Vuelo uniforme
3.4 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS
Dividiendo rABpor su magnitud, obtenemos un vector unitario que tiene la misma dirección que TAB:
e*s = — - = 0.667 i + 0.667 j + 0.333 k.
Ir*B|
Podemos ahora escribir el vector TAB como el producto de la tensión Tab en el cable A B y eAB:
T*s = Tab eAB = 7*s (0.667 i + 0.667j + 0.333 k).
Ahora expresamos de la misma manera los vectores de fuerza Tac y TAD en función de las tensiones TAC y TAB en los cables A C y A D . Los resultados son
(c) Vector de posición rAB.
Tac = r¿c (—0.408 i + 0.816 j - 0.408 k), T*D = 7*o (-0 .5 1 4 i + 0.686j + 0.514 k).
Con estas expresiones escribimos la suma de las fuerzas externas en función de las tensiones T/ifi, Tac y Tad:
£ F = 1 AB + TAC 4- T*0 — 1000 j
= (0.6677-*« - 0.4087*c - 0.5147*D) i
+ (0.6677*6 + 0.8167*0 + 0.6867*D - 1000) j
. + (0.3337*B - 0.4087*c + 0.5147*D) k
= 0.
Cada una de las sumas de las fuerzas en las direcciones x, y y z debe ser igual a cero:
E F , 0.6677*8 - 0.4087*c - 0.5147*D = 0, £ F V 0.6677*8 + 0.8167*c + 0.6867*o - 1000 = 0,
0.3337*8 - 0.4087*c +0.5147*0 = 0.
Resolviendo estas ecuaciones, las tensiones son TAB = 529 Ib, TAC = 648 Ib y Tad = 171 Ib.
COMENTARIO
Observe que en este ejemplo usamos varios de los procedimientos vistos en el capítulo 2. En particular, tuvimos que determinar las componentes de un vector de posición, dividir este vector por su magnitud para obtener un vector unitario con la misma dirección que una fuerza particular, y expresar la fuerza en fun ción de sus componentes escribiéndola como el producto del vector unitario y la magnitud de la fuerza.
— x
3
Ejemplo 3.6
El manguito C de 100 Ib de peso de la figura 3.27 está en equilibrio sobre la barra lisa bajo la acción del cable A C . Determine la tensión en el cable y la fuerza ejercida sobre el manguito por la barra.
Figura 3.27
- 1 0 0 j Ib
(b) Diagrama de cuerpo libre del manguito con las fuerzas ejercidas por su peso, el cable y la barra.
ESTRATEGIA
Para determinar fuerzas que actúan sobre el manguito, dibujamos su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas externas son su peso y las fuerzas ejercidas por el cable y la barra. Si resolvemos este ejemplo como el anterior, expresamos las fuerzas en función de sus componentes. Pero no conocemos la dirección de la fuerza ejercida por la barra. Como la barra lisa ejerce una fuerza de fricción despreciable, será normal a su eje. Entonces, podemos eliminar esta fuerza de la ecuación EF = 0 formando el producto punto de la suma de fuerzas con un vector unitario que sea paralelo a la barra.
SOLUCIÓN
Dibujo del diagram a de cuerpo libre Aislamos el manguito (Fig. a) y completamos el diagrama de cuerpo libre mostrando el peso del manguito, la fuerza T ejercida por la tensión en el cable y la fuerza normal N ejercida por la barra (Fig. b).
A plicación de las ecuaciones de equilibrio La suma de las fuerzas externas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre es
EF = T + N — 100j = 0. (3.7)
Sea eBD el vector unitario que va del punto B al punto D. Como N es perpendi cular a la barra, eBD • N = 0. Por tanto,
eBD • (EF) = eBD • (T - 100 j) = 0. (3.8) Interpretamos fácilmente la ecuación: la componente del peso del manguito paralela a la barra está equilibrada por la componente de T paralela a la barra.
Determinación de eBD: Determinamos el vector que va del punto B al punto D,
3.4 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS 107
rbd = (4 - 0)i + (0 - 7)j + (4 - 0)k = 4i - 7j + 4k (pies), y lo dividimos por su magnitud para obtener el vector unitario eBD:
rbd 4 . 7 4
e&D = ÍtbdI = 9 I _ 9 J 9
Descomposición deT en componentes: Para expresar T en función de sus componentes, necesitamos determinar las coordenadas del manguito C. Pode mos escribir el vector de B a C en función del vector unitario eBD,
r flc = 6&bd 2.671 — 4.67 j -f- 2.67 k (pies),
y luego sumarlo al vector que va del origen O a B para obtener el vector de O a C:
roe = rob + rBc = (7 j) + (2.67 i - 4.67 j + 2.67 k) = 2.67 i + 2.33j + 2.67 k (pies). Las componentes de este vector son las coordenadas del punto C.
Ahora podemos determinar un vector unitario con la misma dirección que
T. El vector de C a A es r e = (0 - 2.67) i + (7 - 2.33) j + (4 - 2.67) k = -2 .6 7 i + 4.67 j + 1.33 k (pies), y el vector unitario de C a A es eCA = = -0.482Í + 0.843 j + 0.241 k. Irod
Sea Tla tensión en el cable A C . Podemos entonces escribir el vector T como
T = Te CA = 7X-0.482Í + 0.843 j + 0.241 k).
Determinación c íe T j'N : Sustituyendo en la ecuación (3.8) las expresiones para eBD y T en función de sus componentes,
eBD • (T - 100 j) = 4 , 7 , 4 , 9 ¡ - 9 J + 9 k
• [—0.4827" i + (0.8437" - 100) j + 0.241 Tk]
= —0.7627” + 77.8 = 0, obtenemos la tensión T = 102 Ib.
Usando la ecuación (3.7) podemos ahora determinar la fuerza ejercida por la barra sobre el manguito:
N = - T + 100 j = —102(—0.482Í + 0.843 j + 0.241 k) + 100 j
I k ’
Problemas
3.55 Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equi librio son F, = 120i - 30j + 20k (Ib), F2 = -lOOi + 40k (Ib),
F3 y F4. ¿Cuál es la magnitud de F3 + F4?
3.56 La fuerza F = 5¡ (kN) actúa sobre el punto A de la figura P3.56, donde se unen los cables A B , A C y AD . ¿Cuáles son las tensiones en los tres cables?
Estrategia: Aísle parte del sistema de cables cerca del punto
A . Véase el ejemplo 3.5.
3.59 En la figura P3.59, el cable A B está unido a la parte su perior del poste vertical de 3 m de altura, y su tensión es de 50 kN. ¿Cuáles son las tensiones en los cables A O , A C y AD1
x
P3.56 P3.59
3.57 Considere el sistema de cables del problema 3.56. La fuerza F = Fi actúa en el punto A , donde se unen los cables
A B , A C y AD . La tensión en el cable A B es de 10 kN. Deter mine las tensiones en los cables A C y A D y la fuerza F.
3.58 Para soportar la tienda de campaña mostrada, la tensión en la cuerda A B debe ser de 40 Ib. ¿Cuáles son las tensiones de las cuerdas A C , A D y AEP.
4, 3) pie
3.60 Un globo meteorológico está sostenido por los cables
A B , A C y AD . La masa del globo y del gas que contiene es de 80 kg, y la fuerza de flotación (hacia arriba) sobre el globo es de 1000 N. ¿Qué valores tienen las tensiones en los cables?
B (16,0,16) m P3.60
P3.58
3.61 Considere el globo del problema 3.60. La masa del glo bo y del gas que contiene es de 80 kg. La tensión medida en el cable A B es de 150 N. ¿Qué valor tiene la fuerza de flotación? 4 .2 )
(0,
3.4 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS 109
3.62 La pequeña e s fe ra l mostrada pesa 20 Ib y sus coordena das son (4 ,0 ,6) pies. Está soportada por las placas lisas y planas
1 y 2, y por el cable A B . El vector unitario e, = *i + + ¡jk es perpendicular a la placa 1, mientras que el vector unita
rio e2 = — + n i + n k es perpendicular a la placa 2. ¿Qué
valor tiene la tensión en el cable?
P3.62
3.63 En la figura P3.63, el alpinista A está recibiendo ayuda de dos compañeros para subir la pendiente de hielo. Su masa es de 80 kg, y los cosenos directores de la fuerza ejercida sobre él por la pendiente son eos dx = -0.286, eos 8y = 0.429 y eos
6Z = 0.857. El eje y es vertical. Si el alpinista está en equilibrio en la posición mostrada, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas
AB y A C , y cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por la pendiente sobre el alpinista?
3.65 El manguito A de 200 kg mostrado se halla en equilibrio sobre el poste liso vertical bajo la acción del cable AB.
(a) Determine la tensión en el cable.
(b) Determine la fuerza ejercida por el poste sobre el manguito.
y
P3.65
3.66 El manguito A de 100 Ib se encuentra en equilibrio sobre la barra circular lisa bajo la acción del cable A B. La barra circu lar se halla en el plano x-y.
(a) Determine la tensión en el cable.
(b) Determine la fuerza normal ejercida por la barra sobre el manguito.
P3.63
3.64 Considere al alpinista A del problema 3.63. Para tratar de que las tensiones en las cuerdas sean menos desiguales, el alpinista B se mueve a la posición (4, 2, 0) m. ¿Cuáles son las nuevas tensiones en las cuerdas A B y A C y cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por la pendiente sobre el alpinista A l
o n n o
QDQO
o o a a □ □ □ □
oaaa
Ejemplos con computador_______
L os siguientes ejercicios y problem as se diseñaron para resolverse con calculadora programa- ble o com putador. E l ejercicio 7 es sim ilar a los ejem plos y problem as anteriores, excepto que la solución se debe obtener para un intervalo de dalo s de entrada (input). El ejemplo 3.8 conduce a una ecuación algebraica que se debe resolver numéricamente.
Ejemplo 3.7
El sistema de cables está diseñado para soportar una carga cuya masa sea de 1 Mg (megagramo). La longitud del cable A B es de 1 m, y b = 2 m. La altura de la carga se puede ajustar modificando la longitud del cable A C .
(a) Grafique las tensiones en los cables A B y A C para valores de la longitud del cable A C de 1.2 m a 2.2 m.
(b) Cada uno de los cables A B y A C puede soportar con seguridad una tensión igual al peso de la carga. Use los resultados de la parte (a) para calcular el inter valo admisible para la longitud del cable A C .
ESTRATEGIA
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la parte del sistema de cables en la que se unen los cables, podemos determinar las tensiones en éstos en función de la longitud del cable AC.
SOLUCIÓN
(a) Sean las longitudes de los cables L AB = 1 m y L AC. Podemos aplicar la ley de los cosenos al triángulo de la figura (a) para determinar a en función de Las'
ot = arccos( b2 + L \ B - L \ c \
V
2bLAR
) '
Usamos la ley de los senos para determinar 0:„ ILab sen a 0 - arcsen (—“ ---
Lac
Dibujo del diagram a de cuerpo libre Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la parte del sistema de cables en la que se unen los cables (Fig. b), donde
Tab y Tac son las tensiones en los cables.
(a)
(a) Determinación de los ángulos a y /3. h ttp ://c a rlo s 2 5 2 4 .jim d o .c o m /
(b) Diagrama de cuerpo libre de una parte del sistema de cables.
3.4 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS
Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Elegimos el sistema coor denado de la figura (b); las ecuaciones de equilibrio son entonces
LFX = ~ Tab eos a + TAC eos /3 = 0,
T,Fy = Tab sen a + TAC sen (3 — W = 0.
Despejando en estas ecuaciones las tensiones en los cables obtenemos
W eos 0
j — ---,
AB sen a eos 0 + eos a sen 0
_ ________W eos a ________
AC sen a eos 0 -I- eos a sen 0
Para calcular los resultados asignamos un valor a la longitud LAC y calculá- mos el ángulo a , luego el ángulo /3 y finalmente las tensiones TAB y TAC. En la figura 3.29, los valores resultantes de TAB/ W y TAC/ W se grafican como funciones de LAC.
(b) El intervalo admisible de la longitud del cable A C es aquel en el cual las tensiones en ambos cables son menores que W. En la figura 3.29 vemos que la tensión TAB excede a W para valores de LAC menores que aproximadamente 1.35 m, por lo que el intervalo seguro es LAC > 1.35 m.
Figura 3.29
Razones de las tensiones en el cable al peso suspendido, en función de LAC.
Figura 3.30
(a) Aislamiento del collarín.
♦ w (b) Diagrama de cuerpo libre.
80 60 40 m 20 0 -20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h, pies Figura 3.31
Gráfica de la función/( /i).
Ejemplo 3.8
El collarín A de 12 Ib se mantiene en equilibrio sobre la barra vertical lisa por el resorte. La constante del resorte k = 300 lb/pie, la longitud del resorte no estirado L0 = b y la distancia b - 1 pie. ¿Qué valor tiene la distancia /i?
ESTRATEGIA
Tanto la dirección como la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte sobre el collarín dependen de h. Dibujando el diagrama de cuerpo libre del collarín y aplicando las ecuaciones de equilibrio podemos obtener una ecuación para h.
SOLUCIÓN
Dibujo del diagram a de cuerpo libre Aislamos el collarín (Fig. a) y completamos el diagrama de cuerpo libre mostrando su peso W = 12 Ib, la fuerza F ejercida por el resorte y la fuerza normal N ejercida por la barra (Fig. b). A plicación de las ecuaciones de equilibrio Elegimos el sistema coor denado de la figura (b) y obtenemos las ecuaciones de equilibrio
E F , = N - ( , , , | F = 0,
E Fy = ( — - 1 - I F - W = 0 .
y
\
v p t p)
En función de la longitud del resorte L = \! h1 + b2, la fuerza ejercida por el resorte es
F = k(L — L0) = k ( J h 2 + b2 - b \ .
Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación de equilibrio, obtenemos la ecuación
Sustituyendo los valores de k, b y W encontramos que la distancia h es una raíz de la ecuación
/<‘> = ( ^ t ) ( ' /;7TT_i) - ' 2=0'
a9)
¿Cómo podemos resolver esta ecuación algebraica no lineal en /»? Algunas calculadoras y programas como el Mathcad y el TK! Solver pueden obtener raíces de tales ecuaciones. Otro método es calcular el valor de f( h ) para un inter valo de valores de h y graficar los resultados, como lo hicimos en la figura 3.31. De la gráfica calculamos que la solución es h = 0.45.
También podemos calcular numéricamente la solución usando el método de Newton-Raphson. Nuestro objetivo es obtener una raíz hr tal que f( h r) = 0 (Fig. 3.32a). Al principio del método escogemos un valor de h y lo denotamos con h0. El valor de la función en h0 es f(h 0) (Fig. 3.32b). Si extendemos una línea recta tangente a la función^/?) en h = h0 hasta el eje horizontal, cortará h ttp ://c a rlo s 2 5 2 4 .jim d o .c o m /
3.4 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE FUERZAS 1
a éste en un punto /i, (Fig. 3.32c). La pendiente de esta línea recta es igual a la derivada de / (h) evaluada en h0:
f ( h 0) h0 - h\
Despejando h¡ en esta ecuación obtenemos . . / ( / io)
«i = hn — /'(/«o)'
Si ahora extendemos una línea recta tangente a la función/ (h) en h = /i, hasta el eje horizontal, cortará a éste en un punto h2 (Fig. 3.32d). Como la pendiente de esta línea recta es igual a la derivada de f( h ) evaluada en h = hu
f ( h,) h\ - h2' podemos despejar h2: h2 = /i| - / ( * ,) /'(A i) /'(0.609) Figura 3.32 f(h ) m /'( * .)
Procediendo de la misma manera resolvemos recursivamente la ecuación
n„ - ft„-i - —— — -
para n = 1, 2 ,... Si los valores de hn convergen a una raíz hr, podemos detener la iteración cuando el valor de/ (h„) se reduzca a un valor razonablemente pe queño. Este método es fácil de programar.
La derivada de la ecuación (3.9) es
f \ h ) = 300{[(/i2 + 1) - 1/2 - h2(h2 + i r3/2][(/i2 + l) l / 2 - 1)
+ h2(h2+ I)"1}.
Si escogemos un valor inicial h0 = 1 pie, f ( h 0) = / ( l ) = 75.868. El primer paso da , , /(Ao) , / ( I ) 7 v ü j = ~ T m ” 0'609 y /(/» i) = / ( 0.609) = 14.636. El segundo paso da , , /( * • ) / (0.609) _ . h2 = h\ — = 0.609 — = 0.479 pie, m
(C) La línea recta tangente a /(/¡) en h0
prolongada hasta el eje horizontal.
Ah)
y f ( h 2) = / (0.479) = 2.127.
Procediendo de la misma manera obtenemos los valores mostrados en la tabla 3.2. Después de 7 pasos, el proceso converge en la solución h = 0.452 pies.
(d) La línea recta tangente a f(h) en h¡
Tabla 3.2 Valores de h„ y j\h„) n h„, pies f(h„ ) 0 1 . 0 0 0 75.868 1 0.609 14.636 2 0.479 2.127 3 0.453 0.091 4 0.452 0 . 0 0 0 COMENTARIO
El método de Newton-Raphson puede converger o no en una raíz diferente de la buscada. Cuando esto sucede, se debe usar un valor inicial diferente.
Problemas
3.67 (a) Grafique las tensiones en los cables A B y A C mos trados para valores de d de 0 a 1 . 8 m.
(b) Cada cable soportará con seguridad una tensión de 1 kN. Use su gráfica para calcular el intervalo admisible de valores de d.
3.68 El semáforo colgante mostrado pesa 110 Ib. Los cables
A B , BC, A D y DE tienen cada uno 11 pies de longitud. Deter mine la longitud mínima admisible del cable BD si las tensio nes en los cables no deben exceder de 1 0 0 0 Ib.
Estrategia: Grafique las tensiones en los cables para un in tervalo de longitudes del cable BD.
I m — 1 m
_ L
P3.67
P3.68
3.69 En la figura P3.69 el tablero de resultados A, que pesa 2000 Ib, está suspendido por los cables A B y A C sobre un esta dio deportivo. Cada cable tiene 160 pies de longitud. Suponga que se quiere desplazar el tablero acortando el cable A B y
manteniendo constante la longitud del cable A C .
(a) Grafique la tensión en el cable A fien función de su longitud para valores de ésta de 142 a 160 pies.
(b) Use su gráfica para calcular cuánto se puede levantar el ta-
» 40 pie