Capítulo 2. Metodología
2.2 Procesado e inversión de datos geofísicos
2.2.2 Sondeos TEM
Al igual que los SEVs, los modelos de capas son de los más utilizados a la hora de invertir datos de sondeos TEM. Esta inversión a modelos de capa se realiza con la misma técnica linealizada de mínimos cuadrados que se explicó en la sección anterior, sin embargo, el problema directo es obviamente diferente a los SEVs. El problema directo en el caso de los sondeos TEM consiste en calcular el voltaje transitorio que es inducido en el receptor por una fuente, que en el caso de este trabajo, es una espira cuadrada. La forma en la que decae este voltaje revela información sobre la distribución de la resistividad en el subsuelo, ya que la distribución de las corrientes inducidas es dependiente de la resistividad.
Actualmente, la solución del problema directo sólo es posible resolviéndolo primero en el dominio de la frecuencia y transformándolo luego al dominio del tiempo. Para entender el fundamento teórico detrás de la resolución de este problema, usualmente se considera primero el caso de una espira circular, para luego pasar al caso más general de una espira cuadrada (el más usado en sondeos TEM).
El cálculo del voltaje inducido en una bobina horizontal en el centro de una espira circular se puede resumir en tres pasos (Flores, 2000; López-Moya, 2011): transformada de Hankel, transformada inversa seno de Fourier y corrección de rampas. A continuación se describe brevemente cada una de estas etapas.
Transformada de Hankel
La primera etapa consiste en determinar la componente vertical del campo magnético en el dominio de las frecuencias, la cual se expresa mediante una transformada de Hankel (Ryu et al, 1970):
𝐻(𝜔) =𝐼𝑎
2 ∫ 𝐾(𝜆, 𝜔, 𝜌𝑗, 𝑒𝑗)𝐽1(𝜆𝑎)𝑑𝜆 ∞
0
(11)
Donde I es la intensidad de la corriente continua en el transmisor antes de cortarla, a es el radio de la espira, λ es la variable de integración, K es el kernel de la transformada, ω es la frecuencia angular,
ρj y ej son las propiedades del modelo (resistividades y espesores de las N capas), y J1(λa) es la función
Bessel de primer orden. El kernel de (12) se calcula de acuerdo a Wait (1962):
𝐾(𝜆, 𝜔, 𝜌𝑗, 𝑒𝑗) = 2𝑌0𝜆 𝑌0+ 𝑌̂1
(12)
Donde Y0=λ/ (iωµ0) la admitancia intrínseca del aire y 𝑌̂1 es la admitancia superficial, la cual se
calcula de forma iterativa desde la última capa, con 𝑌̂1= 𝑌𝑁:
𝑌̂𝑛= 𝑌𝑛
(𝑌̂𝑛+1+ 𝑌𝑛) + (𝑌̂𝑛+1− 𝑌𝑛)𝑒𝑥𝑝(−2𝑢𝑛𝑒𝑛) (𝑌̂𝑛+1+ 𝑌𝑛) − (𝑌̂𝑛+1− 𝑌𝑛)𝑒𝑥𝑝(−2𝑢𝑛𝑒𝑛)
𝑛 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2, … ,1 (13)
Donde 𝑌𝑛= 𝑢𝑛/𝑖𝜔𝜇0 , 𝑢𝑛= (𝜆2+ 𝛾𝑛2)1/2, 𝑖 = (−1)1/2. Se define como número de onda (o constante de propagación) de la n-ésima capa como 𝛾𝑛= (𝑖𝜔𝜇0/𝜌𝑛) y la permeabilidad magnética del espacio libre 𝜇0= 4𝜋 𝑥 10−7 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦/𝑚. Con un cambio de variables, la transformada de Hankel se transforma en una integral de convolución, la cual luego se evalúa con el filtro y la rutina de cálculo de Anderson (1979).
Transformada de Fourier
En esta etapa la solución de la componente vertical del campo magnético en el dominio de las frecuencias Hz(ω) se transfiere al dominio del tiempo para calcular el voltaje transitorio inducido en la
bobina receptora. Esto se hace por medio de la transformada inversa seno de Fourier sobre la parte imaginaria del campo magnético:
𝑉𝑒(𝑡) = −2𝜇𝐴 𝜋 ∫ 𝐼𝑚 ∞ 0 [𝐻𝑧(𝜔)]𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝜔 (14)
Donde A es el área efectiva de la bobina receptora. Nuevamente, esta integral se puede evaluar como una convolución mediante un cambio de variable, calculándola numéricamente con los filtros publicados por Anderson (1975).
Corrección de rampas
El voltaje de la expresión (15) corresponde a la respuesta de un escalón teórico, producida por una corriente que se apaga de manera instantánea en t=0 (Figura 14a). La tercera etapa incorpora la corriente real del equipo TEM57 usado en campo, la cual no es un escalón, sino varios pulsos trapezoidales y periódicos (Figura 14b). Al hacer esta corrección, es ahora posible comparar los voltajes calculados con los medidos. Esta corrección es la convolución entre la corriente real del equipo (Figura 14b) y el voltaje teórico de la expresión (15).
Figura 14. Forma de la corriente inyectada en la espira transmisora. a) Forma teórica (escalón). b) Forma real.
Tomado y modificado de Flores (2000).
De acuerdo a Fitterman y Anderson (1987), el efecto que la corriente real tiene sobre (15) se puede calcular como la suma de todas las rampas de corriente anteriores a t=0:
𝑉(𝑡) = ∑ 𝑃𝑖(𝑉𝑒(𝑡))
∞
𝑖=1
(15)
En la expresión anterior, 𝑃𝑖 es un operador de promediado de 𝑉𝑒(𝑡) en una ventana de ancho 𝑡𝑟 dado por la integral:
𝑃𝑖(𝑉𝑒(𝑡)) = 1 𝑡𝑟 ∫ 𝑉𝑒(𝜏)𝑑𝜏 𝑡+𝑡𝑟 𝑡 (16)
Flores (2000) evalúa esta integral con el método de Simpson de cinco puntos. Para explicar cómo funciona esta corrección, se explicará el caso de la corrección por el efecto de cuatro rampas antes a t=0 (figura 14b):
𝑉 (𝑡) = ∑ 𝑃𝑖(𝑉𝑒(𝑡)) 4 𝑖=1 = 1 𝑡𝑟 [∫ 𝑉𝑒(𝜏)𝑑𝜏 𝑎+𝑡𝑟 𝑎 − ∫ 𝑉𝑒(𝜏)𝑑𝜏 − ∫ 𝑉𝑒(𝜏)𝑑𝜏 𝑐+𝑡𝑟 𝑐 𝑏+𝑡𝑟 𝑏 + ∫ 𝑉𝑒(𝜏)𝑑𝜏 𝑑+𝑡𝑟 𝑑 ] (17) Donde 𝑎 = 𝑡, 𝑏 =𝑇4− 𝑡𝑟, 𝑐 = 𝑇 2+ 𝑡𝑟, 𝑑 = 3𝑇
4 − 𝑡𝑟, con T= periodo de la corriente y 𝑡𝑟 =ancho de la rampa. Sin embargo, para utilizar la expresión anterior se requiere conocer además de 𝑉𝑒, voltajes en cuatro tiempos adicionales mayores. Para evitar calcular estos voltajes, además de acelerar el tiempo de cómputo del algoritmo, Flores (2000) adoptó el método propuesto por Levy (1984), según el cual es posible convertir respuestas medidas TEM (con forma de una rampa lineal) en tiempos tardíos, a respuestas idealizadas que corresponden a apagados instantáneos (es decir, debidos a un semiespacio homogéneo). Con esta suposición, los voltajes tardíos se aproximan asintóticamente a una recta de pendiente -2.5 en el espacio log-log (Flores, 2000; López-Moya, 2011).
Espira rectangular
Como se mencionó arriba, el proceso numérico descrito hasta aquí corresponde a una espira circular. Sin embargo, no es práctico tender este tipo de espiras en el campo. Es por esto que espiras con geometría rectangular o cuadrada (la usada en este trabajo) son las más utilizadas en el campo. El cálculo del voltaje transitorio inducido por una espira de esta geometría requiere de una integración del campo de un dipolo eléctrico a lo largo del alambre que forma la espira.
Flores (2000), utiliza el método de dipolos equivalentes de Stoyer (1990), el cual muestra ser más eficiente en cuanto a tiempo de cómputo de esta integración (hasta por un factor de 10) respecto a otros métodos de integración. Este autor, basándose en las propiedades asintóticas de un bipolo de corriente en tiempos tempranos y tardíos, propuso aproximar cada lado de la espira con uno o más dipolos equivalentes.
A pesar de que el voltaje en función del tiempo puede usarse como la respuesta del subsuelo derivada del proceso de inversión, en trabajos geofísicos el formato más común de presentación de los datos en sin duda el de una función de resistividad aparente, que para el caso de sondeos TEM se le conoce como resistividad aparente tardía (que llamaremos sólo resistividad aparente por brevedad). Se define mediante la siguiente expresión (Kaufman y Keller, 1983):
𝜌𝑎= 1 𝜋[( 𝑚 𝐴 20 𝑣) 2 (𝜇0 𝑡) 5 ] 1/3 (18)
Donde m es el momento de la espira (corriente por el área de la espira transmisora). Al igual que al invertir los datos de los SEVs, en la inversión de los TEMs se intentó obtener los mejores ajustes con modelos de pocas capas. Además, en la inversión se tomó en cuenta los datos de pozos, para constreñir el modelado. Cuando el ajuste de los datos era bueno, se tomó en cuenta además la resolución de los parámetros invertidos mediante el uso de la Descomposición en Valores Singulares.
Al usar la SVD, no solo regularizamos la inversión, sino que contamos con una herramienta para evaluar la resolución de los parámetros invertidos. No sólo es importante encontrar un modelo con buen ajuste, es igualmente importante evaluar la resolución de los parámetros del modelado. Es práctica común en la inversión escalar los elementos de la matriz de Jacobianos J mediante su división entre la desviación estándar del dato (σi) y multiplicarlos por el parámetro pj:
𝐽𝑖𝑗= 𝑝𝑗 𝜎𝑖 𝜕𝑐𝑖 𝜕𝑝𝑗 = 1 𝜎𝑖 𝜕𝑐𝑖 𝜕[ln(𝑝𝑗)] (19)
Esto tiene varios propósitos:
a) J es adimensional, con lo que se puede comparar las sensibilidades de resistividades con las de espesores.
b) Cuando un dato tenga una incertidumbre grande, el correspondiente elemento de J no se le da mucho peso en la inversión.
c) Al usar los logaritmos de los parámetros se evita obtener valores negativos de resistividad o espesor de una capa.
d) Permite identificar la presencia de equivalencia.
En la inversión de este trabajo, se intentó alcanzar un equilibrio entre un error de ajuste bajo, buena resolución de los parámetros (en el caso de que los datos tuvieran buen ajuste), y un modelo que tuviera sentido geológico. Por último, tanto el proceso de modelado directo e inverso de datos fue realizado con programación computacional elaborada por el Dr. Carlos Flores Luna.