Salidas

Para satisfacer la demanda (SD)' Del estudio correspondiente, se determina ron los volumenes mensuales dados en la columna 5 de la tabla 5.2.

Por evaporaci6n directa del vaso (Se)' De los datos de un evaporimetro si

tuado cerca del vasa se determine que la lamina de evaporaci6n mensual es la mostrada en la columna 6 de la tabla mencionada.

Por infiltraci6n (S;). Se estima que la infiltraci6n en el vasa es despreciable. En la columna 3 de la tabla 5.2 se ha calculado la entrada por cuenca propia de acuerdo con la ecuaci6n 5.4 con n = 1:

Ecp= F, Vel

donde el factor FI se calcula, segun la ecuacion 5.6, como:

Tabla S.2

FI=--=--=08

Ae 500 .

La simulaci6n del funcionamiento del vasa se muestra en la tabla 5.3. Los calculos realizados en dicha tabla se hicieron siguiendo paso a paso el diagrama de bloques de la figura 5.8.

Es conveniente hacer la simulaci6n del funcionamiento del vasa para toda su vida util; debido a que normalmente no se tienen registros tan largos, estos se pueden completar usando, por ejemplo, la formula de Thomas- Fiering (referencia 5.3) para la generacion de registros sinteticos:>

(5.17) donde

Qi + I = volumen de escurrimiento en el mes i

+

1.

Qi + I = volumen medio de escurrimiento en el mes i

+

1, obtenido de los registros.

Qi = volumen de escurrimiento en el mes i.

Qi = volumen medio de escurrimiento en el mes i, obtenido de los

registros. b, = r, S, + I/Si•

t, = mimero aleatorio con distribucion normal, media cero y va-

riancia uno.

S, = desviacion estandar de los vohimenes registrados en el mes i.

i

+

1.

00 -o 00 Pi ;= N;lN (5.18) 0 00 Vl Vl N r-: ~ ::!:~ ~ ~~ <'r) _{r-- 0 0 "" C'") r-- ~} 0000

88 Almacenamiento y trans ito en vasos y cauces Funcionamiento de vasos 89

r--VlNooC'")C'")C'")O "_C'")0_N0_,-0_; o\o\o\NN tnC"'-l""""'OO,...;,...;\OO\ ":0r-:0-.D0v-i": ..q-M('"'.l ... ~_o ('"':\l('r)~M('1jM('fj{'f').~-;-O"""'" ~ 0 0 ~.v-i v-i 0\ 0\ 000 ~.-4 ("'l(f'){'(')-.:::t..q-

"

o

_"

0 lr) 0

""

lr) M ('i')...'...-.4, N \0 If) r-:""';o_..r_....-_....:_....o_.. (.'.O,l(1o")O..qo-..q\-.O.q-Ol£)o\N ,,"O~ l Vl -c 00_.-_.0_.0_. 00 o r- 00 00 o::::t ('f") (1") ('fj '1:~'1:"! o~oooo Vl,,",,",," Tabla 5.4 Volumenes en 103 m3 Ano e _f m a m j j a s 0 n d 1 20 40 60 80 95 100 110 150 120 70 30 10 2 - 30 80 105 120 140 130 160 140 110 40 - 3 - - _{93 100 135 160 180 104 95 70} - - 4 - 25 115 140 150 180 220 95 80 60 - 7 5 12 27 125 160 180 205 240 185 130 120 60 12 6 10 - _{75 70 110 150 200 90 120 100 40 23} 7 9 15 48 54 85 98 150 102 105 125 - 10 8 16 21 54 78 60 77 100 145 100 80 15 8 9 22 - _{14 39 28 45 60 137 125 95 20 6} 10 13 16 18 41 39 62 75 122 130 100 - 15 '"> _{~~ r-- C'") r- r--}

La aplicaci6n de la f6rmula 5.17 puede tener algunos problemas en el caso de corrientes effmeras 0 intermitentes, donde los gastos pueden ser nulos en algunos meses del afio. Para este caso , se usa el siguiente procedimiento ~- 000 ,-; ,-; '" a> ,.-< ,.-< 00 N 00 0-- (referencia 5.4): '-; '"> _N I I I I

Para cada mes i deterrninar el mimero de afios en que hubo flujo, Ni·

00 _~~ Vl 0-- 00 a C'") ,.-< ,.-< ,.-< ,.-< 00

'-;

Si N es el niimero total de afios de registro, calcular la probabilidad deque en un afio dado haya flujo en el mes i como:

N 00 r-- 0 C'") 0000 O~ooN NNNI'"

8

_N ~~OO N 00 0-- 0-- 00000,," 00 N 00 C'")N

Calcular

(2;

y S, Y determinar el coeficiente de correlaci6n para los pares sucesivos de meses en que se hayan tenido escurrimientos. Ge nerar secuencias de vohimenes mensuales para el mes i, escoger un mimero aleatorio r' uniformemente distribuido entre 0 y 1. Si

Pi

>

r', habra escurrimiento en ese mes; si r'

>

Pi no habra escu rrimiento en ese mes y se repite el procedimiento para el mes i

+

1.

Ejemplo 5.3. En un

no

se tiene el registro de volumenes mostrado en la tabla :i.4. Generar 5 afios de registros sinteticos.

oor--VlN C'") 0":000 0--

~("I"')M.,...;

..q-tn0\ ...

En la tabla 5.5a se muestra el calciilo de Qi' S; Pi, ri Y b, Y en la tabla :i.5b se presentan los voliimenes generados para los cinco aiios, Por comodi dad, para decidir si en un mes dado hay escurrimiento 0 no, se ha usado el

mismo mimero aleatorio t.. En este caso, el primer volumen es nulo, pero en general conviene usar como Qi (ecuaci6n 5.17) para el primer mes la media

Qi

del ultimo mes del afio,

14.6 4.6 0.7 0.800 1.39 1-0 d_V 24.9 8.0 0.7 0.386 1.69 dt 68.2 35.1 1.0 0.955 1.04 86.7 38.2 1.0 0.923 _{1.12 donde} 100.2 46.2 1.0 0.986 1.08 9 114.5 17.8 1.0 0.629 0.75 10 93.0 21.1 1.0 0.766 0.54 dV 11 34.2 14.8 0.6 0.490 0.17 dt 12 11.4 5.1 0.8 -0.627 -0.57 I 2 0.3950.853 0.750.00 3 0.834 67.91 4 0.852 96.05 5 0.501 119.58 6 0.792 149.29 7 0.306 182.51 8 0.807 150.37 9 0.280 126.16 135.20 43 0.856 179.56 55 0.912 150.40 137.13 44 0.286 135.15 56 0.584 146.Dl 122.46 45 0.251 120.27 57 0.819 132.23

I

90 _{Almacenamiento y transite en vasos y cauces}

Tabla 5.5a Vohimenes en 103 m ' - i _{Qi Si Pi}

_r.

_hi 1 2 3 4 5 6 121.7 50.4 1.0 0.954 1.11

Trdnsito de avenidas en vasos 91 En el transite de avenidas en vasos se usa, como en la simu1aci6n del fun cionamiento de vasos, la ecuaci6n de continuidad:

(5.19)

7 146.5 58.7 1.0 -0.142 -0.07 8 129.0 29.9 1.0 0.605 0.36

I gasto de entrada al vaso.

o

gasto de salida del vaso.

variaci6n del volumen almacenado en el tiempo.

Tabla 5.5b Vohimenes en 103 m3

i Ii Qi i t, Qi i t,

a.

i Ii

o.

i t, Qi

o bien, en diferencias finitas:

13 0.507 0.00 25 0.746 23.77 37 0.946 24.49 49 0.007 0.00 . _{2 2 At} (5.20)

14 0.680 0.00 26 0.120 0.00 38 0.132 0.00 50 0.445 0.00 15 0.798 51.96 27 0.257 34.44 39 0.882 54.68 51 0.755 50.57 16 0.087 70.79 28 0.109 52.83 40 0.847 82.23 52 0.397 72.86

17 0.289 _{87.52 29 0.664 74.06 41 0.721 108.02 53 0.283 89.73} donde los subindices i e i

+

1 denotan valores al inicio y al final del intervalo 18 0.544 112.58 30 0.853 100.64 42 0.925 137.91 54 0.043 110.75 de transite At, respectivamente.

19 0.412 143.63 31 0.686 20 0.331 139.00 32 0.248 21 0.613 126.79 33 0.355

El valor de At que se usa en el transito de avenidas, debido a la duracion de las mismas, es considerablemente mas pequefio que el empleado en la si

10 0.286 106.44 22 0.802 115.37 34 0.602 108.84 46 0.399 103.87 58 0.139 108.58

11 0.939 50.39 23 0.841 54.28 35 0.946 51.76 47 0.162 0.00 59 0.308 0.00 mulaci6n del funcionamiento de vasos; en el primer caso, At es del orden

12 0.032 0.00 24 0.397 _{0.00 36 0.132 0.00 48 0.490 0.00 60 0.574 0.00 de horas, mientras que en el segundo, At es en general de un meso Por esto,}

durante el trans ito de una avenida, terminos como la lluvia directa en el vaso, la evaporaci6n y la infiltraci6n son insignificantes y normalmente se ig

5.4 TRANSITO DE AVENIDAS EN VASOS

El tnins.ito de avenidas en vasos es un procedimiento que sirve para determi nar el hidrograma de salida de una presa dado un hidrograma de entrada. Al gunas de sus principales aplicaciones son:

a) Conocer la evoluci6n de los niveles en el vasa y de los gastos de sali da por la obra de excedencias, para saber si la polftica de operaci6n de la.s compuertas del vertedor es adecuada y asf, al presentarse una

noran. En terminos globales es recomendable que el At que se use sea menor o igual a una decima parte del tiempo de pico del hidrograma de entrada: (5.21) Durante el trans ito de una avenida por un vaso, la forma de los hidrogra mas de entrada y salida es aproximadamente como se muestra en la figura 5.9. Antes del tiempo to, las condiciones estan establecidas y la entrada es igual a la salida. En el intervalo to

<

t

<

tl, la entrada es mayor que la sali

I

y consecuentemente el maximo nivel en el vaso. El area que hay

avemda, no se pongan en peligro la presa, bienes materiales 0 vidas

humanas aguas abajo.

b) Dimensionar la obra de excedencias.

c) Fijac el NAME y las dimensione; de las obras de desvfo Y atagufas.

da y, de acuerdo con la ecuaci6n 5.19, aumenta el volumen almacenado en el vasa y, por 10 tanto, su nivel. En el tiempo tl se alcanza el maximo almace namiento

1

92 _{Almacenamiento y transito en vasos y cauces}

1,0,

Voiumen maximo

almacenado en el

vasa

~---r---~,- ~,._

Figura 5.9 Hidrogramas de entrada (I) y salida (0)

tl

Trdnsito de avenidas en vasos 93

C = coeficiente de descarga.

O, = gasto por el vertedor de excedencias, m3/s.

El coeficiente d~ descarg~ C es siempre del orden de 2, y este es un valor suficientemente aproximado para hater el transite de la avenida. Obviamen-

te, si E

<

Eo,.O, = 0. . .

La ecuacion 5.23es valida cuando la descarga por el vertedor es libre;

si tienecompuertas y se pretende usarlas durante el paso de la avenida, !a

ecua cion 5.23 se sustituirfapor una regia de operacion de compuertas

prevla~ente establecidacon la limitante de que el gasto de descarga debe ser

meno_roIg~al que Ow Por otra parte, se puede pensar en que .la o~ra de

toma este funcio nando de manera simultanea al paso de la avenida. $1 el gasto descargado por la obra de toma OT es significativo en relacion al descargado por el verte dorIt., entonces Ia salida total de la presa sera:

o

= O,

+

OT (5.24)

Vs

=

'(I - 0) dt

10 (5.22) As! con las ecuaciones 5.20, 5.23y 5.24 yla curva elevaciones-

volumenes del'vas; (figura 5.3) se tiene un sistema de ecuaciones

d~terminado"c~ya so

es el volurnen maximo almacenado yes, por 10 tanto, el volumen de superal

macenamiento requerido para la avenida de entrada I (t) considerada, yel ni vel que se tiene en el vasa eneI tiempo t1 sera el NAME necesariopara esa

misma avenida. Cuando t > tJ, las salidas son mayores que las entradas y,

porIa ecuacion 5.19, el volumen almacenado en el vasa disminuye.

Al' realizar el transite de una avenida por un vaso, en cualquier instante dado, se conocen todas las condiciones CI, 0 y V) en i (ecuacion 5.20), y se deseanconocer en i

+

1. Entonces, 1a ecuacion de continuidad 5.20 tiene

dos incognitas, 0; + J YVi + 1(obviamente I se conoce para cualquier tiempo),

por

10 que Serequiere otra ecuacion para tenerun sistema determinado. Esta

ecua

cion es Ia que liga los gastos que salen por el vertedor con la elevacion de

Iucion, en cada intervalo de tiempo, proporciona las salidas y los vohimenes

enel vaso.

De los procedimientos existentes para el transito de avenidas en va~o~se presentan dos: uno semigrafico, utiI para calculos manuales, y.uno numenco, que conviene utilizar cuando se cuenta con una computadora digital 0 una

cal culadora programable.

5.4.1 .Metodo semigrafico

La ecuacion de continuidad 5.20 tambien se puede escribir en la forma:

2V; 2Vi + I

la superficie libre del agua, que en general tiene la forma (referencia 5.5): Ii

+

I, + I

+ (--- -

0;) =

+

0; + I

tlt tlt (5.25)

donde

o, =

CL (E - Eo)3/2, E

>

Eo (_5.23)

donde los terminos desconocidos se han puesto del lado derecho de la ecua

cion. Dado que tanto Vi + 1 como 0; + 1 dependen del nive! en el v.aso

(vease la figura 5.3 y la ecuacion 5.23), antes de realizar el transite conviene

trazar E :;= elevacion de la superficie libre del vaso, m.

Eo == elevacion de la cresta del vertedor, m.

L = longitud de fa cresta del

--2V

tlt

+

0 con

°

para cada e1evaci"on (ve, ase

°

° °

,

94 Almacenamiento y transito en vasos y cauces Transite de avenidas en vasos 95 a) Se fija el At que se usara en el calculo.

b) Se fija un valor de E, mayor que Eo· c) Se calcula con las ecuaciones 5.23 Y 5.24. d) Se determina

ra 5.3).

e) Se calcula h

V con la curva elevaciones-volumenes del vasa (figu- 2V

+

0. At -f-+- I-- - ._-1---1-- I II i I I I II II I t., i' I I I'

f) Se regresa al punto b tantas veces como sea necesario para definir S'll-' ficientes puntos.

g) Se dibuja la curva.

Una vez dibujada la curva, se utiliza el siguiente procedimiento para el transite de la avenida:

a) Se fija un nivel inicial en el vaso Ei. En general conviene que este

nivel inicial sea el del NAMO para hacer el transite en las condicio- nes mas desfavorables.

b) Se calculan las salidas Oi y el volumen Vi correspondientes ala ele-

vaci6n t: 2Vi

c) Se calcula

At - °i'

d) Con los gastos I, e I, + i, conocidos de la avenida de entrada y el re-

I T

H-+-+++-H-+--l---+--\--t-l--L

I i -f-.-t--t-+--I-I+-I+-4T-+--+-i

sultado del inciso c, se calcula ---2Vi + 1

At

+

O, + 1 usando la ecua i I

l-l--+-l--l--li J_-t-+--+,-

-+-1-+11+i: --+-++-~~ j

H-+-+++-H-+_~~+-~i~+I--Lj_-t-r~i-~-+-+-+-H-~~~+L~_j

ci6n de continuidad (ecuaci6n 5.25):

+--l--+-+---I--.-Jf--l--l-+--+·-+-l--H-+--t-+--+-+---+--,J--J-+--+l-' +--l--"

i I 2Vi + 1

₊

0i + 1 = I,

+

Ii+ 1

+ (---

2Vi

-

°i)

At At 2V

e) Con el resultado del inciso anterior y la curva _-

+

contra (figura 5.10) se determina O, + I' At

2Vi + 1

f) Se Testa O, + 1 dos veces de ---

+

O, + I' Con esto se tiene:

At

Figura 5.10 I

,· I

2 V i + 1 - O, + I A t

96 _{Almacenamiento y transito en vasos y cauces}

Transito de avenidas en vasos 97

200

100

Solucion

La ecuaci6n de salidas es (ecuaciones 5.23 y 5.24):

o

= CL(E - EO)3/2

+

OT = 2 x 15 (E - 50.4)3/2

+

20 = 30 (E - 50.4)3/2

+

20 si E

>

50.4 m, Si E

<

50.4 m, 0 = OT = 20 m3!s. (5.27) se usara !:.t = 0.1 h = 360 s. 2 _th

Figura 5.11 Hidrograma de entradas.

g) Se pasa al siguiente intervalo (esto es, se hace i = i

+

1) Y se vuelve al paso d tantas veces como sea necesario para terminar con eI hidro grama de entrada.

2V

a) Curva ---

+

0 contra O.

!:.t

2V

En la tabla 5.6 se muestran los calculos para la curva -;;:;-

+

O. En la columna 1 estan las elevaciones seleccionadas; en la 2 se encuentran los vohimenes almacenados correspondientes a las elevaciones de la columna I y calculados con la ecuaci6n 5.26; en la 3 estan los .~astos de salida, calcula dos con las elevaciones de la columna I y la ecuacron 5.27 y en la columna

2V

+

Ejemplo 5.4. Transitar la avenida mostrada en la figura 5. I I por un vasa

cuya curva elevaciones-volumenes tiene la ecuaci6n*:

V = 10 EI 18 _(5.26)

4 se ha hecho el calculo de va resultante. !:.t b) Transite de la avenida.

O. En la figura 5.10 se muestra la cur-

donde E = elevaci6n en m y V = volumen en miles de m'. La elevaci6n del

NAMO es la 50.4 ill, el vertedor es de cresta libre con longitud de 15 m y coeficiente de descarga de 2, y la salida por la obra de toma es constante e igual a 20 m3!s.

Usar el metodo semigrafico. Encontrar el NAME correspondiente a esta avenida y vertedor y determinar el hidrograma de salidas del vaso.

* Notese que las ecuaciones 5.26 y 5.27 son validas solo para este vaso en particular. Cada vaso tiene sus propias ecuaciones, que pueden obtenerse a partir de un analisis de regresion (vease apendice B).

I

,,"

m 50.4 103 m3 1 020.6 m31s 20.0 m31s 5690.0 5l.0 1 035.0 33.9 5 783.8 52.0 1 059.0 80.7 5963.9 53.0 1 083.0 145.8 6 162.7 54.0 1 107.2 224.9 6376.0

Los calculos para el transite de la avenida se han hecho en la tabla 5.7. Si se usa una tabla como esta, el procedimiento a seguir es:

Tabla 5.6

(j) 0) (]) (])

E V 0 -_2V._ + 0

° °

°

98 Almacenamiento y transite en vaS(JS y cauces Transite de avenidas en vasos 99 Tabla 5.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 5, Determinar, con el valor de

2Vj + I !1t

+

0; + I(columna 6) y la curva t i t, I, + Ii + I _1_JI;_ - OJ _2V; + I + OJ + I OJ Vj t: ill ill h m3!s m3!s m3!s m3!s m3!s /03 m3 m 0.0 0 0.0 20.0 5670 5690 20.0 1020.6 50.4 0.1 I 20.0 60.0 5650 5710 20.0 1023.5 50.5 0.2 2 40.0 100.0 5666 5766 22.0 1030.3 50.2 0.3 3 60.0 140.0 5702 5842 32:0 I 031.3 51.2 0.4 4 80.0 180.0 5742 5922 50.0 I 049.4 51.6 0.5 5 100.0 220.0 5780 6000 99.0 1056.2 50.0 2V

-- +

contra (figura 5.10), la salida en el siguiente inter !1t

valo 0; + I Y anotarla en el proximo renglon de la columna 7.

6. Restar el ultimo valor anotado en la columna 7 dos veces del ultimo valor anotado en la columna 6 y colocar el resultado en la columna 5. 7. Volver al cuarto paso hasta que las salidas por el vertedor sean nulas.

0.6 6 120.0 260.0 5803 6063 115.0 1067.0 52.3 0.7 7 140.0 300.0 5 832 6 132 118.0 1075.3 52.7 0.8 8 160.0 340.0 5856 6 196 138.0 1082.5 53.0 5.4.2 Metodo numerico 0.9 9 180.0 380.0 5876 6256 160.0 1088.6 53.2 1.0 IO 200.0 390.0 5 888 6278 184.0 I 093.0 53.4 1.1 II 190.0 370.0 5894 6264 192.0 I 094.4 53.5 NAME

En la figura 5.12 se muestra un diagrama de bloques que indica los pasos que se siguen en el metoda numerico.

1.3 13 170.0 330.0 5 874 1.4 14 160.0 310.0 5 880 1.5 15 150.0 290.0 5874 6204 182.0 1091.2 53.3 6 190 162.0 1086.5. 53.1 6 164 158.0 1 085.4 53.1

ximaciones sucesivas para calcular el volumen y el gasto de salida en el inter valo i

+

1. Primero se supone que el gasto de salida es igual al que se tuvo

1.6 16 140.0 270.0 5872 6 142 146.0 1081.1 52.9 1.8 18 120.0 230.0 5646 6076 132.0 1073.5 52.6 1.9 19 110.0 210.0 5832 6042 122.0 1070.3 52.5 2.0 20 100.0 190.0 5824 6014 108.0 1066.1 52.3 2.1 21 90.0 170.0 5814 5984 100.0 1062.0 52.1 2.2 22 80.0 150.0 5800 5950 92.0 1056.8 52.0 2.3 23 70.0 130.0 5790 5920 80.0 1 054.4 51.8 2.4 24 60.0 110.0 5778 5 888 71.0 1049.6 51.6 2.5 25 50.0 90.0 5760 5850 64.0 1045.8 51.5 2.6 26 40.0 70.0 5748 5816 52.0 1 040.4 51.2 2.7 27 30.0 50.0 5728 5778 44.0 1035.7 51.0 2.8 28 20.0 40.0 5710 5740 34.0 1030.3 50.8 2.9 29 10.0 10.0 5690 5700 30.0 1025.3 50.6 3.0 30 0.0 0.0 5606 5606 22.0 1020.2 50.4 3.1 31 0.0 0.0 5562 5562 20.0 1016.3 50.2 3.2 32 0.0 0.0 5522 5522 20.0 1012.7 50.1 3.3 33 0.0 0.0 5482 5482 20.0 1009.1 49.9 3.4 34 0.0 0.0 5442 5442 20.0 1005.5 49.8 3.5 35 0.0 0.0 5402 5402 20.0 20.0

1. Calcular todas las sumas I;

+

I; + I (columna 4) a partir de la avenida de entrada (columna 3).

2. Fijar el nivel inicial. En este caso, Eo = 50.4 m (columna 9).

2V

el vo!umen almacenado,

V;

+ I (notese que los mimeros arriba y a la derecha de V no son exponentes, sino superfndices que cuentan las iteraciones). Con este volumen y la curva elevaciones-voliimenes se determina la elevacion y con ella una nueva estimacion del gasto de salida. Con este gasto de salida

0; + 1 se calcula un nuevo volumen y, si es similar al calculado en la itera

cion anterior, se imprimen los resultados y se pasa a un nuevo intervalo de tiempo; en caso contrario, se hace otra iteracion.

Ejemplo 5.5, Resolver el problema del ejemplo 5.4 usando el metodo

numerico. Solucion

Se escribio un programa de computadora en Jenguaje BASIC para resolver el ejemplo, el cual sigue el diagrama de bloques de la figura 5.12. Este pro grama y los resultados se muestran enseguida.

5 PRINT" PRINT " T RAN SIT 0 DE AVE N I D A SEN VAS 0 S": PRINT 10 READ 11,E1,V1,01,DT,TO,C,L,EO,OT,A,B,TT

3. Calcular el volurnen inicial, el gasto de salida y

0; = (columna 5). !1t

- 0;, donde .20 I = 1

25 PRINT "I", "III)", "VII)", "E(I)", "011)" 26 PRINT" ", "M3/S", "M3", "M", "M3/S" 27 PRINT 1,II,V1,EO,01

30 PR# 0: INPUT "1(1+ 1 )?"; 12 35 K = 0

19 120 1075821.26 52.7003699 124.66893 20 110 1072340.45 52.5558328 114.960688 .1 Sf 21 22 10090 1068754.6 1065050.3 52.406859352.2528848 105.2897195.6647999

.1

23 80 1061210.98 52.0932113 86.0979487 24 70 1057215.71 51.926959 76.6059824 25 26 6050 1053037.56 1048640.75 5).7529937 51.5698104 67.2133592 57.9572273 ·f 27 40 1043976.15 51.3753421 48.8972615 28 30 1038973.14 51.1666179 40.1367618 29 20 1033523.9 50.9391029 31.8748675 _if 30 20 1029248.95 50.7604882 26.4931856 :1 31 20 1026911.4 50.6627737 24.041049

'I

32 20 1025456.63 50.6019437 22.7224935 33 20 1025456.63 50.6019437 22.7224935 34 20 1024476.53 50.5609546 21.9372083 35 20 1023637.78 50.5258722 21.3397262 36 20 1023047.93 50.5011979 20.9657806 140

100 Almacenamiento y transito en vasos y cauces

45 PR# 1

50 V2(2) = ((12 + 11) / 2 - (02 + 01) / 2) * DT + V1

60 E = (V2(1) / A) (1 t. B)

65 IF E < EO THEN 02 = OT: GOTO 80

70 02 = C * L * (E - EO) 1. 5 + OT 80 K = K + 1

90 IF K = 1 THEN 50

100 IF ABS ((V2(1) - V2(2)) /V2(2)) > TO THI;N V2(1) V2(2): GOTO 50 110 IF I + DT > TT THEN STOP 114 PR# 1 115 PRINT" "; 120 PRINT1+ 1,12,V2(1),E,02 130 V2(1) = V2(2) 135 V1 = V2(2) 140 I = I + 1 142 01 = 02 145 11 = 12 150 GOTO 30 160 DATA 0,50.4,1020600,20,360,0.001,2,15,50.4,20,10000,1. 18, 12600 170 END

Transito de avenidas en vasos .101

Datos: '1' E1, V1,

°

1, !:it, tolerancia

1(1) V(I) E(I) 0(1) _{,_} Vk + 1

(

'; + 1 +

';

0; + 1 + 0;

)

_M+ M3/S M3 M M3/S i + 1 _{2 2} 1 0 1020600 50.4 20 2 20 1017000 50.2480777 20 3 40 1020600 50.3987737 20 4 60 1031400 50.8503768 29.0674524 De la curva E - V, ca)cular E; + 1 5 80 1046135.72 51.4653914 52.9902055 con V; + 1 6 100 1059459.24 52.0203293 81.8765626 7 120 1069583.68 52.44131 107.495297 8 140 1077685.37 52.7777459 129.994108 9 160 1084887.5 53.0765018 151.362847 10 180 1091596.87 53.3545456 172.355206 _{0; + 1} CL (E; + 1 - Eo)3/2 + O. 11 200 1097949 53.6175445 193.144255 12 190 1097949 53.61-;75445 193.144255 13 180 1095282.58 53.5071745 184.312163 14 170 1091930.2 53.3683525 173.424407 15 160 1088897.42 53.2427087 163.787057 16 150 1085734.08 53.1115994 153.955194 17 1082510.21 52.9779215 144.1726 i'.i _iI: 18 130 1079208.07 52.8409352 134.407798 Imprime t, + l' V;+1,E;+1,O;+1 Figura 5.12

102 Almacenamiento y transito en vasos y cauces

5.5 TRANSITO DE AVENIDAS EN CAUCES

Trdnsito de avenidas en cauces 103 Conservaci6n de cantidad de movimiento:

av av ay

Normalmente, el sitio donde se miden los escurrimientos 0 donde se en

cuentra una presa para control de inundaciones se localiza varios kilometres aguas arriba del punto donde las avenidas pueden causar dafios, debido a las

condiciones topograficas y geologicas que deben existir para construir una presa donde

at

+v-

a

-

x

+g

(5.29)

ax

o las que debe reunir el sitio para instalar una estacion hidrometrica. Es necesario por ello con tar con metodos que permitan conocer la va riaci6n de un hidrograma al recorrer un tramo de cauce, para poder deter minar el efecto de presas reguladoras en tramos aguas abajo, para disefiar bordos de proteccion contra inundaciones, etc. La simulacion de la variacion de un hidrograma al recorrer un cauce se conoce como trdnsito de avenidas en cauces.

Este problema es similar al transite de avenidas en vasos en el senti do de que el rio mismo es tambien una especie de almacenamiento alar gada y de que la solucion se da por medio de la ecuacion de continuidad y alguna relacion entre almacenamiento y gasto de salida. Sin embargo, aquf aparecen algunas dificultades adicionales como (referencia 5.6):

a) Con frecuencia no se tienen pianos topograficos precisos del tramo y Ia relacion descargas-vohimenes no se conoce.

b) Casi siempre se tienen entradas a 10 largo del tramo, adicionales a las de la seccion aguas arriba, que no son conocidas.

c) El niveI de la superficie libre del agua no es horizontal, como sucede en el caso de vasos, 10 que implica que un mismo tirante en el extre mo final del tramo se puede formar para diferentes gastos de salida (vease figura 3.15).

Los metodos existentes para el transite de avenidas en cauces se pueden dividir en dos tipos: hidraulicos e hidrologicos.

Los rnetodos hidraulicos se basan en la solucion de las ecuaciones de con servacion de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no perm a nente; su deduccion esta fuera del enfoque de este texto, pero se pueden consultar, por ejemplo las referencias 5.5 y 5.7. En su forma diferencial, es tas ecuaciones son:

Conservacion de masa:

y = tirante. v == velocidad.

q = gasto lateral.

B

=

ancho de la superficie libre.

So == pendiente del fondo. . Sf

=

pendiente de fricci6n; si se calcula con la formula de Manmng:

RH = radio hidraulico.

n == coeficiente de rugosidad.

x = coordenada espacial.

=

tiempo.

Las ecuaciones 5.28 Y 5.29 forman un sistema de ecuaciones diferencia les parciales hiperbolicas no lineales, del que no existe u~a solucio~ .anaHtica conocida. Por ello, es necesario resolverlo usando algun metodo numenco como el de las caracterfsticas, diferencias finitas 0 elemento finite.

El tratamiento de estas soluciones esta fuera de los alcances de este texto; el lector interesado puede recurrir en primera instancia a la referencia 5.7 para un tratamiento mas completo. . .

Los metodos hidrologicos utilizan simplificaciones de las ecuaciones 5.28 y 5.29 para llegar a soluciones mas simples, pero menos aproximadas q~e las que se logran con los metodos hidraulicos. En este apartado se estudiara uno de estos metodos, llamado metoda de Muskingum.

5.5.1 Metodo de Muskingum

Este metoda fue presentado por primera vez en 1938 (referencia 5.8). Utiliza la ecuacion de continuidad 5.19 en su forma discreta:

av ay

ay

q Ilt - 0;

+

0; + 1 Ilt = IlV (5.30) y--

at

( 5 . 2 8 ) 2 2 B

+ +

104 Almacenamiento y trans ito en vasos y cauces

y una relacion algebraica entre el almacenamiento en el tramo V y las entradas I y salidas 0 de la forma:

V = K 0

+

K x (1 - 0) = K [xl

+

(l - x) 0] (5.31 ) donde K es una constante llamada parametro de almacenamiento y x es un factor de peso que expresa la influencia relativa de las entradas y las salidas del almacenamiento en el tramo.

La ecuaci6n 5.31 esta planteada pensando en que el almacenamiento en

Transito de avenidas en cauces 105

Vc = f(I - 0) Kx (I - 0) (5.34) De la ecuacion 5.31:

Sustituyendo la ecuacion 5.35 en la 5.30se tiene:

0; + 1 + 0; un tramo de rio se puede dividir en dos partes (vease figura 5.13). El primero

es un almacenamiento en prisma, KO, que depende solamente de las salidas y serfa el unico si el nivel de la superficie libre del agua fuera paralelo al fon do del rfo. Este almacenamiento se puede comparar con el que se tiene en el caso de un vaso, que, si se combina la ecuacion 5.23 con la figura 5.3,

---~At - 2

Despejando 0; + I:

---- At = K [xCIi + 1 - IJ + (I - x) (O, + 1 - 0i)] 2

se expresa como: O, + 1 = ---Kx + sin

K(l - .r) Atl2 Atl2 - Kx I; + --::::---:---:---::: I; + 1 K(l - .r) Atl2 K(l - .r) - Atl2 + _{K(l -} x) + f::..t12 0; Vp =

f

(0) (5.32) dondefindica alguna funci6n. En el caso de cauces, se supone que la funcion

f(O) es de la forma:

o bien:

donde

0; + I (5.36)

f(O) = KO (5.33) El otro tipo de almacenamiento, que en general no existe en el caso . de vasos, llamado almacenamiento en cuiia, se debe al efecto de la pendien te de la superficie libre del agua en el gasto. Esta pendiente depende tanto

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