Sobre las figuras del narrador y del lector

1  48.08  24.48  0.22  3.29  186.7  318.8  0.30  4.90  27.48  0.32  2  49.90  22.61  0.21  3.32  189.9  313.4  0.31  4.93  28.33  0.35  3  49.82  23.52  0.22  3.41  192.9  321.2  0.31  5.04  27.67  0.35  4  47.83  22.44  0.24  3.21  181.7  304.8  0.29  4.70  28.53  0.30  5  48.00  22.68  0.22  3.05  175.2  291.9  0.29  4.80  28.01  0.32 

Average  48.73  23.14  0.22  3.26  185.3  310.0  0.30  4.87  28.00  0.32 

Std. Dev.  1.04  0.86  0.01  0.14  7.01  11.95  0.01  0.13  0.44  0.02 

COV (%)  2.14  3.69  5.16  4.21  3.78  3.86  3.58  2.72  1.56  6.95 

4.3 Sensitivity Analysis 

An  essential  step  when  developing  a  modeling  methodology  is  to  analyze  the  model  sensitivity  to  variations  in  input  parameters.  A  sensitivity  analysis  provides  insight  into  the  internal  function  of  a 

model and helps to develop understanding and intuition on how the variation of the input parameters  propagates through the model.

The  input  parameters  to  the  model  may  be  divided  into  three  groups:  (1)  emissions  (or  fuel  consumption) measurements over the baseline cycles, (2) cycle’s properties for the unseen cycle, and (3)  cycle’s  properties  for  baseline  cycles.  There  are  many  ways  to  do  sensitivity  analyses.  An  analytical  sensitivity  analysis  based  on  partial  derivative  was  done  for  the  inputs  of  groups  (1)  and  (2)  because  those terms appear explicitly in equations 21 and 22. For group (3), the input‐output is somewhat more  complicated so an empirical sensitivity analysis was conducted for a “typical” model. 

4.3.1 Sensitivity to Emissions Measurements and Unseen Cycle Properties 

The model output can be written mathematically in two equivalent ways. Equations 21 and 22 represent  the model for the case of prediction of fuel consumption (FC) using three baseline cycles. Equation 21  shows  the  relationship  between  model  output  (predicted  FC)  and  the  inputs  of  measured  FC.  On  the  other hand, Equation 22 shows the relationship between model output (predicted FC) and the inputs of  baseline cycles’ (or routes’) properties. The equations are equivalent and are just two different ways of  representing the model (the equation of the plane defined by the three baseline cycles).  

· · ·                 (21) 

· ·                  (22)   

Sensitivity functions for the model can be defined in terms of partial derivatives. The absolute‐sensitivity  of the function F to variations in the parameter x is given by Equation 23 (Smith et al., 2008). 

      (23) 

The  relative‐sensitivity  of  the  function  F  to  variations  in  the  parameter  x  is  defined  by  Equation  24  (Smith et al., 2008). 

∆

∆       (24) 

The  sensitivity  functions  are  used  to  calculate  changes  in  the  output  due  to  changes  in  the  inputs  or  model parameters. They are useful to compare the effects that different parameters have on the output  of  the  model.  The  absolute  sensitivity  functions  show  the  most  important  parameters  for  a  fixed  size  change in the parameters, while the relative‐sensitivity functions show the most important parameters  for a certain percent change in the parameters (if the relative‐sensitivity function has a value of 10, that  means that 1% change in the input parameter produces a 10% change in the output of the model).  

For the model under study the absolute sensitivity functions for the measured FC (Equations 25, 26, and  27), and for the unseen cycle properties (Equations 28 and 29) are calculated from Equations 21 and 22,  respectively. The analytic sensitivity functions for the measured fuel consumptions and the unseen cycle  properties  are  constants  so  the  sensitivities  to  changes  on  these  parameters  do  not  depend  on  the  variability  of  other  input  parameters.    Note  that  the  linear  interpolation  methodology  produces  a  different  model  for  each  attempted  (unseen  cycle)  prediction,  and  therefore  these  constants  will  be  different for each prediction made.    

(25)   

        (26) 

        (27) 

       (28) 

       (29) 

Because of the linear nature of the model (a plane in this case), the partial derivatives at each point will  remain  constant regardless of where the point is in the surface.  Variations in  emission measurements  and  input  properties  will  affect  the  outcome  of  the  model  in  a  linear  fashion.  For  example,  if  fuel  consumption for all the baseline cycles varies by 10%, the unseen cycle predicted fuel consumption will 

also vary by 10%. If the level of variation is different for each baseline cycle, the expected variation will  depend  on  the  relative  weights  of  the  baseline  activity  but  its  value  will  never  surpass  the  level  of  variation of the most variable measurement.  

4.3.2 Sensitivity to Baseline Cycle Properties 

Variations in properties of the baseline cycle values will affect the calculation of the weight coefficients  of the baseline cycles. At the same time, the changes to the weight coefficients are going to affect the  output of the model (predicted FC for the unseen cycle). Due to the fact that the equations describing  the  input‐output  relationship  in  this  case  are  complicated  (for  this  specific  example  there  are  three  equations and three unknowns) a static sensitivity test was applied where a ±10% variation was applied  to the property values and the change in predicted values was calculated and analyzed. A “typical” case  was  selected  for  illustration  purposes.  One  should  have  in  mind  that  the  methodology  produces  a  different model per each attempted prediction. The weight coefficients will vary for each prediction and  performing an individual sensitivity analysis for each model will prove cumbersome. 

Vehicle J (see Section 5.2.1, Table 16)  was selected for this  part of the study. A  model was generated  using three baseline routes (Idle, WashPA2, and WashPA3) and two route properties (standard deviation  of speed, and average positive road load power). CO₂ mass rate emissions for five different routes were  predicted. Baseline properties were varied +/‐10% one metric at a time. The sensitivity analysis results  for this “typical” model are summarized in Table 13. It can be seen that the sensitivity factors (SF) varied  from 0.15 to 0.85. The model seems to be more sensitive to road load power (SF from 0.64 to 0.85) than  to  standard  deviation  of  speed  (SF  between  0.15  and  0.24).  Individual  prediction  errors  varied  from  1.69% to 8.82% for the different cases. Weight coefficient values showed more sensitivity varying from  7%  to  148%.  Note  that  if  all  the  metrics  (baseline  and  unseen)  were  varied  the  model  would  have  produced the same results (being a linear model, the new system of equations would be the same as the  original system multiplied by some factor). The use of relative‐sensitivity functions in this case allows a  comparison  of  parameters’  changes  on  model  outputs  because  they  are  dimensionless  normalized  functions. One drawback of using the partial derivative to quantify the influence of an input parameter  is that the partial derivative is influenced by the units of measurement of the parameter. 

Table 13 Static sensitivity analysis for a “typical” case 

   Variation (%)  Weight coefficients  Unseen  Route 

CO2 mass rate (g/s) 

Error (%)  SF  StdSpeed  AvPosRLP   w1  w2  w3  Measured  Predicted 

Base Case 

0  0  0.15  0.58  0.27  WashPA1

23.3  21.4  ‐8.3  0 

Varying standard deviation of speed  10  0  0.22  0.44  0.34  WashPA1

23.3  21.0  ‐10.0  0.19 

10  0  0.01  0.64  0.34  BM2Sab

27.0  24.8  ‐8.1  0.20 

10  0  ‐0.06  0.14  0.92  Sab2BM

39.0  32.8  ‐16.0  0.15 

10  0  ‐0.14  0.20  0.94  Sab2SW

34.6  34.6  0.2  0.16 

10  0  ‐0.08  0.19  0.89  SW2Sab

32.1  32.7  2.1  0.16 

‐10  0  0.07  0.76  0.17  WashPA1

23.3  21.9  ‐6.2  0.23 

‐10  0  ‐0.17  1.05  0.13  BM2Sab

27.0  26.0  ‐3.9  0.24 

‐10  0  ‐0.25  0.55  0.70  Sab2BM

39.0  33.9  ‐13.1  0.19 

‐10  0  ‐0.35  0.65  0.70  Sab2SW

34.6  35.9  3.7  0.19 

‐10  0  ‐0.27  0.61  0.66  SW2Sab

32.1  33.9  5.7  0.19 

Varying average positive road load power 

0  10  0.16  0.67  0.17  WashPA1

23.3  20.0  ‐14.1  0.64 

0  10  ‐0.06  0.93  0.13  BM2Sab

27.0  23.7  ‐12.2  0.64 

0  10  ‐0.13  0.48  0.65  Sab2BM

39.0  31.0  ‐20.7  0.70 

0  10  ‐0.22  0.57  0.65  Sab2SW

34.6  32.7  ‐5.3  0.70 

0  10  ‐0.14  0.53  0.61  SW2Sab

32.1  30.9  ‐3.5  0.70 

0  ‐10  0.14  0.47  0.39  WashPA1

23.3  23.0  ‐1.1  0.78 

0  ‐10  ‐0.09  0.69  0.39  BM2Sab

27.0  27.3  1.1  0.78 

0  ‐10  ‐0.17  0.14  1.03  Sab2BM

39.0  36.1  ‐7.4  0.85 

0  ‐10  ‐0.26  0.20  1.06  Sab2SW

34.6  38.2  10.5  0.85 

0  ‐10  ‐0.19  0.19  1.00  SW2Sab

32.1  36.1  12.5  0.85