Algunas consideraciones teóricas polémicas sobre los problemas matemáticos
C. Dimensión motivacional: Se engloban en ella las particularidades de los
C.2 Sistema de autovaloraciones y expectativas positivas: Un aprendiz
2.3 La solución de problemas aritméticos como importante competencia Aunque no existe consenso entre los didactas de la Matemática en distinguir
entre resolver y solucionar un problema; en general, se considera que la
resolución de un problema consiste en hallar la solución del mismo, o sea,
determinar la respuesta correcta; mientras que la solución de un problema es el conjunto de operaciones o transformaciones que se han de efectuar para hallar la respuesta del mismo.
Para algunos autores como Fridman, L.M. (1995) y Labarrere, A. (1987) la
esencia en la solución de un problema verbal, desde el punto de vista matemático,
consiste en la construcción de su modelo matemático.
Se entiende como modelo matemático, para este tipo de problemas, la construcción de un sustituto de este tipo de ejercicio, donde se reproducen determinadas condiciones o relaciones matemáticas esenciales del problema que permiten realizar en él ciertas transformaciones, como si fueran hechas en el problema original.
La construcción del modelo matemático actúa como el tránsito del lenguaje cotidiano o común (texto original del problema), a un lenguaje estrictamente matemático (modelo del problema).
Por tanto, construir el modelo matemático coincide con lo que usualmente denominamos determinar la vía de solución del problema.
Ahora bien, construir el modelo matemático, desde mi punto de vista, es la parte fundamental en la solución del problema matemático, pero después de realizado éste, es preciso ejecutar lo planteado, es decir, efectuar los cálculos, las operaciones, las diferentes transformaciones, entre otras, que permiten tener acceso a la respuesta. Además, se debe encontrar la respuesta correcta.
Es por ello, se debe aspirar tanto a encontrar la vía de solución como de
hallar la respuesta correcta. Por tanto, se aceptará en este artículo los términos solución y resolución de problemas como sinónimos.
Por otra parte, la modelación gráfica puede o no utilizarse en la construcción del modelo matemático; ello dependería de las características, tanto del problema como del resolutor. En caso de emplearse puede ser el único modelo a realizar o puede complementar a otro tipo de modelación abstracta.
A continuación se ejemplificarán con los siguientes problemas lo que se ha terminado de afirmar:
Ejemplo: "Se distribuyen 475 pollos diariamente durante 5 días. Si se deben distribuir 2700 pollos. ¿Cuántos pollos faltan por distribuir?" (tomado del libro de
texto de Matemática 3er. Grado, p. 135)
En este problema se describe en el lenguaje común un hecho: la distribución de pollos.
Lo conocido en el mismo es: la cantidad de pollos que se distribuyen diariamente: 475; la cantidad de días en que son distribuidos los pollos: 5 y la cantidad total de pollos que se deben distribuir: 2 700.
Lo desconocido y que se debe hallar es: la cantidad de pollos que faltan por distribuir.
Pudiera ocurrir que un alumno necesite, para comprender mejor el problema, utilizar la modelación gráfica, en particular la lineal. En este caso dibujaría lo siguiente:
Figura 2
Con el apoyo de este modelo y con la aplicación de los significados prácticos de la multiplicación y la sustracción se deben efectuar las operaciones.
2 700 – (475 x 5) = ?
Precisamente esta expresión es el modelo matemático del problema que permite hallar la solución correcta.
Se puede apreciar que el modelo gráfico es un complemento de apoyo para obtener el modelo matemático que permite resolver el problema.
En este caso se ha usado un modelo aritmético para resolverlo.
Ejemplo: "Un cuaderno es cuatro veces tan caro como un lápiz. Este es 75 ¢ más barato que el cuaderno. ¿Cuánto cuesta cada uno?"
Primera vía: Es posible que a algunos alumnos les resulte difícil comprender este
texto, entonces pudieran utilizar la construcción de un modelo gráfico para lograrlo:
Figura 3
Este modelo lineal con rectángulos permite a los escolares plantearse el
modelo aritmético para resolver el problema:
(75 : 3) x 4 = a (precio del cuaderno) a – 75 = b (precio del lápiz)
475 475 475 475 475 ?
Cantidad total a distribuir: 2.700
Cantidad distribuida Falta por distribuir lápiz cuaderno
1
2
3
4
75 ¢Segunda vía: Si el alumno domina la solución de ecuaciones lineales de primer
grado pudiera plantearse el siguiente modelo: Sea x: precio del lápiz
4x: precio del cuaderno Luego 4x – x = 75
Tercera vía: Si se utiliza la modelación tabular con el apoyo del tanteo inteligente se construiría la siguiente tabla:
Tabla 1 PRECIO DIFERENCIA LÁPIZ CUADERNO 10 ¢ 40 ¢ 30 ¢ 20 ¢ 50 ¢ 60 ¢ 25 ¢ 100 ¢ 75 ¢
El tanteo inteligente se manifiesta en que sean capaces de descubrir que cada vez que aumenta 10 ¢ el lápiz, la diferencia aumenta en 30 ¢: luego si el
aumento es de 5 ¢ la diferencia aumentará en 15 ¢.
En esta oportunidad el empleo de la modelación gráfica sirvió, tanto para comprender el problema como para descubrir la vía de solución y simultáneamente de resolverlo.
De lo anterior se infiere que la construcción del modelo matemático está en correspondencia con determinado análisis del problema. Por supuesto, este análisis depende de preparación matemática del resolutor así como del tipo de actividad cognoscitiva que despliegue.
Diversos autores señalan que la principal dificultad en la elaboración de los modelos matemáticos de los problemas, radica en que muchas veces al alumno le resulta difícil representarse las relaciones implicadas o contenidas en el texto y expresarlas con el grado de abstracción que involucra dicho modelo.
Precisamente es por ello, que en este acto es donde el escolar debe desplegar una mayor actividad cognoscitiva. Esto tiene particular importancia en el plano didáctico pues en este componente, es donde se debe prestar una especial atención en la labor del maestro.
Conclusiones
En los conceptos de problema y situación problemática asumidos prevalece el componente didáctico, por la importancia que este tiene en el proceso de enseñanza aprendizaje de la solución de problemas. Esto se manifiesta con mayor énfasis en la cuarta condición establecida en la caracterización de un problema: que se ajusten a la realidad los elementos estructurales y/o relaciones lógicas entre estos. Sirve de fundamental condición previa para la formulación de problemas.
Los docentes deben aspirar a que sus estudiantes siempre sientan necesidad de resolver los problemas que ellos le proponen, por lo que este proceso se convertiría en una actividad de estudio para los resolutores; mediante la
aplicación de determinadas acciones desarrollarían la habilidad correspondiente, que poco a poco adquirirían la capacidad pertinente y finalmente por la realización de un trabajo sistemático e intencional serían alumnos competentes en la solución de problemas.
Una de las metas a alcanzar por los estudiantes al enfrentarse a un problema matemático sería determinar la respuesta correcta (resolución del problema) pero para ello, primeramente deberían ejecutar un conjunto de transformaciones (solución del problema). La esencia de este proceso y resultado es construir el
modelo matemático que permitiría determinar la vía de solución para luego
realizarla, hasta encontrar su solución. Bibliografía
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Manuel Capote Castillo. Pinar del Río 1945, doctor en Ciencias Pedagógicas y Profesor
Titular de Matemática y su Didáctica. Departamento de Primaria, Facultad Educación Infantil, Universidad de Ciencias Pedagógicas, Pinar del Río, Cuba. Líneas de investigación: Estudio de los problemas matemáticos y Didáctica de la Matemática para la Educación Primaria. [email protected]