Simulaci ´on num ´erica de distribuci ´on de coeficientes de poten-

Se desarroll ´o una simulaci ´on num ´erica para estudiar las distribuciones de potencias de los modos propagados al viajar a trav ´es de un medio desordenado. Esto tiene como objetivo determinar los par ´ametros con los que debe contar la aleatoriedad para su fabri- caci ´on a futuro. Esta simulaci ´on fue escrita en MATLAB y est ´a basada en el m ´etodo de descomposici ´on modal descrito anteriormente en la secci ´on 4.2.

Figura 32: Comparaci ´on de la distancia lxx a la que ocurre la redistribuci ´on equitativa de los mo-

dos propagados por la fibra contra la distanciaD, utilizando diferentes variaciones en el ´ındice de refracci ´on∆n.

Figura 33: Comparaci ´on de la distancia lxx a la que ocurre la redistribuci ´on equitativa de los mo-

dos propagados por la fibra contra la distanciaD, utilizando diferentes variaciones en el ´ındice de refracci ´on∆n.

Figura 34: Simulaci ´on de variaciones aleatorias en el ´ındice de refracci ´on en el n ´ucleo de la fibra ´

optica en dos dimensiones, utilizando una distribuci ´on gaussiana con<∆n >= 2.5×10−2_.

los cambios en el ´ındice de refracci ´on ∆n en el n ´ucleo de la fibra ´optica. Las figuras (34) y (35) muestran ejemplos de matrices aleatorias con distribuci ´on normal utilizando

< ∆n >= 2.5×10−2 _{y una longitud de correlaci ´on de 0.1017 µm. Una nueva matriz es} generada peri ´odicamente cada cierta distancia∆z; esta distancia equivale al tama ˜no de las manchas a lo largo del ejez de la fibra.

Utilizando estas variaciones en el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo, y tomando en cuen- ta una onda plana con una unidad de potencia en la entrada de la fibra, se calcul ´o el campo propagado a trav ´es de estos medios, calculando el peso individual de los modos soportados por la fibra en cada cambio de∆n utilizando el m ´etodo de descomposici ´on modal.

Para estas simulaciones, se toma en cuenta un tramo inicial de la fibra con un ´ındice de refracci ´on uniforme, un tramo intermedio con variaciones aleatorias∆nen el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo, y un tramo final con ´ındice de refracci ´on uniforme nuevamente.

Cabe mencionar que a los resultados obtenidos que se presentar ´an a continuaci ´on se les aplica un filtro de suavizado; esto con el objetivo de mostrar con m ´as claridad la tendencia en el intercambio de energ´ıa de alcanzar un equilibrio. En la figura (36) se

Figura 35: Matrices de variaciones aleatorias de∆ngeneradas a lo largo del ejez la fibra ´optica.

presenta un ejemplo de los datos sin suavizar. En este caso se puede observar que el cambio del coeficiente de peso de un modo puede ser positivo o negativo en cada cambio de pantalla de fase aleatoria, 100 µm para este ejemplo; sin embargo, en promedio su coeficiente de peso tiende a alcanzar un equilibrio (0.5).

Uno de los fen ´omenos que se desea analizar es c ´omo afecta el tama ˜no promedio de las variaciones en el ´ındice de refracci ´on (o el tama ˜no promedio del patr ´on de speckle) a la distancia a la que ocurre la transferencia de pesos entre los diferentes modos. Para esto, se consider ´o un sistema con dos modos (LP01 y LP11) utilizando los par ´ametros de la fibra ´optica de inter ´es y N A = 0.10. Se calcularon sus coeficientes de pesos para recorridos con diferentes tama ˜nos de variaciones.

En la figura (37) se presentan ejemplos de diferentes tama ˜nos de los patrones de speckle con distribuci ´on normal que se utilizaron, y en la figura (38) se muestran los resultados para los coeficientes de pesos calculados para ambos modos utilizando una variaci ´on promedio en el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo ∆n = 0.025. Estos resultados muestran como al aumentar el tama ˜no promedio de las variaciones aumenta la distancia en la que ocurre el mezclado de los coeficientes de peso, perdi ´endose este efecto si el tama ˜no pasa de cierto umbral.

Figura 36: Ejemplo de el intercambio de peso entre dos modos, en el que un modo puede ganar o perder energ´ıa hasta alcanzar un equilibrio.

Figura 37: Simulaciones muestra para patrones de speckle de diferentes tama ˜nos promedio utilizan- do una distribuci ´on normal. Se consideraron patrones sim ´etricos (Sx=Sy =S) con las dimensiones

(a) S=0.187 um, (b) S=0.3482 um y (c) S=0.481 um.

Otro factor importante que es necesario analizar es c ´omo afecta el valor promedio de la variaci ´on en el ´ındice de refracci ´on del n ´ucleo∆n. Al igual que en el caso anterior, se utiliz ´o un sistema con dos modos para este an ´alisis, y se utiliz ´o un tama ˜no promedio de las manchas deS = 0.187µmen base a los resultados anteriores.

La figura (39) muestra los resultados para los coeficientes de pesos de ambos modos utilizando tres diferentes valores de∆n utilizando un valor constante para el tama ˜no del patr ´on de speckle deS = 0.187um. Estos resultados muestran como al aumentar ∆n la distancia a la que ocurre el mezclado entre los modos disminuye. El grado con el que ocu- rre este efecto tambi ´en depende de∆n, disminuyendo casi por completo si ∆n < 0.022. Esto ocurre porque, al presentarse cambios en∆ncon la suficiente variaci ´on, la diferen- cia promedio entre las constantes de propagaci ´on tiende a disminuir, acerc ´andose a la condici ´on para que se de el empatamiento de fases (∆β = 0) permitiendo el intercambio completo de energ´ıa entre modos.

Tabla 4: Par ´ametros de entrada utilizados en la simulaci ´on.

Par ´ametro Valor

Di ´ametro fibra 6µm

Longitud de onda 632.8 nm ´Indice de refracci´on 1.5 Cambio de ´ındice de refracci ´on 0.025

Varianza 0.187µm

Figura 38: Resultados para el c ´alculo de los coeficientes de peso de dos modos propag ´andose a trav ´es de una fibra ´optica con las variaciones en el ´ındice de refracci ´on de su n ´ucleo de tama ˜no promedio (a) S=0.187 um, (b) S=0.3482 um y (c) S=0.481 um. Para todos los casos se utiliz ´o∆n= 2.5×10−2.

Figura 39: Resultados para el c ´alculo de los coeficientes de peso de dos modos propag ´andose a trav ´es de una fibra ´optica con una variaci ´on promedio en el ´ındice de refracci ´on de su n ´ucleo de (a)

∆n= 0.021, (b)∆n= 0.023y (c)∆n= 0.025, utilizando para todos los casos un tama ˜no promedio del patr ´on de speckle de S=0.187 um.

Figura 40: Resultados de la simulaci ´on de la variaci ´on de los coeficientes de peso para 4 modos, con un tama ˜no promedio del desorden S=0.187 um y utilizando variaciones en el ´ındice de refracci ´on

∆n= 2.5×10−2con una distribuci ´on normal.

Tomando en cuenta los resultados anteriores, se hizo el c ´alculo utilizando los par ´ame- tros de la fibra ´optica ZBLAN:Pr3+_{, listados en la tabla4. Los pesos modales calculados en} cada punto se muestran en la figura (40). De manera similar a las simulaciones anteriores para dos modos, los cuatro modos posibles que permite la fibra ´optica (LP01,LP11,LP21y

LP02) tienden a distribuir sus coeficientes de peso de manera equitativa, intercambiando sus coeficientes de peso dentro de un rango.

La figura (41) muestra con mayor detalle el momento en el que ocurre el mezclado entre los coeficientes de peso de los cuatro modos. Se puede observar una distancia

lxx ≈ 1.5cm a la que ocurre el mezclado de los coeficientes de pesos de los cuatro mo-

dos. Utilizando los resultados mostrados en la figura (32), esta distancia de mezclado corresponde a utilizar una distancia D = 0.30cm entre el difusor y el n ´ucleo de la fibra

´optica durante la fabricaci ´on de la aleatoriedad para∆n = 2.5×10−2_.

Figura 41: Resultados de la simulaci ´on de la variaci ´on de los coeficientes de peso para 4 modos, mostrando la distancia de mezclado de los coeficientes.

Figura 42: Resultados de la simulaci ´on de la variaci ´on de los coeficientes de peso para 2 modos, con un tama ˜no promedio del desorden S=0.187 um y utilizando variaciones en el ´ındice de refracci ´on

Figura 43: Resultados de la simulaci ´on de la variaci ´on de los coeficientes de peso para 4 modos, con un tama ˜no promedio del desorden S=0.187 um y utilizando variaciones en el ´ındice de refracci ´on

Figura 44: Resultados obtenidos para una longitud de onda de 605 nm, utilizando un logrados para la reducci ´on de fluctuaciones en los coeficientes de peso para 4 modos, con un tama ˜no promedio del desorden S=0.187 um, utilizando variaciones en el ´ındice de refracci ´on∆n= 1.5×10−2 con una distribuci ´on exponencial, separados por una distancia de 100 um.

del desorden utilizada previamente por una distribuci ´on exponencial. Estos resultados se muestran en la figura (42) para dos modos y en la figura (43) para cuatro modos, en ambos casos utilizando los mismos par ´ametros usados para las simulaciones anteriores. La distancias de mezclado tiende a reducirse al utilizar una distribuci ´on exponencial, al igual que el rango de fluctuaciones en los coeficientes de peso.

Por ´ultimo, se repitieron los c ´alculos al utilizar una longitud de onda λ = 605nm. Esto debido a que 605 nm es una de las l´ıneas principales de emisi ´on que se esperar´ıa obtener al fabricar un l ´aser aleatorio en fibra ´optica ZBLAN:P r3+_{. Los resultados se muestran en la} figura (44). Debido a la poca diferencia que existe entre las longitudes de onda utilizadas, los cambios en las caracter´ısticas de los modos soportados son m´ınimos, y se obtuvieron resultados similares a los que ya fueron mencionados.