La primera simulación se lleva a cabo en condiciones iniciales, que corresponden a un equilibrio homeostático. Se parte de un estado de equilibrio y se simula un periodo de un año, introduciendo una mínima perturbación debido a los errores derivados del redondeo de los parámetros y condiciones iniciales. Debido al carácter estable de las condiciones iniciales y al hecho de haber introducido una modificación mínima a dicho estado se espera que el modelo se mantenga en el entorno del punto inicial y que alcance un estado de equilibrio. Se tiene constancia de la capacidad del modelo y del solver tipo ode para mantenerse en estado de equilibrio gracias al trabajo llevado a cabo en [5], por lo que esta se puede considerar una referencia válida.
En estos primeros resultados se observa fácilmente que se cumplen las expectativas que se tenían sobre el modelo en esta simulación. Los tres métodos de resolución alcanzan un estado de equilibrio muy próximo a aquel del que parte el modelo, de hecho las variaciones mostradas se dan en la quinta cifra significativa. Además, los tres métodos alcanzan el mismo punto de equilibrio, el trapezoidal siempre manteniendo una evolución semejante a la obtenida mediante el uso de la función ode23s del programa Matlab® mientras que el de Euler lo hace con una evolución diferente.
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El compartimento vascular muestra el mismo comportamiento que el intestinal, se alcanza un equilibrio estable que difiere del estado original en la quinta cifra significativa con el uso de los tres métodos de resolución. También en este compartimento se observa que el método de Euler presenta más perturbaciones en los instantes iniciales pero alcanza los mismos valores que los otros métodos y sigue la evolución de estos a partir del segundo mes de simulación.
La resolución del problema presenta la misma evolución para la hormona paratiroidea disponible en la glándula paratiroides que en las variables representadas anteriormente. Sin embargo, en el comportamiento de la capacidad máxima de esta glándula se aprecia una diferencia con las variables anteriores. La capacidad máxima de la glándula PT no alcanza un estado de equilibrio en el periodo de un año, aunque su variación en este tiempo tan solo es del orden del 0.0007% y el equilibrio se alcanza algún tiempo después, evidenciándose así por primera vez las diferentes dinámicas presentes en el modelo. Pese a lo anterior se puede observar que el
Figura 4.2. Evolución del compartimento vascular.
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método trapezoidal sigue perfectamente la evolución obtenida mediante el uso de la función tipo ode, mientras que el método de Euler presenta una desviación inicial que se va corrigiendo a medida que avanza el tiempo y que, presumiblemente, acabará por hacerse nula como en el resto de las gráficas presentadas.
De los resultados arriba expuestos se puede sacar una primera conclusión que resulta evidente, el compartimento óseo presenta una dinámica más lenta, en general, que los previamente analizados. Esto se observa en la incapacidad de la mayoría de variables de alcanzar el punto de equilibrio estable en el tiempo de simulación. No obstante, el comportamiento global es muy similar a los presentados hasta el momento. El método trapezoidal es capaz de reproducir con mayor fidelidad los resultados obtenidos con ode23s, mientras que el método de Euler presenta una perturbación inicial que queda reducida a cero, o se hace prácticamente nula, si se simula el tiempo suficiente, al menos en el rango representado, que es muy estrecho por otra parte. Además, todas las gráficas muestran variaciones muy reducidas respecto del estado inicial, incluso aquellas
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que presentan las dinámicas más lentas como la evolución del TGF-𝛽 latente o el calcio presente en la fase mineral del hueso. Se hace notar que la aparición de resultados negativos no es signo de un error en el modelo, ya que las variables que en este compartimento se presentan en tanto por ciento se encuentran representando la variación porcentual de las poblaciones correspondientes.
Antes de comentar los resultados obtenidos para las variables que se incluyen en el sistema de señalización RANK/RANKL/OPG, se quiere aclarar que la concentración de OPG se mantiene como en la gráfica adjunta durante la totalidad del año simulado, razón por la cual se ofrece solo una pequeña porción de la evolución de esta variable en la que se puedan apreciar sus oscilaciones. Las variables aquí expuestas son las únicas que presentan oscilaciones al ser resueltas mediante los métodos trapezoidal y de Euler, lo cual se debe a la rápida dinámica que poseen variables como la OPG, quedando así patente la rigidez del sistema. Sin embargo, estos resultados no alteran sustancialmente el resto de variables del problema como ya se ha podido comprobar, lo
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cual se debe al reducido valor de la concentración de complejo OPG-RANKL y a que su efecto sobre la formación de RANKL se encuentra minorado por los parámetros k21-24 y k24-21. Una vez aclarado esto, se
señala que las variables no oscilatorias muestran el comportamiento esperado, alcanzando todos los métodos de resolución un estado de equilibrio próximo al inicial y siendo, por tanto, todos ellos efectivos en la resolución del problema, aunque el método de Euler devuelva alguna perturbación inicial. Para el análisis del complejo OPG-RANKL conviene mostrar una gráfica ampliada en un punto en el que se puedan observar sus oscilaciones. Esto se debe a que, como se aprecia en la figura (4.6), el método trapezoidal (implícito) ofrece un nivel de precisión bastante superior al ofrecido por el método de Euler (explícito), como ya se anticipó al introducir ambos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales en la el apartado 3.1. Es importante mostrar este detalle ya que en la última gráfica de la figura (4.5) los resultados obtenidos con el uso de la función ode23s quedan ocultos tras la representación de los obtenidos con el método trapezoidal.
En la figura (4.7) se puede apreciar que el ritmo al que evolucionan las características macroscópicas del hueso es menor que aquel con el que lo hacen variables tales como las poblaciones celulares. También se aprecia en esta figura que en el estado de equilibrio sin perturbaciones el modelo mantiene las propiedades del hueso prácticamente intactas, pues las variaciones respecto de las condiciones iniciales son del orden de 10-2 y 10-3 en tanto por ciento. Asimismo, el comportamiento de estas variables es el mismo ofrecido por las anteriores, todos los métodos llegan a un estado de equilibrio muy próximo al inicial, aunque en menor medida en el caso del método de Euler.
Tras analizar todos los resultados expuestos se llega a la conclusión de que, en estado de equilibrio, la función ode23s es la que mejor rendimiento ofrece de todos los métodos de resolución analizados. Esto no se debe solo a la solución alcanzada sino también, como se verá en el apartado 4.7, al tiempo requerido para la ejecución
Figura 4.6. Detalle de la evolución del compuesto OPG-RANKL
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del problema. Tras este, el método trapezoidal es el que devuelve los resultados más precisos, existiendo una especial diferencia en los instantes iniciales y en las variables de dinámicas más rápidas. Sin embargo, el método de Euler, aunque ofrezca peores resultados en los primeros pasos de integración en estas condiciones, se estabiliza y logra reproducir los resultados de la función ode23s si se simula un periodo de tiempo suficientemente largo. Además, el método de Euler ofrece una alternativa interesante al trapezoidal debido al menor tiempo de ejecución y recursos computacionales que requiere, lo que se detalla en el apartado 4.7.