1.9. El grupo de transformaciones de Lorentz
1.9.4. Simetrías de Lorentz y constantes de movimiento
Hemos visto que las transformaciones de Lorentz dejan algunas cantidades invariantes, que hemos llamado escalares de Lorentz, pese a transformar de forma no trivial a los 4–vectores. No obstante, el formalismo de la relatividad especial permite ver que, como la ecuación (1.67) muestra, las leyes de la mecánica de Newton también son invariantes para todos los observadores inerciales en el espacio–tiempo, ajustadas por correcciones relativistas. Similarmente, aunque de forma más espectacular, las leyes de Maxwell de la electrodinámica son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz (ver ejercicio 1.3 y sección 2.2). En general, es posible establecer que todas las leyes físicas son invariantes ante las transformaciones relativistas, como establece el principio de relatividad. Por lo tanto, se dice que estas transformaciones son transformaciones de simetría o simplemente simetrías
del espacio–tiempo.18
Un resultado espectacular demostrado por la matemática alemana Amalie Emmy Noet- her es el llamado (primer) teorema de Noether que, de manera informal, puede ser enunciado de la siguiente forma: toda simetría continua de un sistema conduce a una cantidad cuyo valor es conservado en el tiempo, llamada constante de movimiento o carga de Noether.
Las simetrías descritas por las transformaciones de Lorentz son continuas porque los boosts dependen de (las tres componentes de) la velocidad del observador y de los tres ángulos de rotaciones espaciales, que son cantidades que adoptan cualquier valor continuo.
17
Describe cualquier transformación de Lorentz que preserve la dirección del tiempo.
18
Una analogía que permite entender el uso de la palabra simetría es considerar que una esfera perfecta es invariante bajo rotaciones y, por lo tanto, goza de una simetría bajo rotaciones.
46 Fundamentos de la relatividad especial
Por lo tanto, de acuerdo al teorema de Noether, esperamos que existan seis cantidades conservadas asociadas al grupo de Lorentz.
En mecánica clásica, es bien sabido que un sistema que es simétrico bajo rotaciones en tres dimensiones espaciales posee tres cantidades conservadas, las tres componentes del momento angular L. En términos de la matriz antisimétrica (M µν ) con componentes
M µν
≡≡
xµ pν−−
pν xν , (1.121) es posible expresar las componentes del momento angular (espacial) comoL(i) = 1
2εijkM jk, i, j, k = 1, 2, 3 , (1.122)
donde hemos etiquetado la componente de L en la dirección xi, i = 1, 2, 3, como L(i) en
lugar de usar índices porque no existe 4–vector que contenga a L. Además, εijkdenota el
símbolo de Levi-Civita en tres dimensiones19y la suma sobre índices repetidos es implícita.
Podemos fácilmente verificar que e.g. la componente de momento angular en la dirección
x1obtenida a partir de (1.122) está dada por L(1) = M 23= x2 p3
−
−
x3 p2, coincidiendo conel resultado habitual.
Debido a su antisimetría, la matriz 4
××
4 (M µν ) contiene sólo seis componentes indepen-dientes no nulas que podemos elegir como M 23, M 13, M 12y M 0i, i = 1, 2, 3. Las primeras
tres corresponden justamente a las componentes del momento angular L y son cantidades conservadas, es decir, satisfacen
∂ 0M 23= ∂ 0M 13= ∂ 0M 12= 0 .
Mediante el principio de mínima acción o, como veremos en la sección 2.9, mediante el análisis de vectores de Killing , es posible demostrar que no sólo estas componentes de
(M µν ) son conservadas,20sino también M 0i.
Los elementos M 0icombinan componentes espaciales con componentes temporales del
momento propio y la posición relativistas, por lo que están asociados a las rotaciones en espacio–tiempo, los boosts de Lorentz. Las constantes de movimiento correspondientes dependen del tiempo debido a que los boosts dependen también explícitamente del tiempo. Dado que M 0i= x0 pi
−
−
Exi/c es una constante de movimiento, su derivada con respectoa x0conduce a p
−−
E c2 dx dt = 0 , (1.123) 19En tres dimensiones, el símbolo completamente antisimétrico de Levi-Civita está dado por εijk =
+1 si (i,j,k ) es permutación par de (1, 2, 3),
−
−1 si (i,j,k ) es permutación impar de (1, 2, 3), 0 si algún índice es repetido .
20
Se recomienda la lectura de la sección 14 de L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The classical theory of fields
1.9 El grupo de transformaciones de Lorentz 47
que coincide con la relación (1.71), cierta para un sistema de una sola partícula estudiado por cualquier observador inercial si la partícula se desplaza con velocidad uniforme. Los tres grados de libertad de la ecuación ( 1.123) son las constantes de movimiento asociadas a los boosts de Lorentz.
El resultado (1.123) conduce a una interesante conclusión, pero, para llegar a ella, consideremos primero las cantidades conservadas asociadas a las traslaciones ( 1.120) que complementan el grupo de simetrías del espacio–tiempo para formar el grupo de Poincaré. Calculando la derivada con respecto al tiempo propio de las traslaciones, encontramos que la 4–velocidad no es alterada ba jo estas transformaciones,
d dτ x µ
→
→
ddτ (x µ+ aµ) = d dτ x µ (1.124)debido a que aµes un 4–vector constante. Dado que el momento de una partícula de masa
m es definido como p = m U , el 4–momento se conserva bajo traslaciones. En términos de las componentes pµ, encontramos que tanto la energía del sistema E como el momento p
son cantidades conservadas.
Para entender ahora en general el significado de ( 1.123), consideremos un sistema de muchas partículas, las cuales, en principio, se mueven en direcciones y con velocidades arbitrarias. La matriz de cantidades conservadas (1.121) se expresa en este caso como
M µν
≡
≡
n xµ n pν n−−
pν nxν n, (1.125)donde n etiqueta a cada una de las partículas que componen el sistema. Las componentes no triviales M ijcorrespondientes al momento angular sólo reflejan que el momento angular
total, dado por la suma de los momentos angulares individuales, se conserva. Por otra parte, las componentes M 0iconducen a
n pnt−−
n E n c2 xn = const., (1.126)donde hemos supuesto que todas las mediciones de momentos y posiciones se realizan simultáneamente desde el punto de vista de un observador inercial, y hemos dividido por
c. Dado que la energía se conserva en un sistema cerrado y en aquellos invariantes bajo traslaciones, como suponemos que es el sistema que analizamos aquí, entonces podemos dividir (1.126) por
nE n/c2= cte:
n pn
nE n/c2t−−
nE nxn/c2
nE n/c2 = cte. (1.127)Por otra parte, notando que en el límite no relativista E n = γ (un)mnc2
→→
mnc2 y48 Fundamentos de la relatividad especial
sistema, observamos que, en ese límite, esta expresión se reduce a
nmnun
nmn t−−
nmnxn
nmn =cte. (1.128)
Identificamos directamente al coeficiente de t como la velocidad del centro de inercia y al segundo término como la posición del centro de inercia no relativista del sistema.
Por lo tanto, definiendo la posición y la velocidad relativistas del centro de inercia del sistema como X CDI
≡ ≡
nE nxn/c 2
nE n/c2 , V CDI≡ ≡
n pn nE n/c2 , (1.129)respectivamente, la relación (1.123) para un sistema de muchas partículas se puede reex- presar como
V CDI
− −
dX CDI
dt = 0 . (1.130)
Debido a que V CDI es constante debido a la conservación de momento, el centro de inercia
X CDI se desplaza con velocidad uniforme V CDI . Por medio de esta ecuación, logramos
identificar que las tres constantes de movimiento asociadas a los boosts de Lorentz en las tres direcciones espaciales corresponden a la uniformidad de las tres componentes de la velocidad del centro de inercia relativista. Es decir, para cualquier observador inercial, un sistema relativista de muchas partículas invariante bajo los boosts de Lorentz se comporta, en conjunto, como un sistema inercial.