Sistema de nodos (duraciones) y flechas

Para ambos pasos a realizar, contamos con el sustento de estar trabajando en un SIG donde las propiedades del grupo de intervalos permitir´a ’movernos’ a trav´es de su representaci´on en flechas en toda la red hacia cualquier direcci´on.

Por un lado observemos que de acuerdo con la gr´afica 2.16, p. 29: 5d1

4d0 8 15

Gr´afica 4.5: i1(5d1,4d0).

Por otro lado, podemos demostrar que la duraci´on 8d3 es igual a 4d0 a trav´es de la equivalencia gr´afica propuesta en la transici´on de los cc. 17-18, la definici´on de d3 y las propiedades algebraicas de las duraciones (reales positivos):

2d2 = 5d0 ⇔ 8

Esto es: 5d1 4d0 8d3 8 15 1 Gr´afica 4.6:i1(5d1,4d0), i1(4d0,8d3).

Adem´as, por el intervalo de duraci´on entred0 yd2 (ver gr´afica 2.9, p. 18) podemos inferir que: 4d0 = 8 5d2 ⇔ 4d0 = 8 15(3d2) Dicho de otra forma:

5d1 3d2 4d0 8d3 8 15 8 15 1 Gr´afica 4.7: i1(5d1,4d0), i1(4d0,8d3), i1(3d2,8d3).

Con base en el teorema A.1, p. 80 podemos demostrar que las duraciones 5d1 y 3d2 son iguales y por lo tanto:

5d1 3d2 4d0 8d3 1 8 15 8 15 1

CAP´ITULO 4. REDES DE TRANSFORMACIONES DETEMPI 63

Finalmente y dada la relaci´on inversa que existe entre las transformaciones de dura- ci´on y modulaciones detempi,4 afirmamos que:

τ(tG5,5d1) τ(tA5,3d2) τ(tA3,4d0) τ(tD4,8d3) 1 8 15 8 15 1

Gr´afica 4.9: Red de modulaciones de tempi.

De esta conclusi´on, es posible reinterpretar el pasaje estudiado en cc. 19-20 con base en las duraciones d0 y d1 de los generadores estudiados en cc. 10 -11. En otras palabras, la interpretaci´on propuesta en la gr´afica 4.3 se transforma en:

(tA5,5d1) (tE[5,5d1) (tD[5, x) (tD4,4d0) (tD4,4d0) (tD4,4d0) (1,1) _(1, x 5d1) (1,1) _(1,1) (1, x 4d0)

Gr´afica 4.10: Red de lapsos de tiempo, cc. 19, 20 (reinterpretaci´on).

4.2.

Redes de Desfases de

Tempi

Para complementar nuestro estudio en transformaciones detempi, en esta ´ultima sec- ci´on abordaremos aspectos relacionados con la forma general de Shard a trav´es de redes de desfases de tempi con m´odulo 4d0. 5 Dada esta perspectiva general deno- taremos en esta secci´on a la clase [x]4d0 simplemente como x, para cualquier punto

de tiempo 0 ≤ x ≤ 4d0 representante de cada clases en R4d0 (cada elemento en el

reloj-4d0).

Las siguientes observaciones, 4.5-4.8, pp. 67-75, presentan transformaciones en ciertos fragmentos de Shard con el objetivo de mostrar a gran escala el desfase entre los elementos ordenados de la serie de clases 0−d0−0−3d0 en un reloj-4d0, eviden- ciando de esta manera relaciones musicales en modulaciones de tempi y colecciones de tonos, particularmente hexacordes-todo-tricorde, H. La siguiente gr´afica ilustra algunas transformaciones r´ıtmicas caracter´ısticas - y complementarias entre s´ı - de la serie citada anteriormente:

0 d0 0 3d0 d0 0 3d0 d0 d0 3d0

Gr´afica 4.11: Red de clases de puntos de tiempo, Shard.

Antes de ahondar en detalles, reflexionemos en que las redes de modulaciones de

tempipresentadas anteriormente hacen referencia principalmente a puntos de tiempo de tonos espec´ıficos, por ejemplo tD]₆ en c. 39, representado en la gr´afica 4.1, p. 54. Un paso fundamental para este an´alisis es relacionar a gran escala estos y otros determinados puntos de tiempo a trav´es de las correspondientes clases de m´odulo referencial 4d0.

CAP´ITULO 4. REDES DE TRANSFORMACIONES DETEMPI 65

Hemos observado anteriormente en el caso presentado por la gr´afica 3.2, p. 43 que los lapsos de tiempo (tG[5,4

ˇ “)

ˇ “)

c. 1 designado por convenci´on como 0, tal y como es mostrado en la gr´afica 3.3, p. 45. Esto implica que los puntos de tiempo de ambos lapsos pertenecen a la misma clase, denotada simplemente por 0. Con base en esto relacionamos al lapso (tE3,5

ˇ “)

clase 3d0 y de esta manera la siguiente gr´afica (equivalente a la de los casos se˜nalados anteriormente) redescribe (re-etiqueta) los elementos que modulan:

1 τ(0,4d0) τ(0,3d0) τ(3d0,5d0) 5 4 3 4 5 3

Gr´afica 4.12: Contrapunto de tempi, c. 1.

De esta manera determinamos a la clase 0 como referencia y, por lo tanto, podemos relacionar lapsos de tiempo ytempirespecto a ´este para nuestro estudio. Recordemos que al trabajar con desfases ´unicamente podremos relacionar aquellostempigenerados por lapsos de tiempo de duraciones iguales, en este caso, 4d0.

Observaci´on 4.5. [Presentaci´on y desarrollo, cc. 1-15]

Retomemos el caso estudiado en las obs. 3.6, p. 46 y 3.8, p. 50, y denotemos por

Y1 a la clase de tetracorde-todo-intervalo [0137]. En la obs. 2.8, p. 28 se presenta la compleja relaci´on ₁₅8 entre ciertos lapsos de tiempo (cc. 7, 8), mientras se presenta el desfase d0 evidenciado en la gr´afica 3.4, p. 50. La siguiente gr´afica sintetiza -en contrapunto- los dos tipos de transformaciones estudiados (modulaciones y desfases) en el pasaje de estudio: 7 8 9 τ(tG]3,4d0 ) τ(tA3,4d0 ) τ(tY1(D),5d1 ) τ(tG]3,4d0) τ(tA3,4d0) 1 8 15 15 8 d0

Gr´afica 4.13: Redes de modulaciones y desfase de tempi, cc. 7-9

Los tempi relacionados, τ(tG]3,4d0) y τ(tA3,4d0), poseen la misma velocidad (su

intervalo de modulaci´on es 1) y se encuentran en distinta fase (desfasados por d0) en el reloj-4d0. Bajo esta perspectiva, la modulaci´on a τ

(

tY1(D),5d1

)

cumple un papel importante para el desfase mostrado pues permite realizarlo aprovechando puntos de tiempo comunes (invariantes) a los otros dos tempi en cc. 8 y 11, respectivamente. Dicho de otra manera, los puntos tG]3, c. 7, yt{A3,G]4}, c. 11, pertenecen a una misma

clase bajo una perspectiva de reloj-5d1 a la vez que cada uno de ellos pertenece a una distinta clase en el reloj-4d0.

M´as a´un, podemos conectar estostempicon otros en la misma fase y establecer un intervalo de desfase a un nivel m´as general en cc. 1-15 como se describe a continuaci´on:

CAP´ITULO 4. REDES DE TRANSFORMACIONES DETEMPI 67 1 8 15 τ(0,4d0 ) τ(d0,4d0 ) τ(tY1(D),5d1 ) ( H(D),0) (H(E[), d0 ) 1 8 15 15 8 (T1, d0)

Gr´afica 4.14: Redes de modulaciones y desfase de tempi, cc. 1-15

En este estudio, el hexacorde H(D) (prolongado en c. 1) es considerado como punto de referencia arm´onico por lo que en la gr´afica anterior se evidencia su transformaci´on

T1 (transposici´on) hacia H(E[), c. 15 (el cual es prolongado de manera an´aloga, tal y como fue estudiado en la obs. 3.1, p. 32). El siguiente par de proposiciones verifica lo evidenciado en la gr´afica 4.14:

Proposici´on 4.2. tG]3 ∈ 0, esto es, τ(tG]3,4d0) y τ(0,4d0) se encuentran en una

misma fase asociada a la clase 0.

Una manera de verificar esto es observando los ciclos delimitados gr´aficamente (com- pases) a partir del inicio sin perder de vista la equivalencia en duraciones propuesta en la transici´on entre cc. 4 y 5, donde es notable adem´as unritardando deτ(0,3d0) a

τ(0,4d0), como podemos inferir por las obs. 2.5 y 3.2, pp. 24 y 36 respectivamente. Con base en lo estudiado en la obs. 3.1, p. 32 ( y recordando queX1 ={F4, B4, E[5, G5}, c. 15) podemos percibir respecto al m´odulo 4d0 que:

Proposici´on 4.3. Para todo A3 en marcato en cc. 9-11, su correspondiente punto de tiempo tA3 pertenece a la clase d0 al igual que tX1. Esto es, para todo A3 en marcato

en cc. 9-11 se cumple que τ(tA3,4d0), τ(tX1,4d0) y τ(d0,4d0) se encuentran en una

Para corroborar esto notemos, por un lado, que por la red de desfase en la gr´afica previa, 4.13, la proposici´on 4.2, 68 y las propiedades algebraicas correspondientes,

τ(tA3,4d0) en el fragmento de estudio se encuentra en la misma fase que τ(d0,4d0).

6

Por otro lado, observemos que todos los elementos de la siguiente serie de puntos de tiempo pertenecen a la clased0:

11 12 13 14 15

t_{A3,G]4} tY2(C) t{B4,G]5} t{G\5,B[5,} t{F ]4,D5,} t{F \4,B\4} tX1

3(4d0) 4d0 _3(4d

0) 4d0 4d0 4d0