Semántica para Procesos Finitos

Una vez definidos los operadores semánticos, tenemos inmediatamente definida la semán- tica denotacional para los procesos finitos. La misma la definiremos para todos los términos

finitos en FRec(Eseq), de modo que los procesos finitos constituirán un caso particular. Pa-

ra poder definir la semántica de procesos con variables debemos considerar una asignación de valores a las variables, es decir una función

p : Var í—* B~0~

Utilizando las mismas llegamos a lasiguiente

Definición 4.3.1 Si E

e

FRec(Eseq) y ji es una asignación de variables definimos

B~05 =

f

p(z) siE = z EVar

1.

BconEop]I(BconlEi]Ip,.. .,Bc0~EP»1¡p) siP = op(Eí,. .. ,E2) y op Sseq O

Si una determinada variable de proceso z no aparece en E, la semántica del proceso no

dependerá del valor de x en la asignación de variables ji. En consecuencia, para procesos finitos (términos finitos cerrados), podemos hablar tranquilamente de su semántica sin

preocuparnos de ninguna asignación de variables.

Definición 4.3.2 Si E

e

FCRec(Sseq) es un proceso finito definimos

BCOn[E~ = BCOn[E~P

dondeji es una asignación cualquiera de variables.

O

Como consecuencia de las propiedades de las funciones semánticas correspondiente a cada operador, podemos probar que, para procesos finitos, la semántica denotacional dada es completamente abstracta con respecto a la semántica de pruebas:

Teorema 4.3.3 Para todo proceso finito E

e

FCRec(S5eq), se tiene Barb(E) ¡3~0~EE]J. Demostración. La demostración es inmediata por inducción estructural, gracias a las

propiedades demostradas para cada uno los operadores: • ParaSTO? y DIV, utilizamos la proposición 4.2.1.

J

74 4.4. Procesos Recursivos

• Para eloperador de prefijo con acción oculta, la proposición 4.2.2.

• Para el operador de prefijo con acción visible, la proposición4.2.4.

u’

• Para la elección interna, la proposición 4.2.8.

• Para la elección externa, el teorema 4.2.19.

O

u

4.4

Procesos Recursivos

ej

En esta sección daremos un valor semántico a los procesos recursivos. Para ello utiliza-

u’

remos las técnicas clásicas de punto fijo. Desgraciadamente no hemos podido demostrar

que el preorden

«

es completo. Sin embargo hemos podido dar con un orden alternativo

ej

que silo es, conservando una fuerte relación conel orden

«,

lo que nos permitirá llevar adelante nuestro trabajo de forma coherente. Para definir dicho este preorden necesitamos

primero generalizar la relación-< entre estados definida en la definición 2.4.4.

Definición 4.4.1 Siendo b y b’ dos barbas, diremos que b está menos definida que b’, y

ej

lo escribiremos b-<

19,

si y sólo si se verifica una de las siguientes condiciones:

• b=A,19zzA’ yA’-<A.

ej

• b = Aait . b1 , 19 = A’, nd(A’) =

it

y TAct(A’) = Al nd(A’).

• b = Aait . b1 , b’ = Aait.

£4

y

¿4

—< bí.

O

u’

Fijándonos en la definición anterior podemos observar que si tomamos una barba

b

de

modo que nd(b) = oc, para que se cumpla b -< 19, se ha de cumplir necesariamente que

ej

b = b’. Sin embargo, sind(b)

.c

oc, más allá del instante de indefinición podemos tener

cualquier información, que defina la barba un poco más. A continuación extendemos la

u’

relación -~ sobre conjuntos de barbas.

Definición 4.4.2 Diremos que E~ está menos definido que82, y lo escribiremos E1 -<£2,

si y sólo si se verifican

• Para cada b2

e E2

existe bí

e

Bí de modo que bí -< b2.

‘ej

• Para cada bs.A1

e

Bí, existe bs.A2 eE2 de modo que A1 -<A2.

¡ O La idea que hay debajo de la definición anterior es la siguiente: cuandoSí -« B2 tenemos

que

• Si b1 E B~, está completamente definida, nd(bi) = oc, tendremos que bí también

habrá de pertenecer a E2. En cambio si todavía no está completamente definida, bastará con que exista en

82

otra barba b2 que esté algo tanto o más definida que • Cada barba b2

e

£2 proviene de definir algo más alguna barba de Eí.

Es fácil comprobar que la relación -< verifica las propiedades reflexiva y transitiva. En

cambio no verifica la propiedad antisimétrica, por lo que la relación -< no es una relación

de orden entre conjuntos consistentes de barbas, sino sólo un preorden. Esto implica que si

trabajamos directamente con esta relación, no podemos esperar en general la unicidad de

las mínimas cotas superiores. No obstante, toda la teoría de cpo’s puede generalizarse sin problemas al caso de preordenes. En particular podemos probar que (Bcon,-<) es cómpleto Para ello consideramos una cadena no decreciente ¡3 de conjuntos consistentes de barbas:

E1 —< B2 .< 133

Hemos de ver que tiene una mínima cota superior, es decir, que existe un conjunto con-

sistente de barbas Iub(B) tal que

• Para cada i EIN se verifica E~ -.< lub(B).

• Si E’ es un conjunto consistente de barbas tal que

Ej

-<E’para cadai

e

IN, eiktonces

lub(B)

-< E’,

Definimos a continuación el conjunto lub(13) quemás tarde comprobaremos que reúne las propiedades deseadas.

Definición 4.4.3 Sea ¡3 = {B~

¡

i E IN} una cadena no decreciente de conjuntos de

barbas. Tendremos que bs . A E lub(B) si y sólo si se cumple una de las siguientes

condiciones:

• Si

nd(A) <oc y para todo k

E

IN existe! > k de modo que frs~ AEE¿.

• Si nd(A)a oc, y para todo it 6 7 existe1E IN y un estado A1 verificando

bsA1ERg y A,1it=Alit

u

u’

76 4.4. Procesos Recursivos

u’

O

Observemos en el segundo punto de la definición anterior, que el estado A, que aparece

u’

hade verificar nd(A¡) > it.

La siguiente proposición es una caracterización del conjunto que acabamos de definir

u’

que resulta más cómoda algunas ocasiones.

Proposición 4.4.4 Sea ¡3 = {E~

¡

i

e

IN} una cadena no decreciente de conjuntos de

barbas. Tendremos que b E lub(B) si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

• Si nd(b) <oc y para todo k

e

INexiste 1=k quebs

E E,.

ej

• Si nd(b) = oc, y para todo it

e

T existe 1

e

IN y una barba b, verificando

b¡eE¿ y b¡iit=blt

u’

Demostraczon. El resultado es consecuencia inmediata del siguiente hecho:

ej

tanto nd(bs. A) < oc nd(bs. A) = t(bs) + nd(A)

y por ~ nd(A) <oc.

O

s

Demostramos a continuaciónque lub(13) es en efecto lamenor cota superiorde lacadena

no decreciente 13. Precisamos para ello una serie de lemasauxiliares,

u’

Lema 4.4.5 Dada una secuencia de estados de modo que

u’

entonces tomando A = lub{Aj

¡

i

e

IN} (definición 2.4.5) se verifican:

u’

• Si nd(A) = oc y

ite

Y, existe

1

eIN tal que A,i t=Ai it.

• Si nd(A) <oc, existe

le

IN tal que A A,, para todo k >1.

<u’

Demostraczon. Observemos en primer lugar que nd(A) = sup{nd (A1)

¡

i E

IN}, y por

tanto para cada

it

=nd(A), habrá de existir ¿

e

IN con nd(A,) =it. Puesto que A, -< A,,,

u’

para k > ¿tendremos entonces que A, it= A~ it, y por tanto Al it = A, it.

En el caso de que nd(A) = oc, de lo dicho anteriormente se sigue inmediatamente el

u’

resultado buscado correspondiente. Supongamos entonces que it = nd(A)

.c

oc. En tal

caso ha de existir 1

e

IN tal que nd(A,) = it, y puesto que A, -~ A,, y nd(A,,) < it para

k >1 llegamos aA>, = A,.

ej

O

ej

ej

j

Lema 4.4.6 bs E

Btraz(lub(B))

si y sólo si existe ¿

e

IN tal que frs

E

Btraz(E¿).

Demostración.

rn

Seabs

E

Btraz(lub(B)); entonces por definición existe, una barba b tal que bs.bE 13.

Supongamos que b= bs’. A’; distinguimos entonces dos casos:

• nd(A’) < oc, en cuyocaso existe 1

e

IN tal que &s~ (bs’ .A’) E E1.

bs

e

Btraz(E¿).

Con lo cual

• nd(A’) = oc, en este caso existe 1 E IN y un estado A0 tales que

bs.(bs’.Ao)eE¡ y A010=A’1O

con locual bs

E

Btraz(E¿).

Supongamos ahora que existe 1 E IN tal que bs

e

Btraz(E,). Puesto que E, es consistente, existirá un estadoA, tal quebs.A,

e

E,, y como quiera queE,, -< ~

podemos encontrar una cadena

verificando bs~

A,, e E,,.

Tomamos entonces el estado A = lub{A,,

1

k =l} y por el

lema 4.4.5 tenemos que bs . A

e

lub(B), con loque llegamos abs

e

Rtraz(lub(B)). O

Veamos ahora que Iub(B) cumple las condiciones necesarias para ser la mínima cota supe-

rior. La primera de ellas es que lub(13), en efecto, es un conjunto consistente de barbas: Proposición 4.4.7 Siendo 13 = {E~

¡

i

e

IN} una cadena no decreciente de conjuntos

consistente de barbas

tenemos que el conjunto lub(B) siempre es es un conjunto consistente de barbas

Demostración. Hemos de comprobar que lub(B) verifica las condiciones de l~ defini- ción 4.1.1. Para simplificar la notación tomemos E = lub(13).

Mi

78 4.4. Procesos Recursivos

• E

#

0. Puesto que Ei es consistente existirá alguna barba bs.A~

e

E1. Entonces,

como E>, -<E,,~í, podemos encontrar una secuencia de estados

de modo que bs. A~

e

B~. Entonces si tomamos elestado A = Iub{A~

ji

e

IN}, por

LI

el lema 4.4.5 se tiene que bs . A

e E.

• Cerrado tajo prefijos. Consideremos una b-traza

frs = A1ajtí .. .A,,ja,,1it,,~íA,,a,,it,,

e

Btraz(E)

ej

Por el lema4.4.6 existe 1

e

IN de manera que frs

e

Btraz(E¿). Tenemos entonces que

bs

e

Btraz(E,,) parak > 1. Entonces para cadak > 1 existirá un estado ~ de modo

u’

que

— A1aíití . . .A,,1a,,1it,,1 .A” E E,,,

ej

- A,, = A~

1

ita.

ej

Combinando dichos estados podemos construir un estado Averificando

— Ajaíití

. . .

A,,~1a,,~1it,,~1 .A

e

lub(B),

ej

- A,, = Al it,,.

• Cerrado bajo continuaciones. Supongamos ahora que bs . A e E, y que oit

E A.

ej

Según la forma de A dos posibilidades:

— Sind(A) <oc,entoncesparacadak

e

lNexistirál > kdemodoquebs~AEE¿.

LI

Puesto que cada E¿ es consistente se tiene

frs . (Al it)ait

E

Rtraz(E¿)

u’

y por aplicación del lema 4.4.6 tenemos que frs (Al it)ait

e

Btraz(Iub(B)).

ej

— Si nd(A) = oc y tomamos it’> it, tenemos que existirá 1 E IN y un estado A’

tales que bsA’eEp y A’lit’=Alit

LI

Puesto que E, es consistente y A’

1

it = A

1

it tenemos que

ej

bs• (Al t)at

E

Btraz(E,)

Y al igual que que en el caso anterior, por aplicación del lema 4.4.6, tenemos

LI

que bs .

(Al

it)ait

e

Btraz(lub(B)).

LI

LI

• Temporalmente compacto. Seanbs

e

Btraz(E) y A= ..4(E, bs),y tomemos un estado

A tal que nd(A) = oc y verificando que para todo

it e

Tse cumple que existe A,

e

A

tal que A,it Ait. Entonces, puesto que A,

e

A, existirá1

e

IN tal que

In document Jugando con el tiempo : semántica de pruebas para algebras de procesos temporizadas (página 78-84)