1. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL
1.2. Marco Conceptual
1.2.3. Modelo
1.2.3.4. Serie de Tiempo Estacionaria
Una serie de tiempo estacionaria es una serie de datos, cuyas propiedades estadísticas básicas, como la media y la varianza, permanecen constantes en el tiempo. Gráficamente una serie que no presenta crecimiento o declinación es estacionaria.
Figura Nº 23. Serie de tiempo estacional. Fuente: (Lomet, Suard, & Chèze, 2015).
En general un modelo aditivo está determinado por
𝑋𝑡= 𝑇𝑡+ 𝑆𝑡+ 𝐶𝑡+ 𝐼𝑡
Donde:
𝑇𝑡 : es la tendencia
𝑆𝑡 : es la estacionalidad
𝐶𝑡 : es la componente cíclica
𝐼𝑡 : es la componente aleatoria de irregularidad
Si la componente cíclica fuera nula, nuestro interés sería separar la tendencia y la estacionalidad con la finalidad de obtener un proceso libre de estacionalidad y razonablemente ajustado.
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Tendencia: El modelo de tendencia de una serie de tiempo puede definirse como:
𝑋𝑡= 𝑇𝑡+ 𝜀𝑡
y la tendencia 𝑇𝑡 puede ser estimada por 𝑇̂𝑡, es decir: 𝑋̂𝑡= 𝑇̂𝑡+ 𝜀̂𝑡
para ello se usan diversas técnicas, tales como:
i. Ajustando la serie mediante una función suave tal como un polinomio, una función exponencial, etc.
ii. Suavizando o filtrando los valores de la serie alrededor de un punto para estimar la tendencia en un punto
iii. Suavizar los valores de la serie a través de sucesivos ajustes de rectas de mínimos cuadrados ponderados
Por ejemplo, si consideramos el consumo de energía eléctrica en una ciudad durante dos años medido en 24 meses:
Tabla Nº 9. Consumo de energía eléctrica.
t X(t) t X(t) 1 84.6 13 110.3 2 89.9 14 118.1 3 81.9 15 116.5 4 95.4 16 134.2 5 91.2 17 134.7 6 89.8 18 144.8 7 89.7 19 144.4 8 97.9 20 159.2 9 103.4 21 168.2 10 107.6 22 175.2 11 120.4 23 174.5 12 109.6 24 173.7 Fuente: Ciudad de Espíritu Santo – Brasil de enero de
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Figura Nº 24. Consumo de energía eléctrica durante 24 meses. Fuente: Elaboración propia.
Figura Nº 25. Consumo de energía eléctrica durante 24 meses estimando la tendencia de la serie de tiempo por un polinomio de grado 1 y grado 5.
Fuente: Elaboración propia.
Suavización: Cuando la tendencia permite ser representada por un polinomio de menor grado se pueden usar todas las observaciones 𝑋𝑡 para estimar el polinomio que representará 𝑇𝑡 , tomando observaciones 𝑋𝑠 alrededor de 𝑡 , es decir:
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Existen diferentes técnicas de suavizamiento tal como: a) Medias móviles
b) Diferencias
Uno de los métodos más utilizados es el de medias móviles, que consiste en trasformar la serie en 𝑋̂𝑡 = 𝑇̂𝑡+ 𝜀̂𝑡, es decir:
𝑋̂𝑡= ∑ 𝑐𝑗𝑋𝑡+𝑗 𝑛 𝑗=−𝑛 𝑡 = 𝑛 + 1, ⋯ , 𝑁 − 𝑛 Donde ∑ 𝑐𝑗 𝑛 𝑗=−𝑛 = 1
Notemos que se perderán 𝑛 observaciones al inicio y 𝑛 observaciones al final y que 𝑐𝑗 =
1
2𝑛+1. La serie 𝑋̂𝑡 verifica 𝐸(𝜀̂𝑡) = 0 , 𝑉𝑎𝑟(𝜀̂𝑡) = 𝜎 2
En el ejemplo del consumo de energía eléctrica, para un valor de 𝑛 = 1 tenemos que: 𝑐𝑗 = 1 2(1)+1= 1 3 , 𝑐𝑗 = 1 3 por lo tanto, 𝑋̂𝑡 =1 3 ∑ 𝑋𝑡+𝑗 1 𝑗=−1 , 𝑡 = 2, ⋯ , 23 En particular 𝑋̂2 =1 3 ∑ 𝑋2+𝑗 1 𝑗=−1 = 1 3(𝑋1+ 𝑋2+𝑋3) = 1 3(84.6 + 89.9 + 81.9) = 85.5
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Figura Nº 26. Consumo de energía eléctrica durante 24 meses estimando la tendencia de la serie de tiempo mediante una media móvil de periodo 3.
Fuente: Elaboración propia.
Tabla Nº 10. Consumo de energía eléctrica.
t X(t) 𝑿̂𝒕 ∆𝑿𝒕 1 84.6 2 89.9 85.5 5.3 3 81.9 89.1 -8.0 4 95.4 89.5 13.5 5 91.2 92.1 -4.2 6 89.8 90.2 -1.4 7 89.7 92.5 -0.1 8 97.9 97.0 8.2 9 103.4 103.0 5.5 10 107.6 110.5 4.2 11 120.4 112.5 12.8 12 109.6 113.4 -10.8 13 110.3 112.7 0.7 14 118.1 115.0 7.8 15 116.5 122.9 -1.6 16 134.2 128.5 17.7 17 134.7 137.9 0.5 18 144.8 141.3 10.1 19 144.4 149.5 -0.4 20 159.2 157.3 14.8 21 168.2 167.5 9.0 22 175.2 172.6 7.0 23 174.5 174.5 -0.7 24 173.7 -0.8
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Los valores de 𝑋̂𝑡 de la Tabla Nº 10 se grafican en la Figura Nº 26, la cual proporciona una mejor idea de la tendencia en la serie.
Por otro lado, al usar un suavizamiento a través de diferencias, se elimina una tendencia lineal si el modelo fuera aditivo y se elimina una tendencia exponencial si el modelo fuera multiplicativo.
Figura Nº 27. Primera diferencia del consumo de energía eléctrica durante 24 meses.
Fuente: Elaboración propia.
Para el ejemplo del consumo de electricidad, tenemos que la primera diferencia dada por ∆𝑋𝑡= 𝑋𝑡− 𝑋𝑡−1, refleja de acuerdo a los valores de la Tabla Nº 10, un carácter más estacionario de ∆𝑋𝑡, el cual se representa en la Figura Nº 27.
Según el ejemplo citado respecto del consumo de energía eléctrica en la Ciudad de Espíritu Santo – Brasil, de enero de 1977 a diciembre de 1978, existe una tendencia al incremento del consumo de energía eléctrica.
Para la evaluación técnico-económica del ahorro energético generado por calentadores solares, se propone el uso del modelo aditivo que resulta ser el más adecuado en la descripción del consumo de agua caliente.
𝑋𝑡 = 𝑇𝑡+ 𝑆𝑡+ 𝜀𝑡
Estas tres componentes se manifiestan inmersas en el modelo, dado que la componente de tendencia de largo plazo constituye la base del crecimiento o
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declinación de serie histórica de consumo de agua, el patrón de evolución sostenido a mediano y largo plazo de la serie puede crecer, decrecer o estabilizarse; la componente de la estacionalidad determina las fluctuaciones oscilaciones que se encuentran típicamente en los datos que pueden clasificarse por trimestres, meses o semanas, la componente estacional también determina el patrón de cambio que se repite y 𝜀𝑡 define la componente aleatoria de errores para la estimación de la tendencia 𝑇𝑡. Los métodos no suman un modelo global sino local, es decir, no son
modelos con parámetros fijos, por ejemplo si 𝑇𝑡= 𝛽0 + 𝛽1𝑡, los valores de 𝛽0 y 𝛽1 cambian en el tiempo, es posible estimar las componentes de 𝑇𝑡 𝑦 𝑆𝑡 en base a la regresión.
Figura Nº 28. Componentes de tendencia (Tt), Componente estacional St,
Componente aleatoria (εt) y serie de tiempo estacional (Xt).
Fuente: Elaboración propia.
Figura Nº 29. Ruido blanco (𝜀𝑡) , Serie de tiempo estacional (𝑋𝑡). Fuente: Elaboración propia.
Sin embargo, dada la dependencia entre los valores de la serie es posible usar un filtro lineal que es un operador que convierte la serie 𝑋𝑡 en otra 𝑋̂𝑡 tal que:
𝑋̂𝑡= ∑ 𝜔𝑗𝑋𝑡−𝑗 𝑛
𝑗=−𝑛
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Donde 𝜔−𝑛, 𝜔−𝑛+1, ⋯ , 𝜔0, ⋯ , 𝜔𝑛, son pesos predeterminados. En algunos casos para determinar la tendencia y reducir las fluctuaciones locales (suavizar) se condiciona que ∑𝑛𝑗=−𝑛𝜔𝑗 = 1. Este filtro lineal se denomina Media Móvil. Usualmente se escogen 𝜔−𝑗 = 𝜔𝑗, pesos simétricos.
Figura Nº 30. Estimación de una serie de tiempo usando la media móvil con 𝑛 = 2, de periodo 5.
Fuente: Elaboración propia.
Los filtros lineales se utilizarán como estimadores de la tendencia, es decir 𝑇̂𝑡= 𝑋̂𝑡. Una aplicación del filtro lineal es remover la tendencia, esto es la serie definida
como 𝑌𝑡 = 𝑋̂𝑡− 𝑇̂𝑡 es la serie sin tendencia.
La componente estacional 𝑆𝑡 se define como una función no aleatoria, periódica de período 𝑠. Los valores de la componente estacional se denominan patrón estacional. El período estacional s es el número mínimo de períodos que tarda el patrón estacional en repetirse, como 𝑆𝑡 es periódica con periodo 𝑠, existen constantes 𝛿𝑗 𝑗 = 1, … . , 𝑠 tales que:
𝑆𝑡= ∑ 𝛿𝑗𝐼𝑗(𝑡) 𝑠 𝑗=1 Donde: 𝐼𝑗(𝑡) = { 1 , 𝑡 = 𝑗, 𝑗 + 𝑠, 𝑗 + 2𝑠, … 0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
56 Por otro lado, también se cumple que:
𝑆𝑡 ≈ ∑ (𝛽1𝑗sin ( 2𝜋𝑗𝑡 𝑠 ) + 𝛽2𝑗cos ( 2𝜋𝑗𝑡 𝑠 )) 𝑚 𝑗=1
Es posible estimar la componente estacional mediante un filtro lineal de la forma
𝑆̂𝑡= ∑ 𝑢𝑗𝑋𝑡+𝑗, 𝑟
𝑗=−𝑟
𝑡 = 𝑟 + 1, … , 𝑁 − 𝑟
usando el algoritmo de Brockwell y Davis que consiste en estimar la tendencia con una media móvil diseñada para eliminar la componente estacional y disminuir el ruido aleatorio, esta media móvil está definida como sigue:
Si el periodo 𝑠 es par, tomamos 𝑠 = 2𝑛 para 𝑛 + 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 − 𝑛 con lo que se define: 𝑇̂𝑡 = 1 2𝑛( 1 2𝑋𝑡−𝑛+ 𝑋𝑡−𝑛+1+ ⋯ + 𝑋𝑡+ ⋯ + 𝑋𝑡+𝑛−1+ 1 2𝑋𝑡+𝑛)
Si el periodo 𝒔 es impar tomamos 𝑠 = 2𝑛 + 1 para 𝑛 + 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 − 𝑛 con lo que se define:
𝑇̂𝑡 = 1
2𝑛 + 1 ∑ 𝑋𝑡−𝑗 𝑛
𝑗=−𝑛
Luego se estima 𝑆̂𝑘 para 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑠 promediando los valores 𝑋𝑡− 𝑇̂𝑡
Validación de los Supuestos Sobre los Errores.
La función 𝑇𝑡+ 𝑆𝑡 se denominará “componente estructural”, y los residuales 𝜀𝑡 se denominarán “residuos estructurales”.
Para un modelo de componentes estructurales aditivo, se asume que se puede descomponer como:
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Los residuos estructurales se obtienen como sigue:
𝜀̂𝑡 = 𝑋𝑡− 𝑇̂𝑡− 𝑆̂𝑡
Para calcular un pronostico 𝑋̂𝑁+𝑗 se debe analizar la serie 𝜀̂𝑡, si es autocorrelacionada o solamente es ruido aleatorio.
Por otro lado, para la componente aleatoria de errores 𝜀𝑡 se debe verificar que su
media debe ser cero, de varianza constante e incorrelacionada, es decir se deben verificar las siguientes condiciones:
i. 𝐸(𝜀𝑡) ≡ 0
ii. 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) ≡ 𝜎2
iii. 𝐶𝑜𝑣(𝜀𝑡, 𝜀𝑡+𝑘) = 0, ∀𝑘 ≠ 0
Por tanto si no se verifica que 𝐶𝑜𝑣(𝜀𝑡, 𝜀𝑡+𝑘) = 0, ∃𝑘 tal que 𝐶𝑜𝑣(𝜀𝑡, 𝜀𝑡+𝑘) ≠ 0
lo cual implica que los errores están auto correlacionados y podrían ser pronosticados.
Figura Nº 31. Pronostico de una serie de tiempo del consumo de agua del día lunes de la primera semana (L1) en la urbanización Primavera, Yanahuara.
Fuente: Elaboración propia.
Una serie de tiempo que corresponde a un proceso estacionario debe verificar las tres condiciones. Por ejemplo si 𝑇𝑡 = 𝛽0+ 𝛽1𝑡 entonces:
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Así la ecuación de pronósticos queda definida dada por:
𝑋̂𝑁+𝑘 = 𝛽̂0 + 𝛽̂1(𝑁 + 𝑘)
Función de Autocorrelación (FAC).
La función de autocorrelación se define como:
𝜌(ℎ) =𝑅(ℎ)
𝑅(0) ℎ = 0,1,2, …
Donde:
𝑅(ℎ) = 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡+ℎ) − 𝜇2
como |𝜌(ℎ)| ≤ 1, de acuerdo a la definición de covarianza 𝑅(ℎ) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡+ℎ)
𝑅(0) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝜎2.
La representación gráfica de 𝜌(ℎ), denominada correlograma, permite confirmar la presencia de estacionalidad y determinar su período.
El realizar previsiones o proyecciones son admisibles, a partir del último tiempo de recogida de información, muestra si el error está correlacionado consigo mismo, es decir autocorrelacionado en lapsos diferentes, (anterior y posterior). Si todas las barras caen dentro de los intervalos de confianza, entonces no hay autocorrelaciones significativas en la serie de error. Si cualesquiera de las barras cruzan la línea negra entonces, existe autocorrelaciones significativas en la serie.
Figura Nº 32. Correlograma del consumo de agua del día jueves de la primera semana (J1) en la urbanización Primavera, Yanahuara.
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Estimación de la Función de Auto-Correlación.
De acuerdo a la definición de la función de autocorrelación tenemos que:
𝜌(𝑘) = 𝐸((𝑋𝑡−𝜇)(𝑋𝑡+𝑘− 𝜇)) 𝐸(𝑋𝑡− 𝜇)2
es posible estimar la función 𝜌(𝑘) por 𝜌̂(𝑘) en el retardo 𝑘, por lo tanto:
𝜌̂(𝑘) =∑ (𝑋𝑗− 𝑋̅)(𝑋𝑗−𝑘− 𝑋̅) 𝑁
𝑗=𝑘+1
∑𝑁 (𝑋𝑗− 𝑋̅)2 𝑗=1
por simplicidad se denota 𝜌𝑘 = 𝜌(𝑘).
Estimación de la Función de Auto-Covarianza.
Dada la definición de la función de auto-covarianza:
𝛾(𝑘) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡, 𝑋𝑡+𝑘) = 𝐸((𝑋𝑡−𝜇)(𝑋𝑡+𝑘− 𝜇)) = 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡+𝑘) − 𝜇2
Es posible estimar la función 𝛾(𝑘) por 𝛾̂(𝑘) en el retardo 𝑘, por lo tanto:
𝛾̂𝑘= 𝛾̂(𝑘) = 1
𝑁 ∑ (𝑋𝑗− 𝑋̅)(𝑋𝑗−𝑘 − 𝑋̅) 𝑁
𝑗=𝑘+1
Por simplicidad se denota 𝛾𝑘 = 𝛾(𝑘).
Para las mediciones de consumo de agua calentada por medio de calentadores solares en la urbanización Primavera, Yanahuara – Arequipa, observamos (Figura Nº 32) que el correlograma nos indica que existe autocorrelación, por tanto, debemos realizar las pruebas de hipótesis que garanticen la existencia de autocorrelación, así como determinar el modelo ARMA que corresponde al modelo de consumo de agua. Para ello explicaremos primeramente los diferentes tipos de modelos ARMA.
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1.2.3.5. Modelos Para Series de Tiempo Univariadas.