5. Coeficientes efectivos para celdas unitarias de complejidad media
5.1.2. Resultados para representaciones de medios porosos
El uso de celdas unitarias como las mostradas en la Figura 5.1 permiten representar en una celda unitaria una variedad de medios porosos homog´eneos en 2D; principalmente aquellos semejantes a lechos empacados por esferas y otros tipos de materiales granulares. Sin embargo, existen en la naturaleza medios porosos m´as complejos cuyas caracter´ısticas geom´etricas no son limitadas a part´ıculas con una forma regular. Bajo los argumentos anteriores, y con el fin extender la predicci´on del coeficiente de conductividad efectiva a celdas unitarias, que logren capturar la esencia de la complejidad geom´etrica de medios porosos reales, se determina el coeficiente de conductividad efectiva usando representaciones extra´ıdas de una micrograf´ıa de una muestra de suelo, reportadas por Auset y Keller (2006)
y mostradas en la Figura 5.6 (a). La celda unitaria peri´odica, obtenida en base a la geometr´ıa de la micrograf´ıa se ilustra en la Figura 5.6 (b); en esta se detalla la orientaci´on y la forma de cada part´ıcula s´olida del medio poroso. Nuevamente las regiones β y σ en la celda unitaria representan las fases s´olida y fluida, respectivamente, no se considera el contacto entre las part´ıculas para ser consistentes con las celdas unitarias anteriores y con el objetivo principal de omitir el efecto del contacto part´ıcula-part´ıcula, importante para valores de κ = kβ/kσ grandes, y enfocarse en el efecto geom´etrico usando representaciones peri´odicas
m´as complejas para la predicci´on del coeficiente de conductividad efectiva. Una celda unitaria “simplificada”, cuya estructura geom´etrica se basa en part´ıculas cil´ındricas con tama˜nos y posiciones equivalentes a las part´ıculas en la celda unitaria Realista, se muestra en Figura 5.6 (c). Esta ´ultima celda unitaria es usada para observar los efectos de la microestructura de la celda unitaria sobre el valor del coeficiente de conductividad efectiva, de forma que se comparen los coeficientes de conductividad predichos.
Las soluciones num´ericas del coeficiente de conductividad para las celdas de las Figuras 5.6 (b) y (c), denominadas celdas “Realista” y “Aproximada”, se muestran en la Figura
Tabla 5.2. Pruebas num´ericas del c´alculo de Kef f para las celdas Realista y Aproximada. εβ = 0.35
εβ = 0.35.
Celda unitaria κ Elementos Kef f/kβ tm(s)
Realista 10 103 000 3.574 30.6 100 141 559 6.739 41.2 230 746 6.740 92.7 1 000 141 559 7.751 43.6 230 746 7.762 96.1 10 000 230 746 7.813 94.3 Aproximada 10 37 352 3.375 9.2 100 37 352 5.168 9.4 42 080 5.169 17.5 1 000 42 080 5.488 16.1 71 370 5.497 33.7 10 000 71 370 5.528 33.1
5. Coeficientes efectivos para celdas unitarias de complejidad media
5.7. En esta figura tambi´en se incluye, para efectos de comparaci´on, los resultados de la conductividad efectiva de la Configuraci´on 1, de la Figura 5.1(a), para una porosidad εβ =
0.35 y εβ = 0.55. La conductividad t´ermica para estas dos celdas unitarias es casi la misma
cuando el valor de κ es menor a 10, cuando κ se incrementa hasta observarse la tendencia asint´otica se aprecia una diferencia entre los valores del coeficiente de conductividad efectiva obtenidos por las celdas Realista y Aproximada, siendo el coeficiente de conductividad efectiva muy similar entre la celda Aproximada y la Configuraci´on 1. Para un valor de εβ = 0.35, la diferencia entre el valor de la conductividad efectiva llega a ser de un 30 %
entre la celda Realista y la Aproximada. Para la celda Aproximada y la Configuraci´on 1, la diferencia es de 2 %. La Configuraci´on 1, y la celda Aproximada representan arreglos similares de part´ıculas y estos resultados se˜nalan nuevamente la particularidad con que la geometr´ıa afecta el coeficiente de conductividad efectiva. La diferencia entre los valores de la conductividad efectiva que se predicen en una celda unitaria con geometr´ıa realista y una celda con una geometr´ıa aproximada, nos dice, que si no considera adecuadamente los detalles geom´etricos de la microestructura, puede llegar a existir una p´erdida de informaci´on en lo referente en la distribuci´on de las fases sobre el coeficiente de conductividad efectiva y pueden existir diferencias entre los valores en los coeficientes de conductividad t´ermica efectiva predichos, que resulten ser importantes.
El n´umero de elementos en el malla, considerando independencia del esquema de discretizaci´on y sin inestabilidades num´ericas, junto con el tiempo de c´omputo se muestran en las tablas 5.2 y 5.3, con el objeto de realizar pruebas num´ericas entorno al c´alculo del coeficiente de conductividad efectiva para las celdas unitarias Realista y Aproximada. Un incremento en la complejidad geom´etrica significa un aumento en el n´umero de elementos requeridos en la discretizaci´on lo que conlleva a un mayor tiempo de c´omputo. Para la celda unitaria con la representaci´on realista del medio poroso, se requieren casi cuatro veces m´as el n´umero de elementos necesarios en la representaci´on aproximada, y un tiempo de c´omputo promedio tres veces mayor.
La selecci´on de una representaci´on razonable de la complejidad de un medio poroso real, como celda unitaria, estar´a determinada en funci´on de la informaci´on que se quiera aportar acerca de la geometr´ıa del sistema heterog´eneo en la predicci´on del coeficiente de conductividad efectiva, como tambi´en en la disponibilidad de los recursos computacionales para el c´alculo, teniendo en cuenta tambi´en las diferencias en el coeficiente de conductividad efectiva al usar celdas unitarias con una sobre simplificaci´on de la geometr´ıa del medio poroso.
Predicci´on de K
ef f(sin contacto part´ıcula-part´ıcula)
Inicio
εβ ≥ 0.5
κ ≤ 10
Detalles de la Microestructura
Estructuras peri´odicas simples, p. ej. cilindros en l´ınea
C´alculo de Kef f
Fin
Estructuras peri´odicas complejas
Part´ıculas de geometr´ıa compleja Part´ıculas de geometr´ıa simple Aproximaci´on Anal´ıtica p. ej.: Ochoa-Tapia y col . (1994) No No No Si Si Si
Figura 5.8. Algoritmo para la predicci´on de Kef f.
5. Coeficientes efectivos para celdas unitarias de complejidad media
De los resultados discutidos en el Cap´ıtulo 4 y en este cap´ıtulo, respecto a las valores del coeficiente de conductividad t´ermica efectiva para diferentes celdas unitarias de complejidad variada, se puede establecer un algoritmo que muestre bajo que circunstancias resulta prudente usar una celda unitaria peri´odica, con un representaci´on razonable de la microestructura. En la Figura 5.8 se presenta el algoritmo descrito, y se se˜nala que tipo de celdas unitarias pueden ser usadas para calcular el coeficiente de conductividad t´ermica efectiva. De tal forma que los efectos de la geometr´ıa y de la distribuci´on de las fases sean considerados en el valor del coeficiente de conductividad t´ermica calculado.