Resultados de la investigación pre-teórica

Resulta evidente que la mayor parte de esta tesis está dedicada a una investi-

gación pre-teórica del concepto de demostración pura. El valor específico de una

investigación pre-teórica, puede apreciarse a la luz de las palabras de Carnap citadas en el epígrafe de esta tesis, las cuales vale la pena volver a citar aquí:

[t]here is a temptation to think that, since the explicandum [concepto pre- teórico] cannot be given in exact terms anyway, it does not matter much how we formulate the problem. But this would be quite wrong. On the contrary, since even in the best case we cannot reach full exactness, we must, in order to prevent the discussion of the problem from becoming entirely futile, do all we can to make at least practically clear what is meant as the explicandum. (Carnap, 1962, p. 6)

Expresado en pocas palabras, lo que Carnap nos advierte es que en la elucidación (y esto no contraría la propuesta de Seoane), empieza por una reflexión que transcurre a nivel pre-teórico, –i.e. una reflexión sobre el explicandum en la jerga carnapia- na. Caso contrario, es decir, cuando no tenemos una noción suficientemente clara (dentro de sus intírsecas limitaciones) del concepto pre-teórico, nos arriesgamos a comprometernos en discusiones inútiles. Un tipo de discusión inútil consistiría en una crítica elucidatoria que asume un concepto pre-teórico distinto a la elucidación que se pretende criticar; otra discusión, no tanto «inútil», sino filosóficamente par-

cial, consistiría en avanzar demasiado rápido en la discusión de distintos conceptos teóricos, sin tener presente alguna noción suficientemente explícita sobre el (o los)

conceptos pre-teóricos cuyo interés motiva la introducción de los conceptos teóricos. En nuestra opinión, la investigación pre-teórica llevada a cabo en los capítulos 2 - 5 arroja resultados que permiten prevenir este tipo de «discusión inútil»: en primer lugar, en el Capítulo 2 hemos introducido «pureza tópica» como un predicado

metodológico, distinguiéndolo de otros usos de la expresión «pura», cuya aplicación

no se restringe únicamente a la clasificación de demostraciones. A este respecto, es importante notar que no necesariamente este predicado se extrae de la expresión «pura» aplicado a ciertas áreas de la matemática, como vimos en la cita de Gauss (página gauss). Pues, en rigor, el predicado metodológico «pura» (o «puramente T») se introduce por medio de un «desplazamiento» de «T», como el nombre de un área, hacia «puramente T» como un criterio en virtud del cual restringir los

mediosa ser empleados, es decir, «el medio M es “puramente T”», introduce una

restricción tópica de los recursos metodológicos. Estas consideraciones sugieren como resultado la siguiente consideración:

Resultado pre-teórico 1: Para indagar en la pureza tópica de tales o cuales recursos metodológicos («medios»), debemos tener presente una

área o teoría matemática«de fondo», pues es en virtud de esta que el

predicado «pura» restringe (tópicamente) los recursos metodológicos.

Este resultado implica que debemos tener bien presente al teoría o área «de fondo»; en la literatura sobre el tema hay un problema recurrente: se hace referencia al tópico de teoremas, definiciones, etc., donde es este tópico el que se compara con el tópico involucrado en los recursos metodológicos; pero a a la vez existen una indefinición respecto a qué debemos tomar en cuenta para determinar el tópico de teoremas, definiciones, etc.1. De acuerdo con el resultado formulado, tenemos una manera relativamente más precisa de «definir», o «circunscribir» el tópico, a saber,

por medio de la teoría o área matemática «de fondo».

En segundo lugar, hemos planteado explícitamente que la indagación en torno a la pureza (tópica) de las demostraciones encierra dos enigmas: uno semántico, el cual atañe a la relación de restricción tópica de los medios, y un enigma acerca del

valor que pueda tener dicha restricción. A nuestro juicio, la explicitación de este

«doble enigma» constituye un segundo resultado pre-teórico.

Resultado pre-teórico 2: Una indagación elucidatoria de la pureza tópica debe apuntar a iluminar ambos enigmas.

Este doble enigma resulta ser una cuestión fundamental para formular el problema de la indagación elucidatorioa de la pureza del método, y tal cosa se debe a que en ausencia de un tratamiento adecuado del mismo, podemos caer en discusiones filosóficamente parciales (tal como lo sugerimos a partir de la cita de Carnap de arriba). Si pensamos en la literatura orientada hacia el abordaje matemático-lógico (Sección 1.1), resulta notable la ausencia de una preocupación por el enigma acerca del valor de los métodos puros (quizá porque el interés allí es hacer matemática). Que en un abordaje así, lo que encontremos sean discusiones que considero «filosó- ficamente parciales», se debe a que una teorización filosófica no puede cercenar él enigma del valor; y algo análogo ocurre en la literatura correspondiente a la tercera orientación, –i.e. la orientación «mixta» de la Sección 1.1. Finalmente, en la litera- tura correspondiente a la segunda orientación (histórico-filosófica) es donde –con limitaciones– el doble enigma es mejor visualizado2.

En tercer lugar, nuestra investigación pre-teórica sugiere que una condición

sustantiva para un análisis elucidatorio de demostración pura, la cual es extraída

del «doble enigma» de la pureza: las relaciones CT y SE. En los capítulos 4 y 5 se presentaron sendas formulaciones pre-teóricas de estas relaciones, y se señaló

aquello que en las mismas era inexacto (pre-teórico), esto es, aquello que un análisis elucidatorio tornaría en conceptos teóricos.

Resultado pre-teórico 3: Las relaciones de conservación tópica (CT) y

superioridad epistémica(SE) representan una formulación más precisa

del «doble enigma», a la vez que constituyen la condición sustantiva del concepto pre-teórico de demostración pura. En virtud de ello es que un concepto teórico (o modelo) de demostración pura deberá presentar los conceptos teóricos contraparte de los conceptos pre-teóricos CT y SE; en particular, el modelo debe ofrecer una caracterización teórica de «tópico de un teorema», «hiato conceptual» –pertenecientes a CT–, así como ofrecer una caracterización de «agente» y «finalidad epistémica», la cual debe explicitar su vínculo con la especificidad de las demostra- ciones conservativamente tópicas (siendo estas nociones pertenecientes a la relación SE).

En cuarto lugar, hemos sugerido que -a nivel pre-teórico– es factible pensar que podamos formular más de un concepto pre-teórico de demostración pura; esto se observó tanto en la discusión sobre la conservación tópica del Capítulo 4, como en la discusión sobre la superioridad epistémica en el Capítulo 5. Así pues, en la Sección 4.1.2 se identificó una «aproximación formulacional» al tópico en matemáticas que comprende distintas propuestas presentes en la literatura, y sugerimos que podíamos ver en esta aproximación una manera –pre-teórica– de leer la formulación pre-teórica de CT debido a que esta aproximación respectaba el criterio de adecuación de la página 55. Por otro lado, y a pesar de que no avanzamos en una lectura pre-teórica de la noción de «hiato conceptual» (que, por otro lado, se abordó en la Sección 6.3), sí observamos que esta aproximación se enfrentaba a dos desafíos conexos: circunscribir aquello que un agente debía tener presente para comprender cierta

formulación particular de un teoremay, por otro lado, poder ser capas de identificar

cuándo dos formulaciones son cognitivamente sinónimas. En la Sección 4.1.3, por su parte, identificamos una «aproximación inferencial» al tópico, a partir de una lectura de Dummett. De acuerdo con nuestra lectura, esta aproximación al tópico también satisface el criterio de adecuación, pues si la demostración canónica no es conservativamente tópica en comparación con la demostración entimemática,

entonces ambas demostraciones son sustantivamente distintas respecto al tópico (o incluso a las construcciones). Así pues, ambas aproximaciones habilitan distintas lecturas pre-teóricas de CT. En cuanto a SE, en la Sección 5.3 se identificó distintos objetivos epistémicos que se asocian con la especificidad de las demostraciones conservativamente tópicas, y que podemos encontrar en la literatura. Así pues, esas distintas orientaciones también darían lugar a diferentes maneras de leer la caracterización pre-teórica de SE. Por lo tanto, leyendo de distintas maneras las formulaciones pre-teóricas de CT y SE, podemos apreciar la posibilidad de dar lugar a distintos concepto pre-teóricos de demostración pura. Así pues, tenemos un cuarto resultado pre-teórico:

Resultado pre-teórico 4: Es factible que podamos caracterizar –incluso a nivel pre-teórico– distintos concepto de demostración pura, los cuales emanan de las distintas lecturas que las formulaciones pre-teóricas de CT y SE.

Hay una cuestión relacionada con la posibilidad de formular más de una concepto pre-teórico de demostración pura, y que fue solamente referido muy sucintamente en las secciones 5.3.1 y 5.3.3, a saber, la aparente «solidaridad» entre la lectura de CT y la lectura de SE. En particular, se sugirió que una aproximación formulacional como la de Detlefsen tendía a identificar a las demostraciones elementales como prototipo de demostraciones puras y, en tal sentido, objetivo epistémicos como la simplicidad parecían ser muy naturalmente identificables con la pureza demostrativa. En efecto, podría pensarse que una aproximación formulacional a CT «conduce» a asociar con naturalidad la simplicidad como SE. Así mismo, también sugerimos que una aproximación inferencial «conduce» a asociar con naturalidad, el objetivo de expli-

citar, o incluso explicar el tópico o la verdad del teorema, es decir, explicatividad o

explicitación son objetivos epistémicos solidarios con una aproximación inferencial a CT. Sin embargo, como en rigor no sería correcto presentar esta sugerencia como un resultado, presentamos como un «resultado parcial», y a modo de interrogante:

Resultado pre-teórico 5 (parcial): ¿Podemos elucidar independiente-

Precisamente ¿repercute el abordaje de una de las relaciones sobre la otra?

A nuestro juicio, esta puntualización es valiosa (a pesar de ser «parcial») debido a que esta cuestión está virtualmente ausente en la literatura sobre pureza. En definiti- va, creemos que es factible pensar que un buen trabajo elucidatorio debe ofrecer un abordaje conjunto de CT y SE.

En esta sección hemos presentado aquello que entendemos son resultados de

nuestra investigación pre-teórica. Entendemos que estos resultados son valiosos y

novedosos para la discusión actual sobre la pureza del método y las demostraciones; son «novedosos» porque en el mejor de los casos, las cuestiones planteadas en los resultados son solo implícitamente planteadas, mientras que, por otro lado, son «valiosos» porque permiten formular (o por lo menos advertir) de un modo más claro en qué consiste el problema de la pureza. A este respecto hacemos acuerdo con Carnap, al advertir que la indagación pre-teórica es una etapa necesaria para evitar caer en discusiones pre-teóricas «inproductivas», siendo en tal sentido es que creemos que nuestra investigación es valiosa. En resumen: nuestra investigación es novedosa porque una discusión así no forma parte de la literatura actual sobre la temática, mientras que es valiosa porque permitiría entender mejor la discusión; más aún, en nuestra opinión, la caracterización del problema como un «doble enigma» pone de manifiesto los problemas fundamentales que encierra el problema de la pureza tópica.