6. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
6.3. Resultados de la simulación del espirómetro
Se realizó la simulación del espirómetro por medio del software MATLAB, com- probando el funcionamiento de diferentes filtros y tomando la mejor respuesta para esta aplicación especifica con base a la caracterización en la transformada de Fourier. Se utilizó la respuesta al escalón para conocer cual es el comportamiento del filtro a cambios abrup- tos y utilizando la señal de Ruido como un vector de una variable aleatoria, se procedió a realizar las respectivas simulaciones, MATLAB permite simular ruido blanco por medio si se conoce su potencia lo largo de la frecuencia; los resultados obtenidos de la simulación se muestran a continuación:
Figura 43: Diagrama de bloques de las simulaciones realizadas
En la figura 43 se muestra dos diagramas de bloques con los cuales se trabajó, uno para ver la respuesta analógica del filtro y la segunda para ver la respuesta digital del filtro.
Se tomaron filtros de orden 1 al 10 con una señal de ruido blanco de media igual a cero y la señal tomada en la caracterización del ruido para 4, se realizaron los momentos muéstrales para conocer el comportamiento de señal filtrada, adicionalmente, se tomó el error cuadrático medio como criterio de medida entre los filtros analógicos y los filtros digitales, ya que este error permite conocer la eficiencia de un estimador.A continuación se muestran los resultados obtenidos para los filtros con polinomio Bessel con frecuencia de corte de 2π76 rads utilizando la aproximación planteada en la metodología.
Cuadro 6: Respuesta al ruido blanco del filtro Bessel
Orden del filtro M edia mV Desviación
estándar Oblicuidad Curtosis RMSE 1 -0.000360426 0.013171502 -0.072702885 2.914142103 0.001830604 2 -0.000700549 0.010231142 -0.104012054 2.839446316 2.84E-16 3 0.000321574 0.009265227 -0.080048012 2.967779142 0.000138238 4 0.000331546 0.008917305 0.157674567 3.191082046 9.19E-05 5 0.000373767 0.008368526 -0.17563555 3.076180551 1.79E-10 6 0.000123162 0.008306531 0.227162742 3.25527722 1.11E-08 7 0.000450227 0.008559871 0.187412785 3.020434308 2.82E-07 8 0.000360416 0.008216566 0.117526709 2.958228887 2.74E-06 9 -0.000363985 0.007953825 -0.039895039 3.012445331 0.000107672 10 -1.57E+36 1.17E+37 -10.58031792 129.2911697 1.18E+37
Los resultados de la tabla 6 muestran que el mejor filtro de un polinomio de Bessel para las condiciones de ruido blanco con una potencia media de −20 dB y para la fre- cuencia de corte mencionada anteriormente es un filtro de orden 6. Cabe resalta que un filtro de orden mayor no garantiza que la señal se encuentre filtrada, ya que la función de transferencia en el dominio z puede ser inestable, como lo muestra el filtro de orden 10 donde su respuesta al ruido blanco es inestable, consecuentemente, se observa que el RMSE 12 tiene a infinito para un filtro de orden 10.
La siguiente tabla recopila los resultados de la respuesta del filtro a la señal mues- treada anteriormente, se observo el valor máximo que toma la señal, ya que dicho cambio es de interés conocer el exceso de señal y conocer el error que puede manejar las medidas tomadas; se tomó el valor máximo y fue divido entre el medio de la señal filtrada y es mostrado en la ultima columna de la siguiente tabla:
Cuadro 7: Respuesta de los filtros de Bessel para la señal muestreada del sensor Orden del filtro M edia mV Desviación
estandar Oblicuidad Curtosis RMSE V alorM ediamax 1 2439.55872 50.7062654 -32.59224488 1197.501703 0.045962207 1.002413438 2 2438.070501 76.22576388 -25.18171254 682.6662291 0.006448859 1.00531528 3 2436.577789 95.51866821 -21.32114524 481.0349318 0.004209874 1.009149493 4 2435.083672 111.6325591 -18.82911918 371.782868 0.003547137 1.010580631 5 2433.588949 125.7552455 -17.04475133 302.9880595 0.00319472 1.010563202 6 2432.089816 138.483729 -15.68389658 255.6118796 0.004890394 1.009864165 7 2430.691802 150.1735849 -14.60064245 220.9688017 0.094351328 1.008925322 8 2429.866666 161.0868336 -13.71045898 194.5029949 0.915968923 1.007874852 9 2405.394702 171.582755 -12.49583316 165.640987 35.27789633 1.036551499 10 6.24E+43 4.99E+44 11.82398238 161.8046534 5.03E+44 147.4601543
En los resultados obtenidos en la tabla 7 muestran que la media para todos los ordenes se mantuvieron similares a excepción del filtro de orden 10, se puede mirar que la desviación estándar aumenta, al aumentar el orden del filtro también se observa que la oblicuidad tiene un valor negativo indicando que la desviación estándar tan grande comparados con las tablas 6 y 5 se debe posiblemente al a que el filtro toma el valor 0 en los primeros instantes como lo indica la curtosis de la señal filtrada. El valor de RMSE tomó valores muy grandes para los filtros de orden 7 y superior por lo que muestra una inestabilidad del filtro para ordenes superiores a 7.El mejor filtro que se observó para este casó es el filtro de orden 2.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para los filtros con polinomio de Butterworth a una señal de ruido con media igual a 0:
Cuadro 8: Respuesta de los filtros Butterworth al ruido blanco
Orden del filtro
Media Desviación
estandar Oblicuidad Curtosis RMSE 1 -0.000360426 0.013171502 -0.072702885 2.914142103 0.001830604 2 -0.000699085 0.011394211 -0.079668193 2.814747648 2.21E-16 3 0.000318082 0.010927598 -0.00441412 2.918177332 0.000172468 4 0.000336684 0.010928842 0.062824989 3.160103736 0.000131781 5 0.000371485 0.010612983 -0.101275436 2.962701117 2.57E-10 6 0.000126724 0.010804519 0.16021002 3.148303191 8.52E-09 7 0.00044293 0.011394474 0.196954341 3.09410594 5.55E-08 8 0.000374273 0.010934567 0.175231749 3.200965394 2.99E-06 9 -0.000396196 0.010843535 -0.05043987 2.756979777 0.000779947
10 -9.89E+128 1.25E+130 NaN NaN 1.25E+130
En los resultados de los experimentos anteriores, se tuvo la mejor respuesta para un filtro de orden 6 se observa que en comparación con los resultados obtenidos en la tabla 6 la media se mantiene muy similar, la desviación estándar es menor en los filtros Bessel, la oblicuidad es similar en ambos filtros al igual que el error cuadrático medio.
Finalmente se muestra la respuesta de los filtros Butterworth para la señal mues- treada. Los resultados obtenidos muestran que el comportamiento cambia en comparación con los resultados obtenidos en 7 son similares con una pequeña variación en la razón
V alormax
M edia y el valor RMSE muestra que los filtros Butterworth para esta aplicación tienden a ser menos estables como se muestra a continuación:
Cuadro 9: Respuesta de los filtros de Butterworth para la señal muestreada del sensor
Orden del filtro
Media Desviación
estándar Oblicuidad Curtosis RMSE
V alormax M edia 1 2439.55872 50.7062654 -32.59224488 1197.501703 0.045962207 1.002413438 2 2438.716712 73.12292097 -26.74354464 764.6595287 7.19E-03 1.043912058 3 2437.525635 91.35400887 -22.60760842 539.7092037 0.005346726 1.082736107 4 2436.279092 106.8145487 -19.87614286 414.9431048 4.93E-03 1.110185617 5 2435.012645 120.4173817 -17.93081115 336.6534044 4.76E-03 1.130284592 6 2433.734832 132.6811762 -16.46084625 283.1302428 5.09E-03 1.145670308 7 2432.464046 143.9265913 -15.30103038 244.2673833 1.35E-02 1.157878565 8 2431.294582 154.3720375 -14.35591062 214.7735872 7.08E-01 1.167809862 9 2615.195243 183.2647068 -12.35543778 167.9068567 191.3607807 1.096891569
10 9.11E+135 1.14E+137 NaN NaN 1.15E+137 271.4308787
A partir de los resultados mostrados en las tablas 6, 7, 8 y 9 se consideran que los filtros de orden 2 son la mejor opción para esta aplicación,así que se realizará el análisis para estos dos filtros ya que muestran tener la mejor eficiencia a las dos pruebas realizadas. Cabe resaltar que estos resultados muestran que un filtro de orden superior no garantiza que filtrar mejor la señal de entrada, como podría pensarse de manera a priori.
También se observó que algunos filtros mostraron ser inestables para estas dos pruebas, por este motivo, y según [29], se debe tener en cuenta si el filtro tiene polos ubicados Re(s) > 0 lo que en el dominio z significa si filtro tiene polo ubicados fueras del circulo unitario o |z| > 1. Para observar este comportamiento se utilizará el lugar geométricos de las raíces.
Las figuras 44 y 45 muestra la respuesta en el dominio de tiempo hacia el ruido blanco del filtro pasa bajas de orden 2 para los polinomio de Bessel y Butterworth,es importante resaltar que la linea que se observa de mayor grosor es meramente visual ya que ambos filtros tienen comportamiento similar.
Figura 44: Respuesta al ruido blanco del filtro de Bessel de orden 2
Al comparar las dos imágenes, se observa que el comportamiento al filtrar el ruido blanco, tiene una respuesta similar el tiempo. Así que ambos filtros son una buena opción para filtrar el ruido blanco que no tiene un valor medio.
En las figuras 46 y 47 se muestran las respuesta en el dominio del tiempo del filtro Bessel y Butterworth a la señal discretizada del sensor de presión diferencial:
Figura 46: Respuesta a la señal del sensor para el filtro de Bessel de orden 2
Si se compara la respuesta obtenida en 46 con la figura 47, se observa que el filtro de Butterworth tiene mayor pico al filtrar la señal del sensor muestreada, su comportamiento genera conflictos en ambos casos, debido al comportamiento que tienen este tipo de filtros. En esta prueba mostró que el filtro de Bessel tiene un mejor comportamiento ya que su valor pico es menor.
Figura 47: Respuesta a la señal del sensor para el filtro de Butterworth de orden 2
A continuación se observa el comportamiento del filtro en el dominio del tiempo por medio de la respuesta al impulso de la función de transferencia de cada diseño estudiado y en la figura 49 se compara su comportamiento en el dominio discreto.
Figura 48: Respuesta al impulso para los filtros de orden 2 en el dominio s
La respuesta de las figuras 48 y 49 muestran tener un comportamiento similar, estas figuras permiten observar que la función de transferencia del filtros de Butterworth y Bessel tendrán una respuesta similar si se diseña de manera analógica como de manera digital. De la misma manera, se puede mirar que la respuesta del filtro de Butterworth demora más en llegar a su estado estacionario, por consecuencia, el filtro Bessel también pasa está prueba ya que el tiempo de respuesta es importante, debido a que el número de muestras erróneas en una aplicación de la salud son fundamentales para evitar un mal diagnostico médico.
Ya que el aire espirado sale en un tiempo muy corto, se puede estudiar la respuesta al impulso de los filtros ya mencionados para conocer su salida a cambio abrupto y permitir seleccionar el mejor filtro a esta aplicación, se realiza el estudio en el dominio discreto y en el dominio continuo:
Figura 50: Respuesta al escalón para los filtros de orden 2 en el dominio s
Los resultados muestran que la respuesta en ambos dominios tiene una forma similar, de igual forma, si se compara la estimación del filtro de Bessel con el filtro de Butterworth, el filtro de Bessel muestra una tener mejores condiciones para esta aplicación ya que su tiempo estacionario es menor que el filtro de Butterworth, asimismo, el filtro de Bessel mostró tener menor valor pico por lo cual tendrá menor error en el instrumento, consecuentemente se seleccionará un filtro de orden 2 con polinomio de Bessel, a partir de la respuesta del filtro 49 se observa que tan solo tres muestras tendrán un error en la respuesta al impulso.
Con el fin de garantizar un filtro bien diseñado se realizará el estudio en el dominio
s y en dominioz, para conocer la respuesta en frecuencia que tendrá el filtro diseñado:
-60 -40 -20 0
Figura 52: Diagrama de Bode del filtro Bessel continuo
En las figuras 52 y 53 se muestran los diagramas de Bode del filtro analógico y digital respectivamente, que muestra la respuesta típica de un filtro pasa bajas con frecuencia de corte de 5Hz, los diagramas de fase del filtro digital muestra tener un comportamiento menos lineal, debido a la aproximación del dominio s al dominio z.
-80 -60 -40 -20 0
La última condición que debe cumplir el filtro es que sus polos estén ubicados en planoRe(s)<0y el circulo unitario|z|<1para garantizar que la función de transferencia del filtro es estable en el dominio s y en dominio z.
LGR para el dominio s
Eje Real (seconds-1)
Eje Imaginario (seconds
-1 )
Figura 54: Lugar Geométrico de las raíces del filtro Bessel de orden 2 en el dominio s
La herramienta que se utilizó para hacer este estudio fue el lugar geométrico de las raíces, las cuales fueron utilizadas por medio de la herramienta MATLAB y se observa que el filtro de Bessel es estable en el dominio z y en el dominios.
Figura 55: Lugar Geométrico de las raíces del filtro Bessel de orden 2 en el dominio z