7. Sistemas con retardos distribuidos
7.2. Retardo discreto y retardo distribuido: un ejemplo simple
se utilice. Por lo tanto, no hay una regla general para la obtención de dichos modelos equivalentes. Esto motiva la búsqueda de una metodología que pueda aplicarse en forma independiente de la distribución que se plantee, es decir, que permita trabajar con la ecuación original aunque la misma sea una ecuación integrodiferencial.
En este Capítulo se propone una variante del método en frecuencia (MF) con el ob- jetivo de poder estudiar ecuaciones diferenciales con retardos distribuidos (EDRDs), sin tener que recurrir a la formulación de un modelo equivalente. La variante del MF que se propone representa una generalización de la que se ha presentado en el Capítu- lo 4 para sistemas con retardos constantes; de hecho, se verá que el retardo constante puede obtenerse como un caso límite del retardo distribuido. Como se mostrará a continuación, la metodología propuesta permite estudiar EDRDs en forma análoga a los sistemas con retardos constantes que se han presentado a lo largo de esta tesis. Es decir, se posibilita el análisis de un tipo de sistemas (aparentemente) más compli- cados, sin que esto signique un incremento en la complejidad de la metodología en frecuencia.
7.2. Retardo discreto y retardo distribuido: un ejem-
plo simple
Para proveer una idea más precisa de sistemas con retardos distribuidos, se intro- ducirá un ejemplo muy simple que permitirá mostrar la analogía con los sistemas a retardos constantes. Considérese la ecuación escalar
˙
x(t) =−µx(t−τ), (7.4)
dondex, µ∈R. Como es habitual, la función inicial debe especicarse en el intervalo
[−τ,0]. Si se plantean soluciones exponenciales de la forma x(t) =est, se obtiene sest =−µeste−sτ,
con lo cual, la ecuación característica del sistema (7.4) está dada por
El ejemplo análogo al (7.4) con retardo distribuido es ˙ x(t) = −µ t Z −∞ x(u)k(t−u)du. (7.6)
Nótese que en este caso, como dato inicial es necesario proveer los valores dex(t)para
todo t ∈ (−∞,0]. Si la función k(u) tiene soporte compacto, es decir, es no nula en
un intervalo [T0, T1], basta considerar los límites de la integral como t−T1 y t−T0. Por otra parte, es usual que la función de distribución o kernel se normalice de forma tal que
∞
Z
0
k(u)du= 1,
dado que, generalmente, la función k(u) se piensa como una función de distribución
de probabilidad. Además se dene el retardo medio (o directamente la media) de este kernel como τM := ∞ Z 0 uk(u)du, y la varianza como σ2 := ∞ Z 0 (u−τM)2k(u)du.
Una de las funciones más utilizadas en distintas aplicaciones (véase Liao et al., 2001; Culshaw et al., 2003; Ruan, 2006) es la distribución gamma, que está dada por
kpa(u) = a
pup−1e−au
(p−1)! , u≥0, (7.7)
donde a > 0 y p ∈ N. Los casos particulares p = 1 y p = 2 se conocen en la
literatura especíca como kernel débil y kernel fuerte, respectivamente. Por ejemplo, en la Fig. 7.1 se muestran grácas de la función gamma paraa= 1y distintos valores
de p. A partir de la integral t Z −∞ x(u)kap(t−u)du= ∞ Z 0 x(t−u)kpa(u)du,
se deduce que el kernel débil (p= 1) proporciona más peso a los valores más recientes
7.2. Retardo discreto y retardo distribuido: un ejemplo simple 159
Figura 7.1: Gráco de la función gamma para a = 1 y p = 1 (azul), p = 2 (rojo) y
p= 3 (verde).
valor de la variable x(t) en el instante t−τ = t−p/a. De hecho, el valor τ = p/a
corresponde a la media de la distribución gamma. Además, puede mostrarse que la varianza es σ2 = p/a2. Si se hace a = p/τ, de modo de mantener el retardo medio igual aτ, y se toma p→ ∞ se obtiene σ2 =τ2/p→0. Esto quiere decir que
l´ım
p→∞k
p
p/τ(u) =δ(t−τ),
donde δ(·)denota el impulso de Dirac; entonces
l´ım p→∞ t Z −∞ x(u)kpp/τ(t−u)du=x(t−τ).
Por lo tanto, el sistema (7.4) se puede obtener como un caso límite de la Ec. (7.6). Lue- go, considerando un kernel gamma en (7.6) y aplicando la Transformada de Laplace, se obtiene sX(s)−x(0) =−µL 0 Z −∞ x(u)kpa(t−u)du+ t Z 0 x(u)kpa(t−u)du , (7.8)
donde el segundo término en el miembro derecho es el producto convolución(x∗kp a)(t),
con lo cual (7.8) se puede escribir como
sX(s)−x(0) =−µL 0 Z −∞ x(u)kap(t−u)du −µX(s)Kap(s),
donde Kap(s) = L{kp a(t)}. Luego X(s) [s+µKap(s)] = x(0)−µL 0 Z −∞ x(u)kap(t−u)du . (7.9)
El miembro de la derecha representa la historia del sistema, es decir, que para hallar una solución se necesita conocer la función inicial x(t) = φ(t), −∞ < t ≤ 0. Si esta
función es nula, entonces las soluciones no triviales de (7.9) están determinadas por las raíces de la ecuación característica
s+µKp
a(s) = 0. (7.10)
Además, a partir de (7.7) se obtiene
Kap(s) = a p (p−1)!L tp−1e−at = a p (p−1)!L tp−1 s+a = a p (p−1)! (p−1)! sp s+a = a p (s+a)p,
y por lo tanto (7.10) queda expresada como
s+µ a
p
(s+a)p = 0. (7.11)
Resulta interesante ver qué sucede con esta ecuación característica si se tomaa=p/τ
y p→ ∞ l´ım p→∞K p p/τ(s) = l´ımp→∞ s+µ p sτ +p p ,
entonces se dene y = [p/(sτ +p)]p, luego lny = pln [p/(sτ +p)]. Por medio de la
regla de L'Hópital se determina que l´ımp→∞lny =−sτ, con lo cual l´ımp→∞y=e−sτ,
es decir l´ım p→∞K p p/τ(s) = e −sτ.
Por lo tanto, cuandop→ ∞ya=p/τ, la ecuación característica dada en la Ec. (7.11)
tiende a la mostrada en la Ec. (7.5). En otras palabras, la ecuación característica del sistema con distribución gamma tiende a la ecuación característica del sistema con retardo discreto cuando p→ ∞, manteniendo el retardo medio igual aτ.
Nótese que esta conclusión puede obtenerse mediante otra distribución que no sea particularmente la gamma, mientras se mantenga constante el retardo medio τ y se
7.2. Retardo discreto y retardo distribuido: un ejemplo simple 161
Figura 7.2: (a) Representación en bloques del sistema (7.6). (b) Diagrama equivalente utilizando la matriz extendidaG∗(s;µ)dada por (7.13).
7.2.1. Planteo con el Método en Frecuencia
En esta sección se explicará cómo los sistemas con retardo distribuido se pueden estudiar utilizando el método en frecuencia. Nuevamente, se parte de un ejemplo muy simple para mostrar la analogía con el caso del retardo discreto. Para el sistema (7.4), si se elige la realización
A =−1, B =C= 1, g(y∗) =−y(t) +µy(t−τ),
se tiene G(s) = 1/(s+ 1) y por lo tanto G∗(s) = (1 e−sτ)T/(s+ 1). Por otra parte,
resulta J(µ) = (−1 µ). Se puede ver fácilmente que el único autovalor no nulo de
G∗(s)J(µ) es
b
λ(s;µ) = −1 +µe
−sτ
s+ 1 ,
y la condición de bifurcaciónbλ(s;µ) =−1 conduce a la ecuación característica (7.5).
Para el sistema (7.6), se elige la misma realización:
A=−1, B =C = 1, g(y∗) = −y(t) +µyk(t), (7.12)
donde, en este caso,yk(t) := t
R
−∞
y(u)k(t−u)du(véase la Fig. 7.2(a)). Como se mencio-
nó anteriormente, esta variable se puede escribir comoyk(t) = (y∗k)(t), es decir, como
la convolución entre la salida sin retardo y el kernel k(t). Entonces, suponiendo la exis-
tencia de la transformada de LaplaceK(s) :=L {k(t)}, se tendráYk(s) = K(s)Y(s).
Luego, si se dene la matriz
G∗(s) = 1 s+ 1 1 K(s) , (7.13)
la dinámica del kernel se incorpora en el bloque lineal y el sistema se puede representar como se muestra en la Fig. 7.2(b). Nótese la similitud de este planteo con el presentado en el Capítulo 4. La matriz Jacobiana se calcula como
J(µ) = ∂y∂g(t) ∂g ∂yk(t) ,
que para la función no lineal dada en (7.12) resulta J(µ) = (−1 µ)∈R1×2. En este caso, el único autovalor distinto de cero de la matriz G∗(s)J(µ) es
b
λ(s;µ) = 1
s+ 1 [−1 +µK(s)].
Si, por ejemplo, el kernel es una función gamma kp
a(t), la condición de bifurcación
b
λ(s;µ) =−1 conduce a la ecuación característica (7.11).