Sobre el porcentaje de área iluminada

Una vez solucionado el problema MaxA-p-Pv1(P), nos podemos hacer la siguiente pregunta: “¿existe alguna relación entre el número de vértices ndel polígono P y el área iluminada por la luz-punto de máxima iluminación?”. Evidentemente para un polígono concreto P la respuesta a esta pregunta no tiene ningún interés cientíÞco, pues existirán polígonos con100vértices por ejemplo, que se iluminarán totalmente, (siP es un polígono estrellado) y otros polígonos con el mismo número de vértices donde el porcentaje iluminado cambiará sustancialmente. Así, real- mente la pregunta a la que queremos dar respuesta en esta sección es la siguiente:

“Si tomásemos un número suÞcientemente grande de polígonos P con nvértices y calculáse- mos la luz-punto de máxima iluminación, ¿cuál sería en media el porcentaje de área iluminada?, ¿existe en media alguna relación entre ny el porcentaje de área iluminada?”

Este problema que hemos denotado comoPorA-p-Pv1(P)en la página 108, podemos enun- ciarlo de la siguiente manera:

porcentaje de área máxima iluminada por un punto interior a un polígono PorA-p-Pv1(P):

ENTRADA: Un polígonoP den vértices.

PREGUNTA: ¿Cual es el porcentaje medio máximo de área iluminada por1 luz interior aP? Para dar respuesta a esta pregunta se ha realizado un estudio empírico usando para ello dos de las heurísticas diseñadas para solucionar el problema MaxA-p-Pv1(P), como sonsimulated annealing (SA) y random search (RS), descritas en las Secciones 7.2 y 7.4 respectivamente. Utilizando el generador aleatorio de polígonos, (RPG), descrito en el Apéndice A, cuya imple- mentación se encuentra en el Apéndice B de listados, se han generado 50polígonos denvértices para todo n con 5 _≤ n _≤ 300 y múltiplo de 5. Es decir, se han generado aleatoriamente 50 polígonos con 5,10,15,20, ...,295,300vértices y a cada polígono se le ha aplicadoSAyRS,para obtener la luz-punto p de máxima iluminación, calculando a continuación el porcentaje de área iluminada por este puntopcon respecto al área total deP. Es importante destacar que no se ha utilizado en esta sección la mejor heurística respecto a la aproximación paraMaxA-p-Pv1(P), (como podría serGRAD), ni se ha utilizado la mejor combinación de parámetros deSA, (como podrían ser los descritos en el Caso 4). Esto ha sido debido a que el conjunto de polígonos sobre el que se han realizado las experimentaciones es muy grande, (3000polígonos aleatorios), y la utilización de una heurística de convergencia muy lenta haría interminable la obtención de conclusiones. Por ello, se han utilizado tanto para RS como para SA parámetros que permi- tan obtener conclusiones aceptables en tiempos también aceptables. Como comprobaremos más adelante la igualdad entre los resultados obtenidos por RS ySA nos permiten concluir que las respuestas obtenidas para PorA-p-Pv1(P) son coherentes.

Una vez obtenidas las correspondientes tablas de datos, se ha realizado un ajuste de datos exponencial, linealizando los datos a una función de la formaf(x) =CeAxy obteniendo el ajuste por mínimos cuadrados, en el intento de buscar una relación para el problemaPorA-p-Pv1(P).

1. Generar aleatoriamente 50polígonos denvértices, _∀n_∈N, con N =_{5m /1_≤m_≤60_}. 2. Para cada polígono generado obtener dos soluciones paraMaxA-p-Pv1(P). Una mediante el algoritmo heurístico basado enSA, tomando conT0 = 100.0 y decrecimiento de tempe-

raturaF SAy otra medianteRS generando en el interior del polígono una nube de puntos de cardinal constante e igual a1000.

3. Para cadan_∈N, obtener la media de los resultados obtenidos. 4. Buscar el ajuste por mínimos cuadrados más adecuado.

Vért. _\Pol. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 38.15 88.33 87.76 80.44 89.53 93.38 87.93 49.82 50.86 94.82 40 29.09 49.57 63.71 46.07 67.39 71.36 55.91 41.46 56.95 61.95 60 28.22 31.95 47.51 41.98 56.16 37.02 35.45 35.68 42.92 51.89 80 27.40 23.53 27.61 47.52 34.49 38.03 41.68 33.68 23.85 36.91 100 25.68 34.85 29.40 18.99 37.07 30.78 38.26 30.75 20.93 32.76 120 35.21 39.01 31.39 33.71 18.55 23.19 24.78 28.02 24.74 35.44 140 16.88 29.70 12.59 21.39 34.36 30.80 21.57 24.69 15.73 17.58 160 14.45 19.68 20.45 30.09 22.47 18.83 34.61 18.76 31.06 26.67 180 21.23 11.79 17.64 35.82 19.42 12.83 20.03 14.51 24.34 24.81 200 6.43 9.67 14.23 17.42 13.53 6.21 13.71 32.08 6.16 16.54 Tabla 7.17:Resumen de resultados obtenidos paraPorA-p-Pv1(P)con SA

Dado que las tablas de resultados obtenidas son excesivamente extensas, presentamos en la Tabla 7.17 y en la Tabla 7.18 los resultados obtenidos de forma resumida para un número reducido de vértices y de polígonos.

Vért._\Pol. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 82.89 80.54 60.07 86.71 76.62 94.39 78.95 63.88 81.79 91.03 40 60.53 63.05 53.96 81.23 65.50 66.11 61.69 43.68 69.58 69.10 60 57.29 48.58 40.50 54.07 48.22 27.06 27.71 33.65 32.42 31.74 80 36.85 53.25 29.35 33.21 33.28 28.70 30.06 44.87 36.20 42.30 100 32.03 28.61 36.72 25.92 25.84 25.66 31.08 21.58 31.30 28.68 120 37.69 19.90 45.24 21.85 18.87 23.03 35.73 22.96 23.00 21.07 140 25.14 21.88 22.89 32.33 25.44 25.03 28.20 27.11 35.05 23.36 160 26.00 22.19 18.82 27.86 22.01 29.07 24.94 23.58 33.95 22.37 180 17.68 19.72 19.97 15.94 15.01 18.13 21.47 19.47 17.96 16.10 200 29.27 17.97 16.98 23.44 14.07 24.09 18.67 15.24 19.59 18.28 Tabla 7.18:Resumen de resultados obtenidos paraPorA-p-Pv1(P)con RS

Los resultados expuestos pertenecen a los 10 primeros polígonos estudiados para cada número de vértices entre5y200, (n_∈T conT =_{10m /2_≤m_≤20_}). En la primera tabla presentamos los resultados obtenidos con SA y a continuación igualmente un subconjunto de los resultados obtenidos con RS se exponen en la Tabla 7.18.

Una vez obtenidos los porcentajes de iluminación, se ha realizado _∀n _∈ N, donde N = _{5m / 1 _≤ m _≤ 60_} la media aritmética del porcentaje de área iluminada en cada polígono. Estos resultados en relación con el número de vértices se presenta en la Tabla 7.19, para los datos obtenidos con SA.

Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc.

5 98.6566 65 44.2580 125 27.8563 185 19.3340 245 13.2700 10 94.9616 70 41.2938 130 26.7448 190 17.3852 250 11.6692 15 90.3411 75 36.0209 135 26.3963 195 17.2018 255 13.0079 20 79.5730 80 36.2998 140 23.3431 200 17.4670 260 12.8916 25 71.1568 85 35.5531 145 25.6746 205 12.9919 265 12.6103 30 66.4919 90 33.5678 150 22.5237 210 14.8448 270 10.8111 35 58.9272 95 33.1926 155 23.2230 215 13.7625 275 11.2890 40 55.3656 100 33.1054 160 24.0753 220 13.8101 280 12.6866 45 56.2684 105 29.4391 165 21.5645 225 14.0747 285 11.5929 50 51.0337 110 28.9052 170 19.7577 230 14.9315 290 11.3349 55 48.4308 115 30.1182 175 20.8267 235 12.7207 295 11.8130 60 44.3851 120 29.0504 180 19.4689 240 13.8738 300 9.8661

Tabla 7.19:Media de procentajes obtenidos paraPorA-p-Pv1(P)con SA

La Tabla 7.20 muestra los porcentajes medios de área iluminada obtenidos con random search, (RS). Cabe destacar en este caso que los resultados medios obtenidos son mejores que los obtenidos para el algoritmo SA, (como se concluía en la Sección 7.6).

Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc. Vért. Porc.

5 99.9963 65 40.6310 125 27.5746 185 19.2084 245 16.2833 10 95.5174 70 43.9509 130 26.9230 190 18.9315 250 15.6145 15 86.6315 75 40.2370 135 26.9035 195 19.2759 255 15.8374 20 80.2708 80 37.9494 140 26.4575 200 19.4373 260 15.4738 25 78.8411 85 34.9265 145 23.5207 205 18.7137 265 15.6835 30 67.0270 90 35.0069 150 25.2084 210 18.5222 270 14.7700 35 65.1300 95 34.5968 155 21.8473 215 17.6543 275 13.8955 40 59.7022 100 33.7020 160 22.8641 220 17.1431 280 15.4472 45 52.8365 105 32.4159 165 24.3561 225 16.3656 285 15.0835 50 51.5249 110 31.4142 170 22.1526 230 17.7643 290 14.3062 55 51.3046 115 29.8624 175 22.1181 235 16.5838 295 14.7489 60 45.8039 120 28.5371 180 20.4027 240 16.4227 300 12.5990

Tabla 7.20:Media de procentajes obtenidos paraPorA-p-Pv1(P)con RS

Se ha realizado a continuación un ajuste por mínimos cuadrados para los puntos que rela- cionan el número de vértices con el porcentaje medio iluminado. Exponemos a continuación el mecanismo de linealización seguido.

Linealización de datos a la función y=CeAx

Dado un conjunto dempuntos con las abcisas distintas_{(xi, yi)}mi=1 hemos aproximado por una

curva exponencial de la forma

y=CeAx (7.7.19)

Tomando logaritmos en ambos lados de la igualdad tenemos:

ln(y) =Ax+ ln(C) (7.7.20)

y realizando el cambio de variablesY = ln(y),X=x yB= ln(C), resulta la realción lineal con las nuevas variables X e Y:

Y =AX+B (7.7.21)

Los puntos originales(xi, yi) (1≤i≤m)se han transformado con el cambio de variables en (Xi, Yi) = (xi,ln(yi)). Este proceso se denominamétodo de linealización de datos. Las ecuaciones normales de Gauss para la ecuación Y =AX+B serán las de la recta de regresión en mínimos cuadrados de los puntos_{(Xi, Yi)}mi=1:

( A¡Pm_i=1X2 i ¢ +B(Pm_i=1Xi) =Pmi=1XiYi A(Pm_i=1Xi) +mB =Pmi=1Yi (7.7.22)

Conocidos los valores de los coeÞcientes A y B, se halla el valor del parámetro C = eB. Aplicando este mecanismo a los datos expuesto en las Tablas 7.19 y 7.20 se ha obtenido un ajuste exponencial, que se analiza a continuación y que muestra como la disminución de área sigue un decrecimiento exponencial en función de los vértices del polígono.

Ajuste de datos obtenido

La función exponencial obtenida utilizando este mecanismo de ajuste por mínimos cuadrados para ajustar los datos de la Tabla 7.19 es:

fSA(x) = 90.775448 e−0.00938x (7.7.23)

En la Figura 7.16 presentamos los resultados de la Tabla 7.19 y el ajuste exponencial obtenido. Como se puede observar la curva de datos se ajusta satisfactoriamente a fSA(x), de donde podemos concluir que el porcentaje de área iluminado por la luz-punto de máxima iluminación disminuye de forma exponencial. Analógamente en la Figura 7.17 presentamos los resultados del mismo estudio pero realizados con el algoritmo deRS, y que ajustarán por tanto los resultados presentados en la Tabla 7.20. Como se puede observar también la curva de datos se aproxima satisfactoriamente a la curva obtenida para el ajuste exponencial, que es en este caso:

Presentamos en la Figura 7.18 la comparativa de las gráÞcas obtenidas para el ajuste ex- ponencial para el algoritmo SA como RS, que muestra evidentemente como los resultados obtenidos por ambas extrategias aportan la misma conclusión aproximada para el problema PorA-p-Pv1(P), esto es, que existe en media una relaciónCe−Ax entre el número de vértices de un polígono P y el porcentaje iluminado por la luz-punto de máxima iluminación interior a P.

Ajuste exponencial para SA T0 = 100 Tk= T0 /1+k

Figura 7.16:Ajustes por mínimos cuadrados paraMaxA-p-Pv1(P)con SA

Ajuste exponencial para RS Puntos = 1000

Comparativa de ajuste exponencial entre SA y RS

Figura 7.18:Comparativa de ajuste cuadrático con SA y RS