LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
6.11 Sistemas sometidos a una perturbación de carga
En la Fig. 6.29, se ve un sistema sometido a una perturbación. Cuando dos entradas (la señal de referencia y la perturbación) están presentes en un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la salida total. En el punto de suma se indica, ya
sea por medio de un signo más o un signo menos, la forma en que cada entrada se introduce al sistema.
Considere el sistema que aparece en la Fig. 6.29. Al examinar el efecto de la perturbación N
(s), se puede suponer que el sistema está inicialmente en reposo, con error cero, entonces se
puede calcular la respuesta CN(s) debida a la perturbación solamente.
Se puede hallar entonces que:
Fig. 6.29 Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación
Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede suponer que la perturbación es cero. Entonces es posible obtener la respuesta YR(s) a la entrada de
referencia R(s) de:
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta Y(s) debida a la aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la perturbación L(s) está dada por
Ejemplo 6.15
Ecuación característica de lazo abierto para perturbación de carga
a) general
b) Ejemplo
Considerar el sistema general de lazo abierto mostrado en la Fig. 6.30. La carga variable L(s) ingresa a través de una función de transferencia de lazo abierto del proceso GL(s). La variable manipulada M (s) ingresa a través de una función de transferencia del proceso de lazo abierto GM(s). La variable controlada Y(s) es la suma de los efectos de la variable manipulada y la carga variable. Recordar que si trabajamos en el dominio de Laplace se aplica el principio de superposición.
La Fig. 6.30b muestra un ejemplo específico: el proceso de dos tanques con calentamiento discutido en el Ejemplo 6.11. La carga variable es la temperatura de entrada To. La variable manipulada es la entrada de calor al primer tanque Q1. las dos funciones de transferencia GL(s) y GM(s) fueron discutida en el Ejemplo 6.11
La dinámica de este sistema de lazo abierto depende de las raíces de la ecuación característica, es decir las raíces del polinomio en el denominador de las funciones de transferencia del
denominador. Si todas las raíces caen en el lado izquierdo del plano s, el sistema de lazo abierto es estable. Para los dos tanques con calentamiento del ejemplo mostrado en la Fig. 6.30b, los polos de las funciones de transferencia de lazo abierto son s = 1 y s = - 1/5, así el sistema de lazo abierto es estable.
Notar que la función de transferencia GL(s) para el proceso de dos tanques con calentamiento tiene una ganancia de estado estacionario que tiene las unidades de oF/oF. La función de
transferencia GM(s) tiene una ganancia con unidades de oF/Btu/min.
Ejemplo 6.16
Ecuación característica y funciones de transferencia de lazo cerrado para perturbación de carga
Ahora colocaremos un controlador de retroalimentación sobre el proceso, como muestra la Fig. 6.31a. La variable controlada es convertida en una señal de medición de
Fig. 6.31 Sistema de lazo cerrado
proceso YM por el elemento sensor/transmisor H(s). El controlador de retroalimentación compara la señal de YM con la señal de setpoint deseada R, alimentando la señal de error E a través de un
controlador de retroalimentación cuya función de transferencia es GC(s) y produce una señal del controlador U. La señal proveniente del controlador cambia la posición de la válvula de control la cual varía el flujo de la variable manipulada M
La Fig. 6.31b da una representación del sistema de control de retroalimentación y un diagrama de bloques para el proceso de dos tanques con calentamiento con un controlador. Usaremos un sistema analógico electrónico con señales de control de 4 a 20 mA. El sensor de temperatura tiene un rango de 100 oF, así la función de transferencia H (despreciando cualquier dinámica en la medición de temperatura) es
La señal de salida del controlador P va a un transductor I/P que convierte 4 a 20 mA a una señal de presión de aire 3 a 15 psig para mover la válvula de control a través de la cual se adiciona vapor al proceso.
Ahora asumiremos que la válvula tiene una característica lineal y pasa suficiente vapor para adicionar 500 000 Btu/min al liquido en el tanque cuando la válvula esta completamente abierta. Entonces la función de transferencia entre Q1 y U (juntando la función de transferencia para el transductor I/P y la válvula de control) es
mirando el diagrama de bloques en la Fig. 6.31a, podemos ver que la salida Y(s) está dada por: Y = GL(s) L + GM(s) M (6.168)
Pero en este sistema de lazo cerrado, M(s) está relacionada a Y(s): M = GV(s)U = GV(s)GC(s)E = GV(s)GC(s) ( R - YM )
M = GV(s)GC(s) ( R - H(s) Y ) (6.169) Combinando las Ecs. (6.168) y (6.169)
Y = GL(s)L + GM(s) GV(s) GC(s) ( R - H(s) Y )
[1 + GM(s) GV(s) GC(s) H(s) ] Y = GL(s) L + GM(s) GV(s) GC(s) R
La Ec. (6.170) da las funciones de transferencia describiendo el sistema de lazo cerrado, así, estas son las funciones de transferencia de lazo cerrado. Las dos entradas son la carga L(s) y el setpoint R (s). La variable controlada es Y(s). Notar que los denominadores de ambas funciones de transferencia son idénticos.
Ejemplo 6.17
Las funciones de transferencia para el proceso de dos tanques calentados pueden ser calculadas a partir de las funciones de transferencia del proceso de lazo abierto y la función de transferencia del controlador de retroalimentación. Nosotros seleccionamos un controlador proporcional, de tal manera que GC(s) = Kc.
Notar que las dimensiones de la ganancia de este controlador son mA/mA, esto es, la ganancia es adimensional. El controlador toma un miliamperio de la señal (YM) y envía una señal de un miliamperio (U)
La función de transferencia de lazo cerrado para cambios en la carga es:
Si vemos las funciones de transferencia entre YM y R, debemos multiplicar la primera por H.
Notar que los denominadores de estas funciones de transferencia son idénticos. Notar también que la ganancia de estado estacionario de la servo función de transferencia de lazo cerrado YM /R no es la unidad; es decir, es un estado estacionario fuera del valor deseado (offset). Esto se debe al
controlador proporcional. Nosotros podemos calcular la razón YM /R en el estado estacionario igualando s a cero en la Ec. (6.173)
La Ec. (6.174) muestra que mientras más pequeña es la ganancia, mas pequeño es el offset.
Como la ecuación característica de cualquier sistema (lazo abierto o lazo cerrado) es el denominador de la función de transferencia que lo describe, la ecuación característica para este sistema es:
Esta ecuación muestra que la dinámica de lazo cerrado depende de las funciones de transferencia de lazo abierto (GM, GV y H) y de la función de transferencia del controlador de retroalimentación GC. La Ec. (6.175) se aplica para sistemas de simple entrada- simple salida (SISO). Nosotros
derivaremos las ecuaciones características para otros sistemas en los siguientes capítulos.
La primera función de transferencia en le Ec. (6.170) relaciona la variable controlada a la carga variable. Esta es la función de transferencia reguladora de lazo cerrado. La segunda función de transferencia de lazo cerrado en la Ec. (6.170) relaciona la variable controlada al setpoint. Esta es denominada servo función de transferencia de lazo cerrado.
Normalmente nosotros diseñamos el controlador de retroalimentación GC(s) para dar algún desempeño de lazo cerrado deseado. Por ejemplo, debemos especificar un deseado coeficiente de amortiguamiento de lazo cerrado.
Es de gran utilidad considerar la situación ideal. Si podríamos diseñar un controlador ideal fuera de cualquier consideración para la realización física, cuales deberían ser las funciones de transferencia reguladora y servo de lazo cerrado?. Claramente, desearíamos que una perturbación en la carga no tenga efecto sobre la variable controlada. Así, la función de transferencia reguladora de lazo cerrado es cero. Para cambios en el setpoint, nos gustaría que la variable controlada siguiera al setpoint en todo instante. Así, la servo función de transferencia ideal es la unidad.
Si vemos la Ec. (6.170) veremos que se pueden conseguir las dos situaciones si podemos simplemente hacer a Gc(s) infinitamente grande. Esto podría hacer al primer término cero y al segundo término la unidad. Sin embargo como se verá en el Cáp. 9, las limitaciones de estabilidad nos impiden conseguir esta situación ideal.
En lugar de considerar las funciones de transferencia del proceso, transmisor y válvula
separadamente, es conveniente combinarlas a todas ellas en una sola función de transferencia.
Fig. 6.32 Lazo de retroalimentación simplificado
Por consiguiente, el diagrama de lazo cerrado, mostrado en la Fig. 6.32 es mas simple. La ecuación que describe este sistema de lazo cerrado es:
Estas son la ecuaciones que usaremos en algunos casos debido a que es más conveniente. Tener en cuenta que la función de transferencia GM(s) en la Ec. (6.176) es una combinación de las funciones de transferencia del proceso, transmisor, y la válvula. La ecuación característica de lazo cerrado es: