Sistemas axiomáticos

Los componentes de los sistemas axiomáticos son: 1. Los términos primitivos.

2. Las definiciones. 3. Los axiomas.

4. Reglas (razonamientos deductivos). 5. Teoremas,

A fines del siglo XIX, Giuseppe Peano (1858- 1932) intenta sistematizar axiomáticamente las verdades conocidas tradicionalmente sobre los núme- ros naturales, sus propiedades y operaciones básicas. Citamos, a modo de ejemplo, algunos componentes del sistema axiomático construido:

Términos primitivos Cl Número natural C2 Cero

C3 El siguiente de

Axiomas

Al Si un objeto es número natural, el siguiente también lo es A2 El cero es un número natural

A3 El cero no es el siguiente de ningún número natural

A4 Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo número natural A5 Si el cero tiene una propiedad (j) y el que un número natural sea (j) implica que su siguiente también es (j), entonces todo número natu- ral tiene (j)

A5 es considerado un esquema axiomático ya que contiene una variable (j), en este caso, una variable para propiedades, lo que da lugar a axiomas es- pecíficos para los casos de ejemplificación, como advierten Díez y Moulines (1999).

Teoremas

TI El siguiente del siguiente de cero es un número natural T2 El siguiente del siguiente del cero no es el siguiente del cero T3 Cero no es el siguiente del siguiente del cero

Capítulo 4 169

Definiciones

D1 Uno es el siguiente del cero D2 Dos es el siguiente de uno

Como vemos, los términos primitivos no se definen pero sirven para definir otros términos. Es claro que un intento de definir todos los tér- minos conduciría a un círculo vicioso. Así, por ejemplo, un diccionario puede definir "existir" como "ser", y luego definir "ser" como "existir", con el resultado de que "existir" significa "existir". Para evitar esta dificultad, en un sistema axiomático se seleccionan ciertos conceptos como primitivos o sin definición, y se definen a partir de ellos todas las demás nociones necesarias. El primer paso para construir un sistema axiomático consiste en proporcionar una lista de todos los términos sin definición. Por motivos prácticos es conveniente disponer sólo de pocos de estos términos, aunque a veces el reducirlos a un mínimo da lugar a complicaciones innecesarias El segundo paso para conformar un sistema axiomático consiste en establecer una relación de todas las proposiciones para las que no se dan demostra- ciones. Estas proposiciones son los axiomas del sistema. Del mismo modo que sucede con los términos, para el caso de los axiomas, es necesario par- tir de enunciados que no necesiten demostración, para evitar incurrir en un regreso al infinito o en un círculo vicioso. Los axiomas se consideran enunciados verdaderos sin que su verdad se derive de otros enunciados. Se busca siempre partir del menor número de axiomas. Los primeros sistemas axiomáticos eran muy arbitrarios y recargados, mientras que los actuales evidencian sencillez y economía de recursos.

Los axiomas y las definiciones, aparentemente, son triviales. Por ejemplo: si soy argentino o soy argentino, entonces, soy argentino.

En esta aparente trivialidad radica la fuerza de un sistema axiomático, en la medida en que, construido sobre sencillos axiomas, un sistema axiomático conduce a la formulación completa de una ciencia de ellos derivada. El vigor

deductivo permite inferir el máximo de leyes, y es allí donde radica el valor del sistema. El cuarto paso para construir un sistema axiomático consiste en

d e s a r r o l l a r el sistema, esto es, deducir las consecuencias lógicas mediante el

empleo de reglas de inferencia que, en todos los casos, son razonamientos deductivos. Estas consecuencias son los teoremas del sistema.

Puede definirse a un teorema como "el último paso de una demostra- ción". Una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es un axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores, en virtud de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados verdaderos y las reglas de inferencia son razo- namientos deductivos, es decir, inferencias que transmiten la verdad, entre premisas y conclusión, los teoremas son enunciados verdaderos.

La presencia inevitable en todo sistema axiomático de términos sin de- finición y proposiciones sin demostración es lo que Russell señala en su fa- moso aforismo, cuando dice que "en matemáticas nunca se sabe de qué se está

hablando ni si lo que se dice es verdad'.

Al respecto afirma Alfred Tarski:

Los principios que vamos a estudiar tienen por objeto asegurar al conocimiento ma- temático el mayor grado posible de claridad y certeza. Desde este punto de vista sería ideal un procedimiento que permitiese aclarar el sentido de todas las expresiones que apareciesen en esta ciencia y fundamentar todos sus teoremas. Ahora bien, es fácil ver que este ideal no sería realizable nunca. En efecto, cuando se trata de aclarar la significación de una expresión, hay que emplear necesariamente otras expresiones; para aclarar la significación de estas nuevas y evitar el círculo vicioso, deberíamos valemos a su vez de otras, y así sucesivamente. De este modo, comenzamos un proceso que nunca llegaría al fin, al que hablando gráficamente llamamos retroceso infinito —regressus in infinitum- Exactamente lo mismo pasa al fundamentar los teoremas matemáticos: para fundamentar un teorema, debemos recurrir a otros y (si queremos evitar el círculo vicioso) recaemos también en el regressus in infinitum.

Capítulo 4 171

Como expresión del compromiso entre aquel ideal inasequible y las posibilidades rea- les, en la edificación de las disciplinas matemáticas hemos instituido ciertos princi- pios, que podemos describir de la manera siguiente:

Caracterizamos, ante todo, un pequeño grupo de expresiones de ella que nos pa- rezcan comprensibles de por sí; llamaremos a las expresiones de este grupo con- ceptos fundamentales o conceptos no definidos (...) la proposición que nos da tal determinación de la significación se llama, como es sabido, definición, y los conceptos deducidos reciben también el nombre de conceptos definidos.

Lo mismo procederemos con las proposiciones de la ciencia considerada. Elegi- remos algunos de éstos, los que nos parezcan más evidentes, como proposiciones fundamentales o axiomas y los reputaremos ciertos sin fundamentos de ningún modo. En cambio nos obligaremos a fundamentar todas las demás, llamadas pro- posiciones deducidas o teoremas (...) también sabemos que esta fundamentación

de los teoremas matemáticos se denomina demostración.

(Tarski, 1951)

En la perspectiva contemporánea, existe una libertad bastante importan- te para la elección de axiomas. Los fundamentos que deciden la elección de un determinado sistema de conceptos fundamentales y axiomas entre la totalidad de los posibles sistemas equivalentes, no tienen nada de evidente. En rigor, se trata de una conveniencia pragmática y hasta estética, donde la sencillez y la economía de axiomas se consideran un rasgo de elegancia y de eficacia.

4.2 Propiedades de los sistemas axiomáticos

¿Qué condiciones deben satisfacer los axiomas y las reglas de inferencia para construir un sistema axiomático? En principio, qué sistema de axiomas se elija es una cuestión de conveniencia. No es necesario que los axiomas sean evidentes, elementales o escasos. El sistema axiomático sí debe ser:

a) Consistente: Un sistema es consistente si, desde los axiomas, no se puede derivar una fórmula y su negación. Si se admitiera una contradic- ción, entonces el sistema podría aceptar cualquier enunciado, admitiría todos los enunciados posibles, incluso los que afirman y niegan lo mismo. Un sistema inconsistente carece de utilidad, puesto que todas las fórmulas podrían ser consideradas teoremas, incluso aquellas que se contradijeran. Si se logra derivar una fórmula y su negación como teoremas de un sistema, esto constituye una prueba de su inconsistencia. Pero si no se logra probar un caso de inconsistencia en un sistema axiomático, eso no prueba que el sistema sea consistente.

b) Independiente: Los axiomas deben ser independientes entre sí. Ningún axioma debe derivarse de otros o del conjunto de axiomas. A menos que se pueda establecer que dos proposiciones son independientes, no se puede saber si son proposiciones distintas o dicen lo mismo de otro modo. Al igual que en el caso anterior, si se logra deducir un axioma de otro se prueba que el sistema es redundante y no independiente, pero sí se trata de derivarlo y no se logra, eso no constituye una prueba de que los axiomas sean indepen- dientes. Es importante respetar este requisito, ya que de no hacerlo se multi- plicarían innecesariamente la cantidad de axiomas y no habría un criterio de demarcación entre axioma y teorema. Cualquier teorema podría ser elevado a la categoría de axioma. Este tipo de impugnación es frecuente al criticar sis- temas axiomáticos. La falta de independencia entre axiomas no se considera un defecto grave sino, más bien, un defecto de belleza, (Moreno, 1981).

El mismo requisito rige para los términos, es decir, no debería considerarse término primitivo a aquel que contenga expresiones que puedan definirse.

c) Completo: Esto permite derivar de los axiomas todas las leyes del sis- tema. En un sistema completo, el agregado de una ley no derivable hace inconsistente el sistema.

Capítulo 4 173

Según Tarski (1951) llamamos consistente a una disciplina deductiva cuando no hay en ella dos enunciados que se contradigan mutuamente, o, con otras palabras; cuando de dos enunciados contradictorios en ella, al me- nos uno no pueda demostrarse. En cambio, la llamaremos completa o íntegra cuando de dos proposiciones formuladas en la misma, con ayuda exclusiva de expresiones de ésta y de las disciplinas precedentes y contradictorias entre sí, al menos una de ambas pueda demostrarse. Estos dos términos, "falta de contradicción" y "completa", no solamente se refieren a la disciplina misma, sino también al sistema de axiomas que la fundamenta.

Estos requisitos constitutivos de los sistemas axiomáticos fueron objeto de revisión durante el siglo XX. En 1931 apareció, en una revista científica alemana, un trabajo relativamente breve, que produjo un alto impacto en el campo de las ciencias formales. Su autor, Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, tituló este trabajo "Acerca de proposiciones formal- mente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados". Las conclusiones establecidas por Gödel en este trabajo y en otros posteriores, son actualmente ampliamente aceptadas por sus implicancias revolucionarias en los fundamentos de las ciencias formales. En primer lugar, son una prueba de la imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones fundamentales en la aritmética. En segundo lugar, obligaron a advertir y reconocer que nunca se logrará construir una disciplina deductiva completa y exenta de contradic- ción, que contenga, entre sus enunciados, todas las proposiciones ciertas de la aritmética y la geometría, en las que hay problemas que no pueden decidirse de modo concluyente, lo que hace crecer la posibilidad de aparición de inconsistencia e incompletitud. Podría pensarse que esta carencia está en condiciones de subsanarse ampliando, en el futuro, los sistemas axiomáti- cos vigentes. Lo que Gödel probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "este teorema no tiene demostración". En definitiva, descubrió que existían afirmaciones verdaderas (teoremas) que no podían ser probadas dentro del sistema. Gödel probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental es incompleto. Además, descubrió que la consistencia de dichos

sistemas era imposible de probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro golpe para éste, que había contemplado un programa para establecer los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso "autoconstructivo", mediante el cual la consistencia de las teorías complejas pudiera deducirse de la consistencia de otras teorías más sencillas. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que permitían advertir que la deducción de teoremas no puede mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática. Por su parte, Church demostró en 1936 que la lógica elemental de predicados es indecidible.

La metodología de las ciencias formales es hoy una ciencia deductiva, ella misma se ocupa de investigar y analizar las teorías deductivas en lógica y en matemáticas, los signos que las componen, las relaciones semánticas que se establecen entre esas expresiones, el estudio de las propiedades de estas es- tructuras, etc. En estos casos, la semiótica con el deslinde de sus dimensiones sintácticas, semánticas y pragmáticas, aporta un andamiaje conceptual útil para esta disciplina. El grado de desarrollo alcanzado ha servido para tomar nuevas y más exigentes precauciones a la hora de establecer los límites de los lenguajes formales, al realizar afirmaciones absolutas respecto de la verdad o falsedad de sus enunciados. Los aportes de Gödel y Church ponen en evi- dencia que aún entre todo lo demostrable, no todo es calculable, mientras que la semántica nos previene contra el uso espurio y dogmático del con- cepto de "verdad".