial de A8
En esta resolución los teoremas en acto que dirigen la acción de A18 en cada sistema de representación son contradictorios entre sí. El análisis de las respuestas muestra que existen ideas exponenciales y lineales. Este alumno resuelve adecuadamente en un sistema de representación, pero eso no implica que pueda hacerlo en otro.
Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los descriptos por Sureda y Otero (2013).
Tabla 9: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente exponenciales
SRN SRG SRVE SRA1 T.A.N: El aumento de la cantidad de bacterias se calcula sobre la cantidad inmediata anterior
T.A.G: Es posible unir dos puntos mediante una recta”
T.A.G:“La
representación gráfica del crecimiento de las población de bacterias es una recta
T.A.G: Es una función lineal porque la gráfica es una recta”
T.A.G: La
representación gráfica del crecimiento de las bacterias es una recta creciente.
T.A.A1: La expresión
algebraica que permite calcular la cantidad de bacterias por hora es f (t)= t a k. , donde k es la cantidad inicial, a es la tasa de crecimiento y t es el tiempo.
78 Resultados de las situaciones 4 y 5
En estas situaciones la finalidad era construir la expresión general del modelo exponencial, además de realizar la representación gráfica.
En la situación 4 se distinguen dos estrategias de resolución, una parcialmente exponencial y otra exponencial. En el sistema de representación numérico todas las respuestas son exponenciales (SRN), en el sistema de representación grafico (SRG), solo hay tres respuestas exponenciales, dos no lineales y el resto son lineales; lo cual permite inferir que hay dificultades para pasar de un sistema de representación a otro; en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) hay cinco respuestas exponenciales, dos no lineales y el resto lineal. De las cinco respuestas exponenciales hay dos que respondieron en forma lineal en el SRG y luego al verbalizar escribieron que eran exponenciales, manifestando la dificultad que tienen los alumnos para pasar de un sistema de representación a otro, además de que al encontrarse con una nueva situación plantean estrategias que ellos conocen y dominan con las lineales. Y en el sistema de representación algebraico de orden 1 (SRA1) la totalidad de los alumnos formuló adecuadamente la expresión general del modelo.
En la situación 5, todavía se observan alumnos que plantean esquemas lineales en todos los sistemas de representación.
En esta situación se distinguen cinco estrategias de resolución diferentes: una lineal, dos parcialmente lineal, quince parcialmente exponenciales y dos exponenciales.
Se observa en la mayoría de los alumnos aunque hayan resuelto en un sistema de representación resuelven de manera distinta en otro. Por ejemplo, la mayoría de los alumnos resuelven en forma exponencial en el SRN y en el SRA1 y de forma lineal en el SRG y en el SRVE.
Las situaciones 7 y 8 están diseñadas con el propósito de ampliar el modelo exponencial a la forma más general f(x) = kax b
+
. .
En la situación 7, los alumnos deben construir una tabla de valores a partir de un monto puesto a plazo fijo con una tasa de interés mensual prefijada, y un monto fijo que no se colocó a plazo fijo, además de escribir la expresión general del modelo para cada caso, representar gráficamente e indicar el dominio y la imagen de las funciones obtenidas. En la situación 8 debían analizar numérica, analítica y gráficamente la funciones obtenidas en la situación anterior, para luego investigar que sucede con la dependencia de las variables a medida que los valores aumentan o disminuyan.
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Situación 7
Situación 7
Un grupo que ha puesto $2440 en un plazo fijo a interés compuesto con una tasa nominal mensual (TNM)del 1,3% recibe al día siguiente de dicha transacción, $800 que ha donado un padre bajo la condición de que el dinero donado no sea colocado a plazo a fijo.
e) Construye una tabla que te permita describir la variación total del dinero para los próximos 6 meses. ¿Cómo modifican los $800 el monto total cada mes?
f) Escribe una expresión que te permita calcular la cantidad de dinero para cualquier mes, considerando también la donación. ¿Cómo sería la expresión si el dinero donado hubiera sido de $1300?
g) Realiza una representación gráfica aproximada de la variación del dinero total del grupo, para cada uno de estos casos. Y para el caso en que no hubiera donación. ¿Qué funciones graficaste?
h) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de cada una de las funciones, que pueden establecerse como modelos de cada situación?
En esta situación sólo un alumno resolvió en forma lineal, once lo hicieron en forma parcialmente exponencial, 6 en forma exponencial y 4 no resolvieron la situación por estar ausentes.
En esta situación se advierte un tipo de resolución, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), que es parcialmente exponencial (alumno A18), y que es representativa de las demás.
A continuación se describe y analiza la resolución del alumno A18. RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL
El alumno A18 resuelve en forma exponencial en el sistema de representación numérico (SRN) y en el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), y en forma lineal en los sistemas de representación grafico (SRG) y verbal escrito (SRVE).
En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas, y utiliza también regla de tres simple para calcular la tarea presentada. También invariantes operatorios referidos al interés compuesto.
A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A18.
El alumno A18 calcula el interés para el primer mes y se lo suma al monto inicial 2440, para el valor obtenido calcula el interés y se lo suma para obtener el valor siguiente; y de esta forma recursiva obtiene los demás montos finales. (Ver figura 24).
Por ejemplo: para el mes 1 tiene un monto final de 2471,72, calcula el interés para este mes 32,13 y lo suma, obteniendo el monto del mes siguiente que es 2503,85.
80 Figura 24: resolución parcialmente exponencial de A18
En este protocolo se observa que A18 expresa adecuadamente la expresión sumando el monto indicado sin donación y con ella.
No formula adecuadamente la imagen de la función ni el dominio de la función, ya que escribe un extremo del intervalo infinito.
81 En el SRG une los puntos y grafica funciones que parecen lineales y luego en el SRVE dice que efectivamente son funciones lineales (ver figura 25).
Figura 25: resolución parcialmente exponencial de A18
Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).
82 Tabla 10: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente
exponenciales
Situación 8
Situación 8
Analiza numérica, analítica y gráficamente las funciones: f1(x) = 1300. 1,013t + 800, f2(x) = 2440. 1,013t + 800 y f3(x) = 2440. 1,013t, definidas de y las
graficadas en la situación anterior. Utiliza para ello los recursos (graficadores, planillas de cálculo) que consideres necesarios.
a) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… grandes?
b) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… chicos? SRN SRG SRVE SRA1 T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior. T.A.G: La representación gráfica parece ser una recta creciente.
T.A.N: La función es lineal porque la representación grafica es una recta.
T.A.A1: El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema. T.A.A1:La expresión algebraica es: f(x)= b a k. x + , donde x es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b es la asíntota horizontal.
83 En esta situación 2 alumnos resolvieron en forma parcialmente exponencial y 16 totalmente exponencial.
En esta situación se advierten dos tipos de resoluciones, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), una que es parcialmente exponencial (alumno A17) y otra que es exponencial (alumno A18).
A continuación se muestran y describen las resoluciones de los alumnos A17 y A18, por ser característicos de ese tipo de resoluciones.
RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL
El alumno A17 resuelve en forma exponencial en dos sistemas de representación: sistema de representación numérico (SRN) y sistema de representación grafico (SRG); y de forma lineal en el sistema de representación verbal escrito (SRVE). En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas, como así también al concepto de variación.
A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A17.
En esta resolución el alumno A17, en el SRN, le da valores a la variable independiente t, reemplaza en la función f1 (t) y obtiene valores cada vez mayores.(ver figura 26).
84 Figura 26: Resolución parcialmente exponencial realizada por el alumno A17
En el sistema de representación gráfico el alumno A17, representa funciones exponenciales para cada una de las funciones dadas. Toma valores puntuales para la variable t y realiza dos representaciones para una misma función f (t), una para valores positivos y otra para valores negativos de la variable t. (Figura 27).
85 Figura 27: resolución parcialmente exponencial de A17
En el sistema de representación verbal escrito el alumno A17 escribe una relación entre las variables que da una idea de variación lineal. (Figura 28).
86 Figura 28: resolución parcialmente exponencial de A5
Los teoremas en acto identificados en esta resolución, se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).
Tabla 11: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente exponenciales
RESOLUCIÓN EXPONENCIAL
El alumno A18 resuelve en forma exponencial en los tres sistemas de representación: sistema de representación numérico (SRN), sistema de representación verbal escrito (SRVE), y en el sistema de representación grafico (SRG). En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos al interés compuesto, como así también al concepto de variación.
A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A18
En la resolución que se muestra a continuación, en el SRN, el alumno le da valores a la variable independiente t, reemplaza en la función f1(t) y obtiene valores cada vez mayores, y da una idea de variación entre la variable t y f1(t).
Al darle valores negativos a t, cada vez más grandes f(t) disminuye, y se aproxima a la asíntota (f(x)=800), donde A18 lo expresa en forma verbal escrito (ver figuras 29,30 y 31).
SRG SRVE SRA1
T.A.G: La representación gráfica es una función exponencial.
T.A.N: A medida que la variable independiente t aumenta f(t) aumenta también.
T.A.N: A medida que la variable independiente t disminuye f(t) también lo hace.
T.A.N: La variación de una cantidad depende de la variación de otra. T.A.A1: La expresión algebraica es: f(x)= k.ax +b Donde x es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b es la asíntota horizontal.
87 Figura 29 : resolución exponencial de A18
88 Figura 30: resolución exponencial de A18
89 Figura 31: resolución exponencial de A18
Los teoremas en acto identificados en esta resolución del alumno A18 se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).
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SRG SRVE SRA1
T.A.G: La representación gráfica es una curva creciente que posee una asíntota
horizontal
T.A.N: La función es exponencial porque la variable está en el exponente ”
T.A.N: A medida que la variable
independiente t aumenta f(t) aumenta también.
T.A.N: A medida que la variable independiente t disminuye f(t) también lo hace. T.A.N: La variación de una cantidad depende de la variación de otra.
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(x)= k.ax +b. Donde x es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b es la asíntota horizontal. T.A.A1:La expresión algebraica f(x)=b. Donde b es la asíntota horizontal de la función.
Tabla 12: invariantes operatorios vinculados a las respuestas exponenciales Resultados de las situaciones 7 y 8
En la situación 7, los alumnos debían formular la expresión algebraica que les permitía calcular el dinero puesto a interés compuesto, con una donación que no se colocaba a interés. Casi la totalidad de los alumnos logra formular adecuadamente en el sistema de representación algebraico 1 (SRA1), la expresión algebraica ampliada f(x)= x
a
k. + b,
excepto uno que uso esquemas lineales en todos los sistemas de representación.
Sin embargo en el sistema de representación gráfico y verbal escrito todas las respuestas fueron lineales o parcialmente lineales.
Que la totalidad de los alumnos haya representado rectas permite inferir que no reconocen que la expresión algebraica de la forma f(x)= x
a
k. + b, se corresponde con
una representación gráfica curva. Por otra parte que la totalidad de los alumnos resolvió en forma no lineal, permite inferir que cuando los alumnos se enfrentan a una situación desconocida usan estrategias fuertemente arraigados como los lineales.
En la situación 8, se quería construir el concepto de asíntota desde el sistema de representación numérico (SRN). Los alumnos debían describir el comportamiento de la variable independiente a medida que la variable dependiente tomaba valores cada vez más grande o más chicos.
Al no contar con graficadores u otro medio para representar las funciones, los alumnos armaron tablas de valores dando a la variable independiente valores cada vez mayores, y observaban que le sucedía a la otra variable. Las respuestas más frecuentes fueron las que afirmaban que cuando la variable independiente aumenta, la variable dependiente también, dando una idea de dependencia lineal entre ellas.
Sólo dos alumnos respondieron que si la variable independiente disminuye, la variable dependiente también lo hace hasta llegar a aproximarse a f(x) = 800, que era el valor de la asíntota.
91 En los registros analizados en los distintos sistemas de representación, se observa que la conceptualización de la función exponencial es una tarea compleja que necesita de varios años. La forma de mostrar al alumno la construcción del campo conceptual y el lugar central que se le otorga al alumno en la escuela secundaria, colabora con el proceso de enseñanza y aprendizaje en la clase de matemática.
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Capítulo 6
93
Capítulo 6
Conclusiones
Con el propósito de analizar la conceptualización en el aprendizaje de funciones exponenciales este trabajo se apoya en el referencial cognitivo de la Teoría de los Campos Conceptuales. Los objetivos han sido los siguientes:
• Modificar, implementar y evaluar una secuencia de situaciones diseñada
por la Dra. Patricia Sureda en el marco de su tesis doctoral realizada bajo la dirección de la Dra. Rita Otero, para la enseñanza de funciones exponenciales en la escuela secundaria.
• Estudiar la conceptualización de los estudiantes relativa al campo de las
funciones exponenciales con la secuencia de situaciones modificada.
• Analizar si los estudiantes transitan por las etapas diseñadas por Sureda y
Otero (2012) en la tesis doctoral.
A continuación se presentan las conclusiones vinculadas al análisis de conceptualización para cada una de las preguntas que se han planteado.
1- ¿Qué fases de la conceptualización se reconocen en los estudiantes al
realizar la actividad?
El objetivo de esta pregunta es describir y analizar los procesos que los estudiantes realizan al conceptualizar la función exponencial.
La descripción del proceso de conceptualización se llevo a cabo a partir de las respuestas de los alumnos al resolver las distintas situaciones en los sistemas de representación. Los sistemas de representación (Sureda y Otero ,2013) de esta investigación son los siguientes:
Sistema de representación numérico (SRN): refiere tanto a las tablas como a los cálculos con números.
Sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1): involucra aquellos procedimientos algebraicos en los que los parámetros están inicializados. Por ejemplo, 2.5x =3.
Sistema de representación algebraico de segundo orden (SRA2): refiere únicamente a los procedimientos algebraicos en los que los parámetros no están inicializados. Por ejemplo, a.bx =c.
Sistema analítico-gráfico (SRG): refiere a la construcción gráfica en ejes cartesianos.
Sistema verbal escrito (SRVE): son las formas lingüísticas escritas, afirmaciones, conclusiones, etc.
94 A partir del estudio de las respuestas de los alumnos en los diferentes sistemas de representación se reconocen cinco etapas que conforman el proceso de conceptualización de la función exponencial. Las cinco etapas son las siguientes:
Etapa Indicador
Lineal Respuesta lineal en todos los sistemas de representación.
Parcialmente no lineal Respuesta no lineal en por lo menos un sistema de representación.
No lineal Respuesta no lineal en todos los sistemas de representación.
Parcialmente exponencial Respuesta exponencial en por lo menos un sistema de representación.
Exponencial Respuesta exponencial en todos los sistemas de representación.
Tabla 13:Descripción de las Etapas presentes en la conceptualización de la función exponencial.
En la primera situación, la número dos, la mayoría de los alumnos resolvieron el problema de interés compuesto mediante estrategias lineales en un sistema de representación o en otro.
En el sistema de representación numérico (SRN) los alumnos calculan el interés compuesto de cada banco, para el mes elegido multiplicando por la tasa de interés. En el sistema de representación gráfico (SRG) unen los valores obtenidos mediante una recta; y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) explicitan que graficaron funciones lineales.
Luego de dialogar con los alumnos sobre la situación y acordar que el crecimiento del dinero no era lineal; y que el aumento de dinero puesto a interés compuesto se calcula sobre el monto del mes anterior y no del original; se pusieron a resolver la situación 3.
En la situación tres ya no hay etapas lineales, sólo etapas parcialmente no lineales o no lineales, en un sistema de representación o en otro.
En el sistema de representación numérico (SRN) todos los alumnos calculan en interés compuesto de cada banco, multiplicando el valor del mes elegido y sumándolo al valor elegido por la tasa de interés. Logrando así un crecimiento exponencial del dinero. Sin embargo en el sistema de representación gráfico (SRG) los alumnos unen los valores obtenidos mediante una recta o uniendo puntos mediante segmentos no rectos; y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) escriben que graficaron funciones lineales.
En las situaciones cuatro y cinco en donde se estudian problemas de aplicación de las funciones exponenciales, sólo hay tres alumnos cuyas etapas son lineales o parcialmente lineales en los diferentes sistemas de representación, y el resto de las resoluciones son parcialmente exponenciales o totalmente exponenciales.
95 En el sistema de representación numérico (SRN), al igual que en el sistema de representación algebraico de orden 1(SRA1) casi la totalidad de los alumnos formuló respuestas exponenciales, en el sistema de representación gráfico dibujaron curvas, y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) explicitaron que eran funciones no lineales.
Este tipo de respuestas apareció por primera vez en estas dos situaciones aunque sin ser estables; ya que en el resto de las situaciones los alumnos no lograban formular respuestas totalmente exponenciales en los diferentes sistemas de representación y volvían a esbozos lineales fuertemente arraigados.
En las situaciones siete y ocho todas las etapas eran parcialmente o totalmente