actividad 1: El juego de la pulga y las monedas
Júntense en grupos de 4 compañeros y dentro de cada grupo formen dos equi- pos, cada uno con 2 de ustedes.
Para jugar, cada grupo va a necesitar un tablero, un dado, 20 monedas o fichas y una piedrita (la pulga).
La pulga va a saltar sobre la tira y puede hacerlo con saltos iguales de 2 en 2, de 3 en 3 o de 5 en 5.
Uno de los equipos comienza tirando un dado y colocando la pulga en el casillero correspondiente al número que haya sa- lido.
El otro equipo toma una moneda, elige un casillero mayor que 30 y la coloca allí.
Luego, el primer equipo elige con qué salto va a recorrer el tablero la pulga (de 2 en 2, de 3 en 3 o de 5 en 5) y hace avanzar la pulga con los saltos del tamaño que haya escogido, tratando de caer en el casillero que tiene la moneda. Si la pulga logra llegar a la moneda, ese equipo se la queda; si no, tiene que entregársela el equipo contrario.
En la segunda vuelta del juego, se alternan los roles: el equipo que había saltado con la pulga ahora pone la moneda y el que había puesto la moneda ahora tira el dado, coloca la pulga y elige con qué salto va a recorrer el tablero. El equipo ganador será el que logre quedarse con más monedas.
tarea
Escribí tres números que sean buenos para poner la moneda si en el dado salió un 1 y explicá por qué los elegiste.
os na
tur
ales
• En el dado salió un 1, la moneda se puso en el 48 y el primer equipo eligió que los saltos
fueran de 3 en 3.
• En el dado salió un 1, la moneda se puso en el 48 y el primer equipo eligió que los saltos
fueran de 5 en 5.
b) Fijate dónde ponen la moneda estos chicos y respondé en cada caso: ¿te parece que es un
buen lugar para la moneda? ¿Por qué?
• Silvia puso la moneda en el 35.
• En el dado salió un 3 y Matías puso la moneda en el 36.
• En el dado salió un 3 y Lucía puso la moneda en el 34.
• En el dado salió un 5 y Malena puso la moneda en el 37.
c) De los números mayores que 30, hacé una lista con aquellos que:
• sean los mejores para poner la moneda si la pulga comienza en el 4.
• sean los peores para poner la moneda si la pulga comienza en el 4.
Tarea
Bruno dice que encontró una manera de ganar siempre cuando le toca poner la moneda: él suma 31 con el número que haya salido en el dado y coloca allí la moneda. ¿Es verdad que de esa manera se gana siempre?
Actividad 3: Reflexiones y nuevos cálculos sobre La pulga
a) Si la tira se extiende, y la pulga puede elegir saltar de a 2, de a 3 o de a 5:
• ¿podría caer en el 105 si saliera desde el 3?
• ¿y si saliera desde el 6?
• ¿y saliendo desde el 4?
b) Si la pulga avanza de 5 en 5, ¿desde qué casillero puede haber salido para llegar al 76? ¿Cuán-
tos saltos tuvo que haber dado?
c) Si se sabe que la pulga cayó en el 122, ¿se puede saber desde qué casillero salió y de a cuánto
saltaba? ¿Y la cantidad de saltos?
d) A partir de los siguientes cálculos, determiná, si es posible, a qué casillero llegó la pulga, cuán-
tos saltos dio, de qué distancia fueron los saltos y el casillero desde el cual comenzó a saltar.
• 1 + 7 x 2
• 5 + 2 x 3
• 7 + 2 x 5
• 5 + 7 x 6
e) Explicá en un cálculo o con una fórmula qué cuentas hay que hacer para saber en qué ca-
A
Propósito y comentarios sobre las actividades
El conjunto de actividades que se presentan tiene como uno de sus propósitos el trabajo sobre múltiplos y divisores en un contexto lúdico. En el marco del juego, para poder elaborar estrategias ganadoras, es necesario realizar anticipaciones sobre por cuáles casilleros va a pasar la pulga, depen-
diendo de las condiciones iniciales. De esta manera en la actividad 1, se hace necesario caracterizar
de manera general un conjunto de valores que cumplen con cierta regularidad. Estas caracterizacio- nes pueden expresarse de distintas maneras (con lenguaje verbal, con cálculos, describiendo regulari- dades, nombrando los números, etc.) y tener distinto grado de generalidad (puede que se generalicen todos los casos, solamente cuando la pulga salta de 2 en 2, etc.) lo que se traduce en distintos grados de eficacia para ganar el juego. Esta diversidad es la que se intenta que quede desplegada luego del trabajo con las distintas actividades.
En la actividad 2, se proponen problemas para resolver sin la utilización del tablero, esperando
que los alumnos puedan decidir quién gana en cada caso estableciendo relaciones matemáticas y/o realizando cálculos. Por ejemplo, en el primero de los ítems, se podría decidir que la moneda se la queda el equipo que tiene la pulga porque como comienza con el 2 y va de 5 en 5, la pulga siempre pisa en casilleros que terminan en 2 o en 7 (2; 7; 12; 17; 22; etc.) y 37 es uno de ellos. Si se caracterizan todos los casilleros en donde pisa la pulga como todos los números a los que le sobra 2 de un múltiplo de 5, se podría decidir quién se lleva la moneda calculando el resto de dividir a 37 por 5. Como ese resto es 2, la pulga va a pisar en ese casillero y se va a llevar la moneda. También se podría decir que 37 = 2 + 7 x 5 y que, de esta manera, se puede saber que la pulga caerá en el casillero 37 luego de dar 7 saltos. Estas son tres maneras distintas de caracterizar todos los casilleros donde pisa la pulga.
En los tres últimos casos de este ítem a) la pulga sale siempre desde el mismo casillero, variando solamente los saltos. A pesar de estas variaciones, gana siempre el equipo que puso la moneda. ¿Por qué sucede esto? 48 está a 47 unidades de 1, ya que 48 = 47 + 1. Como 47 es un número primo, no hay manera de recorrer 47 casilleros dando saltos iguales que no sean de a 1 en 1 o un sólo salto de 47 casilleros. Por lo tanto, no hay manera de que la pulga logre llegar al casillero 48 partiendo desde el 1.
En la Tarea se intenta recuperar y profundizar lo trabajado en los ítems anteriores. Como 31 es un número primo, al sumarle el número que salió en el dado se obtiene un número que está a 31 casilleros de distancia del que sale la pulga. Por lo tanto, no hay manera de llegar de a saltos de 2 en 2, de 3 en 3 o de 5 en 5 (más en general, no hay manera de llegar de a saltos iguales que no sean de 1 casillero o con un sólo salto de 31 casilleros).
En la actividad 3, se extiende el rango numérico con el objetivo de coartar de alguna manera
la posibilidad de utilizar el tablero y de pensar uno por uno en los casilleros donde pisa la pulga. A su vez, en los ítems b) y c) se proponen situaciones “inversas” a las anteriores. Se da información sobre dónde pisó la pulga y se pregunta sobre las condiciones iniciales: de qué casillero pudo ha- ber salido y de a cuántos casilleros pudo haber saltado. Además, se agrega un elemento nuevo: se pregunta por la cantidad de saltos que dio la pulga para llegar a un casillero.