Gestes mémoriels Sont accomplis afin
VI.1.1 SB-21022006SB : F ACTEUR COMMUN
La transcripción corresponde a los últimos 18 minutos de la clase. Antes se revisó una práctica en la pizarra sobre simplificación de polinomios a partir de la aplicación de fórmulas notables.
NOTA: En la transcripción, entre paréntesis se indican: en negrita el tiempo transcurrido, en cursiva comentarios del observador, las pausas señaladas en segundos. Los tres puntos se interpretan como una disminución en la pronunciación al final de la frase, dejando notar un espacio en que se « espera » una respuesta. « P » indica el profesor y E el estudiante genérico; E=x, donde x∈{A,B, …, Z} para referirse a un estudiante en particular y E=n, n x∈IN para un estudiante particular de quien desconocemos el nombre.. El símbolo « Es » corresponde a más de un estudiante, sin asociarse con la mayoría, « / » interrupciones en seco y « * » cada palabra inaudible. En recuadros se transcribe lo expuesto en la pizarra.
1 PROF=SB (00’15) Lo que vamos a empezar a trabajar ahora es el tema de la factorización. Recuerdan que ustedes trabajaron factorización ? (P escribe « Factorización » en la pizarra). Qué significará factorizar.
ReO ReO-ReS 2 E=(A) Hacer pequeño.
3 PROF=SB Hacer pequeño ? DsR
4 E=A Uno más pequeño.
5 PROF=SB Yo puedo decir, digamos, que factorizar es lo mismo que simplificar (5s) es lo mismo? Porque nos dicen: factorizar, simplificar, reducir, serán las mismas instrucciones ?
DsR 6 E=A No, no tiene chiste si hay que hacer la operación igual.
7 PROF=SB Aja. Buscar como la base de, digamos de la potencia. La base que yo voy a ir a multiplicar por decirlo así. Bueno, eso sería, tal vez. Nosotros hablamos que en una potencia, la base iba a ser un factor, o sea una expresión que se iba a multiplicar por sí misma. Multiplicar, verdad ? Cuáles eran los términos de la multiplicación, por cierto (5s). Eso se lo enseñó la niña hace ratillo. Cuáles eran los términos de la multiplicación ?
ReV 8 Es (susurros de estudiantes)
9 PROF=SB No ! Multiplicando, multiplicador. No, no, no. Nada que ver! 10 E=(J)ose Factor (Risas).
11 PROF=SB Aja, cómo se llaman. 12 E=J Factores.
Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
factorizar, en realidad lo que yo voy hacer es, escribir una expresión en forma de factores. O sea en forma de … multiplicación. O sea en forma de producto. Cierto o no ? Si… Entonces hay varios métodos de factorización
de los cuales usted ya conoce algunos, como por ejemplo ? ReV 14 E=(Y)anina Factor común.
15 PROF=SB Factor común. 16 Y Agrupación.
17 PROF=SB Agrupación (5s). Nada más ? Eso lo hicimos el año pasado. Factor común y agrupación, nada más. Si? O se acuerdan de algo más ? … No. Nada de fórmula notable, nada de diferencia de cuadrados, nada de eso ? (5s) Y si lo vi no me acuerdo, porque ya los veo con esas caras de …
18 Y Por división sintética.
19 PROF=SB Por división sintética. Mjú (5s) Algo que se llama como inspección ?
20 A Yo sé que había uno con fórmulas notables, pero no me acuerdo muy bien cómo era.
21 PROF=SB Ajá. Una factorización por fórmula notable, de las que ya conocíamos verdad, la uno, dos y tres. Muy bien, muy bien. Bueno por ahí estamos. Entonces lo que vamos hacer es, bueno vamos a repasar lo que ya conocemos todos, que me pareció común para todos: factor común y agrupación. Todo el mundo hizo eso, mjú. Luego vamos a empezar ya con la inspección, luego hacemos por la división sintética, o sea el teorema del factor, hacemos por fórmula general, por fórmula notable y ahí vamos. Si? Entonces empecemos. Vamos a escribir ahí, métodos de factorización (P escribe en la pizarra como subtítulo, 03’52). Yo inicio con el método de factor común (10s). Entonces el factor va a ser, un término de la multiplicación, verdad, que vamos a poder representar. Entonces yo voy a tener una suma digamos así (P escribe en la pizarra 2x²-4x3+8x. 15s). Suma.
Recuerden que la resta es sumar opuestos, verdad ? O sea que aunque aparezca una resta ahí, en realidad lo que está pasando es una suma (4’40). Si ? Entonces yo quiero una suma, en forma de multiplicación para poder decir la voy a factorizar. O sea la voy a representar en forma de factores.
ReO
Tc
22 A Busca lo que tiene en común con x.
23 PROF=SB Ok. Busca lo que tiene en común. Ujú. Quién será ? 24 Es (Varias respuesta al mismo tiempo: x y 2, 2x).
25 PROF=SB Muy bien entonces, evidentemente todos ven que todos tienen x, verdad ? (05’08) Ahí no hay que usar la *, de diferente grado, pero todas tienen x. Ujú, entonces ya x se repite. Y entre el 2, el –4 y el 8, también hay algo que se repite…
26 E El dos
27 PROF=SB Todos tienen mitad. Si o no? Entonces eso es algo como lo que están diciendo verdad… algo común que hay en toda la expresión, que sería efectivamente…
28 E=M 2x
29 PROF=SB 2x. Ese sería nuestro factor común. Entonces usted dice, bueno yo voy a decir que 2x es lo que se repite, verdad? (P escribe en la pizarra « 2x » y seguido abre un paréntesis). 2x lo voy a multiplicar por una expresión de tal forma que a la hora de resolverlo, me dé justamente este trinomio. Si ?
30 E=A Divide cada uno de los factores… 31 E=M x menos …
32 PROF=SB Cuál sería el procedimiento que tengo que hacer ahí? ReV 33 E=A Divide cada uno de los factores…
34 PROF=SB Cada uno de los factores ? … más bien cada uno de los términos de la suma, entre el… 35 E 2x
36 PROF=SB Ok. Ese procedimiento es el que yo utilizo para decir, bueno a 2x lo tengo que multiplicar por cuánto para que me dé 2x².
37 Es x
38 PROF=SB Porque cuando yo quite el paréntesis y haga el producto, me tiene que dar esto mismo. Cierto o no ? Yo no estoy cambiando nada, yo nada más quiero expresar esta sumita o esta restita en forma de multiplicación, pero si ya no la quiero tener en multiplicación me tiene que dar lo mismo. Tiene que ser la misma historia. Ok entonces, Ese procedimiento de decir bueno, 2x multiplicado por cuánto, me va a dar 2x², es lo que nos contaba el compañero, es lo mismo que hacer qué… Divido, 2x² entre … el factor común que es 2x. Cuánto les da eso ? 39 Es x
40 PROF=SB Muy bien. Menos 4x3 entre 2x… 41 Es 2x²
42 PROF=SB Muy bien. Más … 43 Es 4
44 PROF=SB Si ? Entonces toda esa suma resta, la convertimos en un producto. Un producto, cuáles son los factores de ese producto… 2x, y? x-2x² más?,
45 Es 4
46 PROF=SB 4. Ya hay un factor que es un monomio, que es 2x.Y hay otro factor que es el … trinomio. Si ? Factor común. Ok.
(07’36) Hay un tipo de factor común que también conocieron muy bien, y era algo como esto (P escribe en la pizarra: 3(x-1)+4x(x-1), 12s). Esa expresión así como está es una suma, no ? Suma? Entonces también alguien se pueda confundir y decir, pero ya hay factores ahí, ya lo tengo en forma de factores, o sea ya está factorizado. Será cierto eso ?
47 Es No
48 PROF=SB Si hay factorcitos, pero toda la expresión qué es ? 49 Es Una suma
50 PROF=SB Todavía está en forma de suma. No tenemos tal expresión por tal expresión para que me dé, justamente esa suma. Entonces eso es como más facilito porque yo ya veo, ya evidencio cuál es el factor común. Qué es lo que
FACTORIZACIÓN Métodos de factorización 1. Factor común Ejemplos: 1) 2x²-4x3+8x 2x(x-2x²+4)
Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
se repite ahí… 51 E=A El paréntesis 52 Es x-1
53 PROF=SB El paréntesis verdad, que sería ? 54 PROF=SB
y Es
s menos 1
55 PROF=SB en este caso. Entonces ese sería nuestro… factor común, x menos 1. Muy bien. Por … 56 E=M 3 más x (2s) 3 más 4 x
57 PROF=SB Entonces ya yo tendría que empezar a hacer la división que hice, igual en el ejemplo anterior. 3 por x menos 1, dividido por x menos uno ?
58 E=M 3
59 PROF=SB Cancelo y qué me va a quedar ? 60 Es 3
61 PROF=SB 3. Más, 4 x por x menos uno, dividido por x menos 1 ? Estos dos se cancelan y qué me va a dar? … 4x. Habrá algo más en común ahí, para poder determinar otro factor ? (5s) Si o no ? No verdad? Entonces ya yo esa expresión, esa suma la pude representar en forma de factores. Cuáles son esos factores? Ok, x menos 1 que es un factor y el otro ?
62 E=A 3 más 4 x
63 PROF=SB 3 más 4 x. Muy bien, 3 más 4 x. Dos factores, x menos 1 y 3 más 4 x (09’48).
Ok, en algunos otros casos, lo que va suceder es, que aparece (P escribe
en la pizarra, 2x(x-1)+3(1-x)), digamos, 2 x por x menos 1 más, 3 por 1
menos x (5s). Si ? (8s). Entonces usted me dice, si se parecen pero como que algo les falta para que sean iguales, tienen que ser iguales para que sea común, para que se repita como dirían, como me dijeron en el anterior. Qué hago ? Yo tengo aquí menos 1, aquí tengo 1 menos x, yo necesito que sean iguales para poder decir, eso es el factor común, o sea eso es lo que se repite. Qué tengo que hacer ?
(Tc) (ReV) 64 E=A Le saco un menos.
65 PROF=SB Saco un menos … 66 E=A Y se …
67 PROF=SB Qué significa saco un menos ? ReS
68 E=A Cambia el más por el menos.
69 PROF=SB Cambiar el más por el menos … (5s) Si yo digo saco un menos, me imagino que le faltó, saco un menos a factor, verdad ? Si yo saco un menos a factor, en realidad lo que estaría sacando sería como un menos 1, verdad ? Digamos. Me imagino que me están, que me están hablando de esto, entonces yo digo, menos uno, verdad ya lo puse como factor común, y ahora empiezo a hacer la división me queda, 1dividido entre menos 1 me queda ? Menos 1. Menos x dividido entre menos 1 me va a dar ? Más x. Cierto o no ? ... Eso es lo que hacemos cuando usted me dice saco el menos, lo que yo estoy haciendo es sacando un menos 1 a factor, como para acomodarme. Ahora si, hablar de menos 1 más x, será lo mismo que hablar de x menos 1?
70 Es Si
71 PROF=SB Y entonces que hago con ese menos 1 que tengo ahí como factor? Ese menos 1 estaría multiplicando al 3. Si o no ? Ujú, entonces 3 por menos 1 cuanto va dar ?
72 Es Menos 3
73 PROF=SB Menos 3. Por eso es que ahora esta expresión se va a convertir en esto (P
escribe en la pizarra 2x(x-1) – 3(x-1)), 2 x por x menos 1, menos, 3 por x
menos 1. Si ? Claro yo ya sabía que quedaban 3 aquí y de una vez pasan a esto, o sea se brincan esta partecita (P dibuja una flecha debajo del «+»), porque ya lo estudiaron.
Ya saben porqué es que decimos, saco un menos y le doy vuelta y lo cambio, es por esa razón. Saco un menos a factor igual, haciendo la misma factorización que hicimos aquí. Saco un factor y luego comienzo a hacer las divisiones y
luego los signos se me van a ir cambiando. Ahora si muy bien, quién es el factor común. Todavía no he hecho nada, quién es el factor común ?
74 E=A x menos 1
75 PROF=SB x menos 1... por? Qué nos va a quedar ahora ? 76 E=M 2 x menos 3
77 PROF=SB Si ? (12’53) Bueno, entonces ahora (5s), digamos que hay este tipo de expresión (P escribe en la pizarra: 2x(x-1)²+3(x-1)3+(x-1), 13’20).
Ok, aquí con este ejemplo cuatro, recordamos que lo que yo ando haciendo es una factorización, si ? Si esa operación hubiese estado en la práctica que nosotros estábamos resolviendo, qué hacíamos ? … Que la instrucción no era factorizar, era simplifique al máximo los resultados de las siguientes operaciones, entonces qué hacían ustedes ? Resolvía esta fórmula (P señala (x-
1)²), resolvía esta fórmula (P señala (x-1)3), multiplicaba y después sumaba. Si o
no ? Y ahora no me tengo que poner a hacer eso, porque yo lo que voy a hacer es… factorizar. Reviso el, quién es el factor común, pero me encuentro que hay: x menos 1 al cuadrado, x menos 1 a la 3 y x menos 1. Con cuál
me quedo ? (susurros de los estudiantes) Con quién ? ReV 78 Es (susurros de estudiantes: x menos 1)
79 PROF=SB x menos 1 a la 2 ?
80 E=M A la uno (otros estudiantes también dan una respuesta).
FACTORIZACIÓN Métodos de factorización 1. Factor común Ejemplos: 1) 2x²-4x3+8x 2x(x-2x²+4) 2) 3(x-1)+4x(x-1) (x-1)(3+4x) 3) 2x(x-1) + 3(1-x) -1(-1+x) -1(x-1) 2x(x-1) – 3(x-1) 3) 2x(x-1) + 3(1-x) -1(-1+x) -1(x-1) 2x(x-1) – 3(x-1) (x-1)(2x-3) 4) 2x(x-1)²+3(x-1)3+(x-1)
Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
81 PROF=SB A la 3 ?
82 E=A El que esté elevado, el que tenga menor grado.
83 PROF=SB El que tenga menor grado. Por qué el que tenga menor grado ? DsD 84 Es (inaudible)
85 PROF=SB Para que esté contenido en los otros, exacto claro. x menos 2 a la 2, contiene al x menos 1, si o no ? x menos 1 a la 3, contiene al x menos 1. Si o no ? Es el común, si a mí se me ocurre poner, x menos 1 a la 3… ese x menos 1 a la 3, ese x menos 1 a la 3 estaría contenido en el x menos 1 ? … no todavía me falta, verdad ? Más bien me falta verdad, más bien me falta. Ok entonces quién es el factor común ?
86 E=A x menos 1
87 PROF=SB x menos 1. A la 1 en este caso porque es el menor, por, qué me queda en esa primera parte de la suma ? 88 Es 2 x
89 PROF=SB 2 x nada más? 90 Es x menos 1
91 PROF=SB Por x menos 1. Muy bien. Más,
92 Es 3 por x (P comienza a hablar al mismo tiempo que algunos Es) 93 PROF=SB 3 por, x menos 1 a la 2. Muy bien. Más ?
94 Es 1
95 PROF=SB 1, muy bien. Cuando divido iguales, x menos 1, entre x menos 1 me va a dar, la unidad. Si ? Y entonces ahora yo necesito saber, yo tengo un factor que se llama x menos 1, cómo se llama el otro factor ? (5s) Tengo que decir todo esto ? (P señala: [2x(x-1)+3(x-1)²+1]). Entonces ahí tengo que simplificar esta expresión, si ? Ahora cómo hace usted para, simplificar esto ?
96 E=A Otro factor común
97 PROF=SB Habrá otro factor común ahí? DsR
98 E=A Si. 99 PROF=SB Cuál? 100 E=A x menos 1
101 PROF=SB x menos 1? DsR
102 E=A Ah no, no. No da.
103 PROF=SB Es que x menos 1 es común para este (P señala 2x(x-1)) y este (P señala 3(x-1)²) nada más; pero me quedaría el unito ahí como más 1. No verdad? Ahora para poder simplificar eso tengo que trabajar ya los productos que aparezcan en esa, en esa expresión. Entonces por ejemplo digamos, aca qué tengo que hacer ?
104 E Multiplicar
105 PROF=SB Ok. Cuánto me va a dar ese resultado? (16’24) 106 E=A 2 x a la dos
107 PROF=SB Menos... 108 E=A 2 x
109 PROF=SB Muy bien. Más, y ahí qué hago? 110 E=A Primero la fórmula notable
111 PROF=SB Ok. Primero la fórmula notable y luego ? 112 E=A Lo multiplica.
113 PROF=SB Qué fórmula puedo aplicar aquí (16’41). 114 E=A La segunda.
115 PROF=SB (P desarrolla la expresión (x-1)²), por el 3 (en otra línea P copia el primer factor y todo el segundo, pero esta
vez haciendo la multiplicación) y simplificamos todo (5s, P copia el primer factor en otra línea). 2 x a la 2 más
3 x a la 2 ?
116 E=A 5 x a la 2 (P escribe el resultado en la pizarra) 117 PROF=SB (17’10) Menos 2 x menos 6 x ?
118 E=A Menos 8 x
119 PROF=SB Menos 8 x. Y aquí sería 3 más 1 que daría… 4 (5s).
Vean que el resultado de lo que hicimos ahí en ese paréntesis cuadrado, es el trabajo que usted acaba de resolver verdad, con la práctica anterior. Resolver fórmulas, multiplicar, sumar, cambiar signos. Si ? … Alguna pregunta con respecto a esto ? A ese método (5s). Entonces se trata de buscar una expresión que sea común para toda la expresión, verdad. Una expresión que sea común para toda. Y este sería efectivamente nuestro factor…
120 Es Común
121 PROF=SB Común (P observa el reloj). Es que ya se nos agotó el tiempo. Bueno chicos, entonces nos vemos mañana. Mañana continuamos. Para que hagan un poquito de práctica de factor común (18’18).