Resuelve problemas de sustracción mediante

separación de objetos. Razonamiento Conviértalo en N (pg. 123) Suma objetos para hacer que

un número se convierta en otro.

Resolución de problemas +/- Encuentra el cambio (pg. 124)

Encuentra sumandos faltantes mediante la adición de

35 objetos. Resolución de problemas y comunicación. +/- Estrategias de conteo (pg.125)

Halla sumas en situaciones problema de reunión y de parte – todo, utilizando el conteo y patrones de dedos. Razonamiento y

comunicación.

+/- Parte – Todo (pg. 129) Tiene entendimiento inicial de parte – todo, resolviendo situaciones problema. Razonamiento +/- Números en Números (pg.

130)

Reconoce cuando un número es parte de un todo y puede mantener en la mente la parte y el todo simultáneamente. Razonamiento Derivando (pg.132) Usa estrategias flexibles para

resolver todo tipo de problemas. Elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. +/- Solucionador de problemas (pg. 133)

Soluciona todo tipo de problemas con estrategias flexibles y combinaciones conocidas.

36

Fundamentación de las operaciones suma y resta

Para conocer las operaciones suma y resta se necesita un poco más que resolver cuentas de adición y sustracción, se requiere identificar las situaciones en las que estas operaciones son útiles, saber escoger el procedimiento adecuado para resolverlas y además de lo anterior conocer y aplicar adecuadamente las propiedades de las mismas con el fin de facilitar cálculos.

Es en este punto donde Castro, Rico y Castro (1999) caracterizan las operaciones en general como el interés por expresar numéricamente distintas situaciones o contextos, afirmando que:

La aritmética surgió en cada caso junto con un sistema de numeración y para satisfacer unas necesidades primordiales, no sólo de recuento sino también operatorias; con los números no sólo se simboliza cantidades, también las acciones, relaciones y

transformaciones cuantitativas, que pueden realizarse sobre los objetos teniendo un reflejo en las operaciones numéricas. (Castro et al.,1999, p.125)

Entonces, las operaciones juegan un papel importante sobre los objetos reales y es de “acción”, como por ejemplo: agregar, separar, reiterar y repartir que expresan también diferentes transformaciones entre los mismos objetos.

Las operaciones numéricas son las que dan la existencia al número afirma Vergnaud (como se citó en Castro et al,1999) ya que éstas no solo tienen sentido en lo físico sino que también en lo psicológico.

Dado esto, las operaciones establecen una red de conexiones entre los distintos números, convirtiéndose así el número en un concepto operatorio y el sistema de los números naturales aparece dotado de una estructura respecto a las operaciones fundamentales: adición y

37 multiplicación, con unas peculiaridades derivadas de las operaciones inversas: sustracción y división (Castro et al.,1999).

Por último, Castro et al, (1999) distingue en las operaciones dos caracteres, los cuales son: expresión de las acciones con los objetos y las cantidades, éste sentido lo denomina “sentido real de cada operación” y el segundo carácter es el sistema de relaciones internas dentro del conjunto de los números, éste aspecto se denomina “sentido formal de cada operación”, ya que están presentes durante toda la etapa de aprendizaje, en la utilización y aplicación de las operaciones.

A continuación se muestra, específicamente el concepto formal de las operaciones suma y resta, su proceso de enseñanza, estructura de los problemas o situaciones, representaciones, estrategias para la solución de problemas, entre otras.

Concepto formal de suma y resta

En la teoría de conjuntos se construyen las operaciones suma y resta a partir de operaciones entre los conjuntos las cuales son la unión y la diferencia. Con esto se quería fundamentar desde una perspectiva lógica que la enseñanza de la suma y la resta con una construcción lógica la cual traería consigo mayor comprensión por parte de los estudiantes (Maza, 1999), pero sin embargo ha traído consigo diferentes dificultades en cuanto a la puesta en práctica de estos conceptos.

Entonces, se entiende por sumar dos cantidades como la acción de “reunir” esas cantidades y obtener una cantidad mayor que cada una por separado (Maza, 1989), un ejemplo de esto sería lo que propone Clements y Sarama (2015, p.120) en la trayectoria de aprendizaje para la adición y la sustracción: “tienes 2 balones y consigues 1 más.¿ cuantos tienes en total?”; por consiguiente, el proceso que posiblemente se ha de llevar es unir o reunir los 2 balones con el

38 1 que se añade al grupo, utilizando el conteo como herramienta para obtener el número de

balones final; lo que se acaba de describir es una interpretación de la adición que generalmente se encuentran en un aula de clase.

Por otra parte, se indaga también acerca de los diferentes conceptos formales, es decir estrictamente matemáticos que definen la operación suma.

Veaber (1982, como se citó en Maza, 1989) afirma que la operación suma se puede entender desde un punto de vista formal: como operación binaria o como una operación unitaria.

La suma como operación binaria es la definición matemática que más se puede encontrar, la cual Maza (1989) define así: “la suma entre dos números naturales sería una aplicación que se simboliza por ⟨ ⟩ entre los siguientes conjuntos: , de esta forma a todo par de números naturales le corresponden otro número natural” (p.10).

La suma como operación unitaria, se define según Maza (1989) como: “una aplicación que se puede simbolizar por ⟨ ⟩ entre los siguientes conjuntos , es decir, a todo número natural a, le corresponde el número natural dado en la siguiente definición conjuntista ( ) donde se refiere a que dos conjuntos disyuntos A y B cuyo cardinal es a y b, respectivamente, se define la suma de éstos últimos como el cardinal del conjunto de A y B” (p.11).

Las propiedades de la operación suma vienen dadas de la siguiente manera por Godino, Batanero y Cid (2003):

 La conmutatividad implica que al transponer los sumandos no altera el resultado ni el procedimiento, es decir, .

 La clausura, define que la suma de dos números naturales es otro número natural.

39

 La existencia de un elemento neutro, se refiere a que existe un número que al sumarlo con cualquier número a, ésta suma siempre será el número a, es decir:

El caso de la resta se diferencia ya que en esta operación no se puede efectuar la propiedad conmutativa por tal motivo se considera de carácter unidireccional (Maza, 1989); es por esto que en la práctica la operación resta en reconocida por la acción de “quitar”.

La definición conjuntista de la operación resta es: “Sea un conjunto A de cardinal a y un subconjunto B de A de cardinal b. entonces a – b se define como el cardinal del conjunto A – B formado por los elementos de A que no pertenecen a B” (Maza, 1989, p. 13)

Estructura de los problemas de suma y resta

Las estructuras de los problemas aditivos surgieron a partir de la necesidad de evitar ciertos errores que los niños cometían a la hora de enfrentarse a una situación problema, ya que anteriormente se enseñaba primero los algoritmos y posteriormente sus aplicaciones (Maza, 1989), dado esto, se detectaron los siguientes errores:

 A la hora de solucionar una situación problema aditiva o de sustracción, los niños reflejaban que no sabían qué operación escoger o escogían la operación no adecuada.

 Surgían errores a la hora de aplicar las reglas del algoritmo.

Por lo anterior y gracias a diferentes investigaciones se pudieron registrar diferentes estructuras para los problemas aditivos, estos se describen a continuación:

40

Tipos de problemas.

Variando el lugar de la incógnita se puede formular tres tipos de problemas para cada operación, como se evidencia en la tabla 5.

Tabla

Tabla 7. Tipos de problemas para la suma y la resta (Maza, 1989, p.24)

Suma Resta

I.

II.

III.

Maza (1999), caracteriza la primera situación problema como “combinación”, ya que consiste en determinar ¿Cuántos elementos resultan de reunir o combinar dos conjuntos? (ver figura 1).

Un ejemplo tomado de Clements y Sarama (2015, p.121), de la trayectoria de aprendizaje de la suma y la resta, podría ser: “tenías 3 manzanas y ahora tienes 3 más, ¿Cuántas tienes en total?”, este problema hace referencia al tipo de problema de combinación.

Otro problema de estructura aditiva, es el de “cambio aumentando”, en donde una

cantidad inicial se cambia debido al aumento registrado de otra cantidad, el problema consiste en 3 + 2 = 5

41 averiguar el valor final (Maza, 1999); se podría decir que el anterior ejemplo aplica para este tipo de problema, dado que la primera cantidad se ve alterada por el aumento de la segunda.

Otro ejemplo de este tipo de problema es: “tienes 3 pesos y te dan 2 más ¿Cuántos pesos tienes en total?”, el esquema de ésta situación problema, es:

Otro tipo de problema es donde se presenta cambios aumentando sin conocer el valor del cambio, por ejemplo: “tienes 3 pesos y te dan varios más. Al final tienes 5 pesos ¿Cuántos te dieron?”, la situación se representa de la siguiente manera:

Los problemas de cambio aumentando con el comienzo desconocido se presentan de la siguiente manera: “tienes varios stickers y te dan 2 más. Al final tienes 5 stickers. ¿Cuántos stickers tenías al principio? ”

3 +2 3 5 + 5 +2

Figura 2. Problema de cambio aumentando 1

Figura 3. Problema de cambio aumentando 2

42

Estrategias de resolución de problemas.

La mayoría de personas recurren a estrategias como el conteo con los dedos, entre las más comunes es el conteo ascendente, en donde para calcular el número total de una colección verbalmente empiezan a nombrar cada objeto con su respectivo número para así, llegar

finalmente a nombrar el cardinal del conjunto; la estrategia de patrones con los dedos

(subitización conceptual), es cuando se ven las partes y saber que al ponerlas juntas se obtiene el total; la estrategia de conteo verbal, la cual va muy ligada a la estrategia de conteo de dedos, ya que se vincula la utilización de los dedos para ir identificando las cantidades y así mismo el conteo verbal ayuda a que se le dé una correspondencia y por último la estrategia de

recuperación, la cual con solo saber una combinación puede llegar la solución del problema, por ejemplo, ¿Cuánto es 7 + 8?, la respuesta utilizando la estrategia de recuperación seria 7 + 7 = 14 y 14 + 1=15, entonces 7 + 8 = 15.

43

Discapacidad visual y las matemáticas

A través de la historia se ha evidenciado grandes avances en cuanto a la educación para personas con discapacidad, la cual ha evolucionado a una educación inclusiva y donde el término “inclusión” está más relacionado con la escuela común, Parra (2010) aporta que la educación inclusiva implica que todos los niños y niñas de determinada comunidad aprendan juntos sin importar las condiciones personales, sociales y culturales incluyéndose a la vez las personas que posean alguna discapacidad, entonces, una escuela y por ende una clase de matemáticas inclusiva beneficia a todos los estudiantes de una educación adaptada a sus necesidades educativas.

Entre las diversas necesidades educativas que se pueden presentar en una clase de matemáticas, éste trabajo se enfoca principalmente en estudiantes con discapacidad visual y es claro que la discapacidad no impide ningún aprendizaje de las matemáticas, lo que si se debe reconocer son las dificultades que se presentan con el material, es por esto que a continuación se describen algunos aspectos de la didáctica de la matemática para personas con discapacidad visual, entre estos aspectos se encuentra la selección y adecuación de materiales pedagógicos, instrumental de trabajo y el ritmo de trabajo (Rosich, Núñez y Fernández,1996) teniendo siempre en cuenta que los objetivos no deben tener modificación alguna.

Es claro que la visión es un sentido que normalmente tomamos como indispensable dado que en el aula de clase se utilizan diversidad de materiales para la enseñanza, como por ejemplo, libros de texto, guías y materiales didácticos, pero es necesario que esto tenga una

transformación en pro del aprendizaje no solo de los niños que no tienen discapacidad sino también de los niños con discapacidad visual, para esto Rosich et al. (1996), propone que para la presentación de escritura textual o simbólica y para representaciones gráficas se debe tener en

44 cuenta un valor comunicativo, es decir, de fácil comprensibilidad, como se dijo anteriormente, no solo por los niños videntes sino también por los niños con discapacidad.

Didáctica de las matemáticas para niños con discapacidad visual

Rosich et al. (1996), plantea dos hipótesis en relación con la educación a personas con discapacidad visual y junto a esto la didáctica de las matemáticas, estas hipótesis son:

 No hay ámbito o dominio de la matemática vedado para un ciego (Rosich et al. (1996). P. 148), para esto, los autores reconocen que la falta de visión no impide el estudio de las matemáticas, algo muy diferente sería la capacidad de aprender que poseen las personas con discapacidad visual, pero como mencionan los autores, es algo que ni en una escuela cotidiana se pueda lograr, es decir que todos los estudiantes aprendan al mismo ritmo, por lo tanto, tanto las personas que poseen ésta discapacidad y como las que no, poseen las mismas posibilidades y oportunidades de formación en el área de matemáticas.

Algo diferente sería las dificultades que los estudiantes con discapacidad visual presentan a la hora de manipular material tangible y técnico, ya que en muchas ocasiones se presenta una escasa adaptación de los mismos.

Por la anterior hipótesis es que se genera la necesidad de encontrar una didáctica que favorezca a las poblaciones con discapacidad visual, es decir, una selección y adecuación de materiales, instrumentos de trabajo, rutas didácticas y sobre todo el ritmo de aprendizaje, pero teniendo en cuenta que no se deben modificar los objetivos (Rosich et al. (1996).

 La segunda hipótesis, “el proceso de desarrollo psicológico del niño ciego padece, en general, un retraso medio de cerca de dos años en lo referente a la adquisición de experiencias lógico - matemáticas” (Rosich et al. (1996), p.149).

45 Es por lo anterior, que no hay necesidad de modificar los objetivos matemáticos por motivos de que existe un estudiante con discapacidad visual en el aula, al contrario, la didáctica debe ensayar nuevos caminos y brindar la oportunidad de interactuar con el conocimiento (Rosich et al. (1996)). Para esto hay que tener en cuenta, que el niño con discapacidad visual empleará para tareas del aula principalmente la audición, como una forma para comunicarse, además, empleará el tacto y el sentido cenestésico (El tacto tiene su sentido cuando hay movimiento, exploración y control muscular, coordinándolo con el sentido cenestésico).

Teniendo en cuenta, que este proceso de investigación se lleva a cabo para discapacidad visual, se toma entonces en este apartado la fundamentación de porqué el prototipo de la escalera es accesible a ésta población, para esto, Es en este punto en donde se pone en juego el desarrollo del sistema sensoperceptivo, en el cual se desarrollan el sistema sensorial, el sistema visual, la integración motora, el sistema cognitivo, la comunicación, el aprendizaje y donde

específicamente la población con discapacidad visual tiene un potencial desarrollo en la percepción cinestésica – táctil, la percepción auditiva y la percepción olfativa y gustativa.

A continuación, se muestra la descripción de los desarrollos que traerá implícitos el prototipo y además la fundamentación del por qué se ha decido entablar un prototipo para niños con dificultad visual con estas características y elementos.

Percepción cinestésica- táctil.

Este tipo de percepción, se encuentra vinculado también al “sistema perceptivo háptico (o tacto activo)” y al tacto, el cual según Rosich et al. (1996), lo describe como la percepción de las formas, dimensiones y texturas, interviniendo también el braille, que tomado todo como un conjunto se categorizaría como procedimientos exploratorios empleados para tener contacto con el relieve.

46 Es por esto, que se debe estimular a los estudiantes para que aprendan a coordinar los movimientos y a tener contacto con muchas texturas diferentes, siendo esto de gran importancia para los estudiantes a la hora de percibir táctilmente los puntos braille y su ubicación (Rosich et al. (1996)).

Ahora, entre la percepción táctil se encuentran dos tipos, el tacto activo y el tacto pasivo, donde el primero, tiene un carácter intencional y sirve para recibir información cutánea,

articulatoria, motora y de equilibrio. El tacto pasivo, se enfoca más en percibir temperaturas y presión.

Por lo tanto, es en éste tipo de percepción donde los niños con discapacidad visual, desarrollan la habilidad de ubicar objetos, de definir un tamaño y de percibir una textura. Esto, está cada vez más relacionado con los primeros momentos que se presentan a la hora de

interactuar con el juego, allí, se le permite al niño establecer el tamaño acorde para él, el alcance que puede tener de las fichas, la diferenciación de niveles por medio de texturas, y además como guía principal, el sonido, el cual por medio de melodías ubicará al niño en el prototipo de la escalera.

Percepción auditiva.

La audición, es una de las vías prioritarias de información y desarrollo que compensan la discapacidad visual, ya que el oído proporciona información sobre el entorno, específicamente de lo que está fuera de los límites del contacto directo.

47

Fundamentación de la metodología

La metodología está fundamentada desde la caracterización de las trayectorias de aprendizaje que realiza Clements y Sarama (2015), las cuales las define a partir de las metas, rutas y actividades, por otra parte León, Díaz y Guilombo (2014) proponen vincular las

trayectorias a una serie de actividades que generen inclusión en el aula, por lo tanto estos autores caracterizan las trayectorias para una educación en pro de todos.

Por otra parte se define el juego como un dispositivo didáctico, donde Calderón y León (2015), describen al juego desde diferentes perspectivas, tales como: psicológica, antropológica y educativa.

Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA)

Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje se consideran como la “reconstrucción de la pedagogía de las matemáticas desde una perspectiva constructivista” (Gómez y Lupiáñez 2007, p.79), es decir, se toman dos principales perspectivas del constructivismo para la enseñanza de las matemáticas, las cuales son: la instrucción y la planificación, en esta última se tiene en cuenta los objetivos predeterminados y se busca diseñar una serie de tareas que se desean lograr.

Además de esto Gómez y Lupiáñez (2007,p.80) cita a Simon y Tzur (2004) quienes describen las características principales de las THA, éstas son:

Una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) consiste en los objetivos para el

aprendizaje de los estudiantes, las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje de los estudiantes, y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Mientras que el objetivo del profesor para el aprendizaje de los estudiantes proporciona una dirección para las otras componentes, la selección de las tareas de aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes son interdependientes. Las tareas se seleccionan con base en

48 hipótesis acerca del proceso de aprendizaje; las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje se basan en las tareas propuestas.

Ampliando las partes que componen las trayectorias hipotéticas de aprendizaje, Clements y Sarama (2015), las describen desde y para un aula de matemáticas así:

Las metas matemáticas

El primer componente de las THA hace referencia a las metas de la trayectoria, vistas como “agrupaciones de conceptos y habilidades que son matemáticamente centrales y

coherentes, consistentes con el pensamiento de los niños y generadoras de aprendizaje hacia el futuro” (Clements y Sarama, 2015, p.4). Es decir, refiere a los objetivos que deben ser fijados, caracterizados y conocidos por parte del profesor y que constituyen los elementos a tratar y a enfatizar en la trayectoria. Lo que particularmente, Clements y Sarama (2015) describen como las grandes ideas de las matemáticas de las cuales se pretende generar algún aprendizaje.

Las rutas de desarrollo del aprendizaje

El segundo componente de las THA permite determinar los niveles de pensamiento que se establecen para alcanzar las metas inicialmente constituidas y las etapas en las que estos