5.2.4 Sistemas con varios grados de libertad

Los conceptos del análisis modal expuestos pueden aplicarse a las estructuras continuas si se discretizan en masas concentradas como en los sistemas con varios grados de libertad. Considerando el sistema con dos grados de libertad, representado en la Figura III.20, como el ejemplo más básico de sistemas con varios grados de libertad [III.20].

Figura III.20.-Sistema con dos grados de libertad sometido a vibración forzada y amortiguada K1 K2 K3 c3 c2 c1 m1 m2 x2 x1 f1(t) f2(t)

La ecuación matricial de movimiento para las vibraciones forzadas y amortiguadas del sistema indicado es: ቀ௠భ଴ ଴௠మቁ ቀ ௫భ̈ ௫మ̈ቁ ൅ ቀ ௖భା௖మି௖మ ି௖మ௖మା௖య ቁ ቀ ௫భ̇ ௫మ̇ቁ ൅ ቀ ௄భା௄మି௄మ ି௄మ௄మା௄యቁ ቀ ௫భ ௫మቁ ൌ ቀ ௙భ ௙మቁ III.114 En donde _݉ଵݕ݉ଶ son masas discretizadas y concentradas del sistema; _{ܿଵǡ ܿଶݕܿଷ} los coeficientes de amortiguamiento viscoso; _{ܭଵǡ ܭଶݕܭଷ} las rigideces elásticas; y_݂ଵݕ݂ଶlas fuerzas excitantes armónicas. Como en el método analítico donde la solución general puede expresarse en términos de la solución de sistemas con un grado de libertad, las funciones respuesta impulso, respuesta frecuencia y transferencia de un sistema con varios grados de libertad puede representarse como un resultado del concepto de superposición lineal de los modelos con un grado de libertad estudiados, conforme se expone a continuación:

Función respuesta impulso, en dominio tiempo,

ℎ௜௞(ݐ) = ∑௡௥ୀଵܣ௜௞௥݁௣ೝ௧൅ ܣ௜௞௥௫ ݁௣ೝೣ௧ III.115

Función respuesta frecuencia, en dominio frecuencia,

ܪ௜௞(߱) = ∑ _௝ఠି௣஺೔ೖೝ_ೝ+ ஺೔ೖೝ

ೣ

௝ఠି௣ೝೣ

௡

௥ୀଵ III.116

Función de transferencia, en dominio Laplace,

ܪ௜௞(ݏ) = ∑ _௦ି௣஺೔ೖೝ_ೝ+ ஺೔ೖೝ

ೣ

௦ି௣ೝೣ

௡

௥ୀଵ III.117

En donde t =variable tiempo; ߱ ൌvariable frecuencia angular o pulsación natural amortiguada, s = variable Laplace, i = grados de libertad medidos en la respuesta; k = grados de libertad medidos en la entrada;r =modo;ܣ_௜௞௥ = residuo;

ܣ௜௞௥௫ ൌ ܳ௥ܷ௜௥ܷ௞௥ III.118

Donde _ܳ௥ = factor escala modal; ܷ_௜௥ݕܷ_௞௥ coeficientes modales; ݌_௥ = polo del sistema݌_௥ =

El modelo función de transferencia, para condiciones iniciales nulas, se puede considerar como caso general de la función respuesta frecuencia. Los amortiguamientos presentes en el sistema pueden ser estructurales, viscosos, inerciales y de Coulomb o de rozamiento en seco; en los casos de amortiguamientos estructurales e inerciales se determinan los equivalentes viscosos respectivos.

En general los métodos de análisis modal consideran la excitación del modo, la respuesta dinámica, la respuesta exponencial compleja amortiguada o el modelo matemático señal de entrada – señal de salida. Por otra parte, la estructura es lineal, no temporal y observable. Estudiando un sistema con n grados de libertad, sometido a vibración forzada y amortiguada, cuya ecuación diferencial matricial del movimiento es:

[m]{ݔሷ}+[c]{ݔሶ}+[k]{ݔ}={f} III.119 En donde [m] = matriz cuadrada simétrica de inercia; [c] = matriz cuadrada simétrica de coeficientes de amortiguamiento viscoso; [k] = matriz cuadrada simétrica de rigideces elásticas, {x} = matriz columna de desplazamientos o elongaciones; {ݔሶ} = matriz columna de velocidades; {_ݔሷ} = mariz columna de aceleraciones; y {f} = matriz columna de fuerzas excitantes. Tomando la transformada de Laplace de la ecuación III.19, y asumiendo que todas las condiciones iniciales son nulas, queda:

ൣ[݉]ݏଶ+ [ܿ]ݏ ൅[݇]൧{ܺ(ݏ) }ൌ ሼܨ(ݏ) } III.120

Para simplificar la ecuación anterior, se define el concepto de matriz de impedancia operacional del sistema que es:

[ܼ(ݏ) ] = [[݉]ݏଶ+ [ܿ]ݏ ൅[݇]] III.121

Por consiguiente,

[ܼ(ݏ) ]{ܺ(ݏ) }ൌ ሼܨ(ݏ) } III.122

[ܪ(ݏ) ] ൌ ሾܼ(ݏ) ]ିଵ III.123

Y por tanto:

{ܺ(ݏ) } = [ܪ(ݏ) ]ሼܨ(ݏ) } III.124

El número de puntos de medidamno puede ser mayor que el número de componentes del vector fuerza excitante; en caso contrario, algunas componentes del vector fuerza excitante pueden ser cero. La matriz de la función de transferencia se puede expresar por:

[ܪ(ݏ) ]ൌ ሾܼሺݏሻሿିଵ = ሾ஽(௦) ]

ୢୣ୲ሾ௓(௦) ] III.125

En donde [D(s)] es la matriz traspuesta de los adjuntos o cofactores de la matriz impedancia operacional [Z(s)], es decir, [D(s)] es la matriz adjunta de la [Z(s)]; ydet[Z(s)] es el determinante de la matriz [Z(s)]. La matriz [D(s)] y eldet[Z(s)] son polinomiales ens, por tanto, los elementos de la matriz [H(s)] son fracciones racionales en s; en consecuencia, es posible representar cualquier elemento de la matriz función de transferencia [H(s)] en forma de una fracción parcial. Si los polos del sistema son de multiplicidad unidad y el sistema tiene amortiguamiento pequeño, la matriz función de transferencia se escribe:

[ܪ(ݏ) ] = ∑ ሾ஺ೝ] ௦ି௣ೝ+ ሾ஺ೝೣ] ௦ି௣ೝೣ ௡ ௥ୀଵ III.126

En donde _݌௥ = polo del sistema = _{ߪ௥൅ ݆߱௥};_݌௥∗_{ൌ ߪ}

௥െ ݆߱௥;ߪ௥ = factor de amortiguamiento;

߱௥ = pulsación natural amortiguada; [ܣ௥] = matriz residuos para el modor; superíndicexindica

complejo conjugado; r = modo, yn = número de modos. La pulsación natural no amortiguada equivale a:

Ω௥ ൌ ඥߪ௥ଶ൅ ߱௥ଶ III.127

Y la fracción de amortiguamiento crítico:

Los vectores modales pueden describirse en función de la matriz [D(s)], que es la matriz adjunta de la matriz impedancia operacional [Z(s)]. Evidentemente:

[ܼ(ݏ) ][ܼ(ݏ) ]ିଵൌ ͳ ൌ ݉ܽݐݎ݅ݖ݅݀݁݊ݐ݅݀ܽ݀ III.129

Sustituyendo la ecuación III.125 en la III.129 y operando, queda:

[ܼ(ݏ) ][ܦ(ݏ) ] = det[ܼ(ݏ) ] [1] III.130

Y calculando esta ecuación última para cualquier raíz del espectro de raíces, _{ݏ ൌ ݌௥}, causa que el det[Z(s)] sea cero, y:

[ܼ(݌_௥) ][ܦ(݌_௥) ] = [0] III.131

Entonces, la ecuación III.131 tomando sólo la columnakde la matriz [D(݌_௥)] se escribe:

[ܼ(݌_௥) ]{ܦ(݌_௥) } = {0} III.132

Que es la solución homogénea de la ecuación III.120, con{ܨ(ݏ) } = {0}, para un polo cualquiera

ݏ ൌ ݌௥ del espectro de polos; y la columna k de la matriz [D(݌௥)] es el vector modal para aquel

polo_{ݏ ൌ ݌௥} salvo una constante de proporcionalidad; y en virtud de la ecuación III.125, también la columnak de la matriz [H(s)], evaluada para el polo ݏ ൌ ݌_௥, es el mismo vector modal salvo una constante.

Si la matriz función de transferencia [H(s)] está limitada a valores de s con parte real nula, resulta convertida en la matriz función respuesta frecuencia [H(߱)]. La matriz [H(߱)], en virtud de las relaciones de Betti-Mawell, es simétrica y, por tanto, también cada fila de la matriz [H(߱)] contiene información para la determinación de los vectores modales, salvo una constante de proporcionalidad.

Analógicamente a como se hizo para establecer la ecuación III.126, la matriz función respuesta frecuencia se escribe: [ܪ(߱) ] = ∑ ሾ஺ೝ] ௝ఠି௣ೝ+ ሾ஺ೝೣ] ௝ఠି௣_ೝೣ ௡ ௥ୀଵ III.133

En donde _{߱ ൌ}pulsación, o frecuencia angular, natural amortiguada; r = modo, [Α_௥] = matriz residuos para el modor; superíndicexindica complejo conjugado; ynnúmero de modos.

La forma matricial general se usa en los algoritmos de estimación de los parámetros modales, como un modelo matemático. Ordinariamente se supone unos modos reales, o amortiguamientos, o polos del sistema, en cuyo caso, la ecuación III.133 se simplifica mucho para el cálculo de los restantes parámetros modales.

La adquisición de datos modales se hace mediante procesos de señal digital con analizadores de transformada rápida de Fourier.

Los métodos de respuesta exponencial compleja amortiguada generalmente se aplican a la función de respuesta impulso. En la estimación de los parámetros modales, -frecuencia, amortiguamiento y modos-, se debe tener en cuenta que se acumulan los errores producidos en las sucesivas etapas de trabajo.