Sistemas cuánticos simples

Los SISTEMAS FÍSICOS que presentaremos como ejemplos de aplicación de la mecánica cuántica contienen partícu- las que se mueven en el espacio, sometidas, en algunos casos, a fuerzas conocidas. Conviene, entonces, explicar previamente lo que aquéllas significan para nosotros. Una partícula está caracterizada por una serie de pro- piedades constantes concentradas en un punto o región del espacio. Dichas propiedades incluyen: la masa, o can- tidad de materia, que puede ser considerada, en virtud de un famoso resultado de Einstein, como una forma de energía; la carga eléctrica positiva, negativa o nula; el tiempo de vida media, en el caso de las partículas inesta- bles, que decaen espontáneamente, se desintegran y dan nacimiento a otras partículas, de manera tal que la ener- gía inicial, dada por la masa, es igual a la energía final de todas las partículas producidas; y varias otras propiedades que se han descubierto en este siglo y que no menciona- remos, con excepción del "espín", que trataremos ense- guida. La teoría de las partículas elementales pretende sistematizar y explicar el valor de estas propiedades inter- nas de las partículas y las interacciones entre ellas, apli- cando la mecánica cuántica relativista, según lo requerido por los valores de acción y velocidad involucrados.

El espín de las partículas es una propiedad "interna" como la carga eléctrica o la masa, pero que tiene la extra- ña característica de acoplarse a las propiedades "externas" de rotación. Es por esto que a menudo se lo representa, acudiendo a una imagen "clásica", como una rotación de la partícula sobre sí misma, al estilo de un trompo. Pero tal representación es incorrecta, primero, porque no tie- ne mucho sentido hablar de la rotación de un punto y

segundo, porque el principio de incerteza indica que es imposible asignar con precisión el valor de un ángulo de rotación: fijar el ángulo de rotación con una incerteza cercana a una vuelta implica una incerteza en la velo- cidad de rotación tan grande como la velocidad misma. La rotación de un trompo puede ser descripta por un eje de rotación, en una orientación dada, y una velocidad de rotación (200 revoluciones por minuto, por ejemplo). Ambas cantidades pueden ser representadas conjunta- mente por una flecha (un vector, en lenguaje preciso) en la dirección del eje, cuyo largo corresponde a la velo- cidad de rotación multiplicada por una cantidad (mo- mento de inercia) que depende del valor de la masa en rotación. La cantidad así obtenida para el trompo se lla- ma "impulso angular", que es el impulso canónico aso- ciado a la coordenada generalizada que determina la posición angular del trompo (recordar lo visto en el ca- pítulo III). A diferencia del trompo, al que se puede ha- cer girar con mayor o menor velocidad, el espín de una partícula es una cantidad constante que no puede au- mentarse ni frenarse. Por ejemplo, los electrones tienen siempre el valor de espín, o impulso angular intrínseco, 1/2 (medido en unidades iguales a ћ). No podemos cam- biar el valor del espín del electrón, pero sí su orienta- ción, esto es, podemos cambiar la dirección de la flecha. Si elegimos una dirección cualquiera, arbitraria, y decidi- mos medir el espín del electrón en esta dirección, lo que medimos es la proyección de la flecha espín en la direc- ción elegida, y esperamos como resultado algún valor en- tre el máximo, +1/2, y el mínimo, - 1/2. Aquí, la natura- leza nos sorprende con el resultado de que solamente llegan a medirse los valores + 1/2 ó - 1/2, y nunca aparece algún valor intermedio. El impulso angular intrínseco, espín, a pesar de ser una flecha (vector), se comporta en

la medición más como una moneda que cae cara o ceca. Mucho mayor es el asombro cuando notamos que no existe ninguna forma de predecir cuál de los dos valores, 1/2 ó - 1/2, resultará en la medición.

Para aclarar esta situación consideremos la Figura 6, parte A, donde se representa un electrón con su espín orientado en dirección horizontal en su estado inicial. El estado de este sistema cuántico está entonces fijado por la propiedad Sh = 1/2, siendo Sh el observable corres- pondiente a la proyección del espín en la dirección hori- zontal. A dicho electrón le medimos el espín con un apa- rato que detecta la proyección del mismo en la dirección vertical, o sea, el observable Sv. Nuestra expectativa clási- ca sugiere que el aparato indicará que la proyección es nula. Sin embargo, el resultado obtenido indica uno de los dos posibles resultados finales: 1/2 ó - 1/2. Nada nos permite predecir en una medición cuál de los dos posi- bles resultados se realizará. Si repetimos el experimento un gran número de veces, el 50% de los resultados dará + 1/2 y el 50% restante - 1/2. La mecánica cuántica per- mite calcular dichos porcentajes, que variarán según sea la orientación inicial. Por ejemplo, si, inicialmente, el electrón estaba orientado con su espín a 45°, como en la Figura 6, parte B, la mecánica cuántica calcula, y los ex- perimentos lo confirman, que aproximadamente 85% de las veces mediremos 1/2 y el 15% restante - 1/2 (Figura 6, parte B). Se puede comprobar en forma experimental que, después de realizada la medición, el electrón per- manecerá con su espín orientado de la misma forma que indicó el aparato: vertical para arriba, si se midió l/2,y para abajo si se midió - 1/2. ¡La medición ha modificado drásticamente el estado del electrón! Como consecuen- cia de esto, la medición en este sistema cuántico no nos da mucha información sobre el estado previo, pero sí

nos dice con precisión cuál es el estado después de la me-