Sucesiones espectrales
3.1. La sucesión espectral de una filtración
Comenzaremos dando algunas definiciones preliminares, para posterior- mente introducir la definición de una sucesión espectral de una filtración de un complejo en la categoría abelianaAb.
En toda esta SecciónAbes una categoría abeliana.
Un complejo(K•, d)enAbes una sucesión de morfismos de objetos en
Ab(se llaman las diferenciales del complejo)
· · ·−→dn−1 Kn−→dn Kn+1 d−→ · · ·n+1
tal quedn◦dn−1 = 0, es decir Im(dn−1) ⊆ Ker(dn)para todo n ∈ Z. La cohomología de gradondel complejo(K•, d)es
Hn(K•) = Zn
Bn,
dondeZn= Ker(dn)es un objeto enAbcuyos elementos se llaman cociclos.
Bn = Im(dn−1)es un objeto enAbcuyos elementos se llaman cofronteras.
Un subcomplejo(L•, d)del complejo(K•, d)consiste de una familia de objetos{Lp}
p∈Z enAb, dondeLp ⊆ Kp yd(Lp) ⊆ Lp+1 para cada p ∈ Z. El complejo cociente(J•, d)es definido porJ• =K•/L•.
Una filtraciónF(K•)del complejo(K•, d)es una colección de subcom- plejos{(Fp(K•), d)}
p∈Z del complejo(K•, d)tal queFp+1(K•) ⊆ Fp(K•) para cadap∈Z,es decir, una sucesión decreciente de subcomplejos
· · · ⊆Fp+1(K•)⊆Fp(K•)⊆ · · · La filtración se llama
• regularsi para cadaiexistenital queFp(K•)∩Ki = 0parap > ni.
• exhaustivasi para cadaiexiste un enteromital queKi ⊆Fmi(K•). El complejo (ordinario)(GrF(K•),d˜)asociado a la filtraciónF(K•)es:
GrF(K•) = M p∈Z GrpF(K•) = M p∈Z Fp(K•) Fp+1(K•), donde la diferenciald˜es inducida por la diferenciald.
Definimos los objetos bigraduados enAb
Zp,q
r :={x∈Fp(Kp+q)|d(x)∈Fp+r(Kp+q+1)} parap, q ∈Zyr∈Z.
ComoFp(Kp+q+1)⊆Fp+r(Kp+q+1)parar ≤0, entoncesZp,q
r =Fp(Kp+q) parar ≤0.Tenemos por lo tanto la siguiente sucesión de inclusiones
3.1. La sucesión espectral de una filtración 27 Sea Ep,q r := Zp,q r d(Zrp−−1r+1,q+r−2) +Zrp−+11,q−1 parap, q ∈Zyr≥0.
Vamos a construir la diferencial
dr :Erp,q→Erp+r,q−r+1. (3.1) como sigue.
Si a ∈ Ep,q
r es representado por algún x ∈ Fp(Kp+q) tal que d(x) ∈
Fp+r(Kp+q+1). Entonces d(x)es un represente ded
r(a). Demostremos que está bien definido; independientemente de la elección dex; se necesita verifi- car que parax∈Zrp−+11,q−1(K•), la clase ded(x)enEp+r,q−r+1
r es trivial. Esto es claro, ya qued(x)∈d(Zrp−+11,q−1(K•))tiene clase cero enEp+r,q−r+1
r .
Proposición 3.1.1. Tenemosdr◦dr = 0,y la cohomología
Ker(dr :Erp,q →Erp+r,q−r+1)/Im(dr:Erp−r,q+r−1 →Erp,q)
se identifica canónicamente conErp,q+1.
Demostración. Describimos el grupo A = Ker(dr : Erp,q → Erp+r,q−r+1). Éste consiste en las clases en Ep,q
r representadas por algún x ∈ Fp(Kp+q) tal que d(x) = d(z) +y, donde y ∈ Fp+r+1(Kp+q+1) y z ∈ Fp+1(Kp+q) cond(z) ∈ Fp+r(Kp+q+1). Esta clase es representada también por x−z la
cual satisfaced(x−z) =y∈ Fp+r+1(Kp+q+1). Se tiene una aplicación bien
definida f : A → Erp,q+1 la cual aplica la clase de x a la clase de x−z. El núcleo de esta aplicación consta de la clase dex∈Fp(Kp+q)tal quex−z es de la formax−z =u+d(v), parau∈Zp+1,q−1 r (K•)yv ∈Zrp−r,q+r−1(K•). Se tiene queu ∈ Fp+1(Kp+q),d(u) ∈Fp+r+1(Kp+q+1),v ∈Fp−r(Kp+q−1) yd(v) ∈ Fp(Kp+q). Por lo tanto[x] ∈ Ep,q r es igual a dr([v]), donde [v] ∈ Ep−r,q+r−1
r . Así el núcleo de f esta contenido en la imagen de dpr−r,q+r−1. Tomemos b en la imagen de dp−r,q+r−1
r , entonces existe c ∈ Erp−r,q+r−1 tal que dp−r,q+r−1
r (c) = b. Sea w ∈ Fp−r(Kp+q−1) tal que d(w) ∈ Fp(Kp+q) algún representante dec; se tiene que
dpr−r,q+r−1(c) = [d(w)] = b,
como dr ◦ dr = 0 entonces la clase d(w) ∈ A. Por lo tanto, f([d(w)]) =
[d(w)−z]para algúnz ∈Zrp−+11,q−1tal qued(w)−z =y∈Fpp++qr+1+1. Entonces
[d(w)]está en el núcleo def. Así la imagen de dp−r,q+r−1
r está contenida en el núcleo def.
Tenemos los términosE0 = (E0p,q, d0),E1 = (E1p,q, d1),E2 = (E2p,q, d2),
etc. de la sucesión espectral de la filtración F(K•) del complejo (K•, d) en Ab; cada uno de ellos da un complejo, con la diferencial dr de bigrado
(r,−r+ 1)y la cohomología del complejo Er es igual a Er+1 esto se sigue
por la Proposición 3.1.1. Además, tenemos que para cadap, q ∈Z
a) E0p,q = FFpp((KKpp++qq)) = GrFp(Kp+q). b) E1p,q = Z1p,q d(Z0p−r+1,q+r−2)+Z0p+1,q−1 = Hp+q( Fp(K•) Fp+1(K•)) = Hp+q(Grp F(K•)).
Estamos interesados en la cohomología Hn(K•) del complejo(K•, D). Introducimos una filtración deH∗(K•)poniendo
Fp(Hq(K•)) = Fp(Zq) Fp(Bq). El complejo asociado es GrF(H∗(K•)) = M p,q∈Z GrFp(Hq)(K•), donde GrpF(Hq(K•)) = F p(Hq(K•)) Fp+1(Hq(K•)).
En analogía con la definición de los términosEr, se puede también definir esto como sigue. SeaZp,q
∞ := {x ∈ Fp(Kp+q) : d(x) = 0} los cociclos en
Fp(Kp+q), y sea Bp,q
∞ := Fp(Kp+q)∩Im(d) las cofronteras en Fp(Kp+q).
Zp,q
∞ yB∞p,qson objetos enAb. Ahora definimos
Ep,q ∞ := Zp,q ∞ B∞p,q+Z∞p+1,q−1 . Lema 3.1.2. Parap, q ∈Z Ep,q ∞ =GrpF(Hp+q(K•)).
3.1. La sucesión espectral de una filtración 29 Demostración. Ep,q ∞ = Z p,q ∞ Bp,q∞+Z∞p+1,q−1 = {x∈FFpp(K(Kpp++q)q∩):Im(d(x)=0d) } ∼= Fp(Zp+q)/Fp(Bp+q) Fp+1(Zp+q)/Fp+1(Bp+q) = FFp+1p(H(Hp+p+q(qK(K•))•)) = GrFp(Hp+q(K•)).
El caso en el cual los términosEr se aproximan aE∞ se hace preciso en la próxima proposición.
Proposición 3.1.3. SeaF(K•)una filtración del complejo(K•, d). Supónga-
se que para cadantenemos enterosmn ≤ qntales queKn∩Fqn(K•) = 0
yKn ⊆ Fmn(K•). Sea r =r(n) = max(q
n+1−mn, qn−mn−1).Entonces
para cualquierptenemos
Erp,n−p =Erp,n+1−p =· · ·=E∞p,n−p.
Demostración. Los únicos valores de p para los cuales Ep,n−p
s puede ser no cero están en el intervalo {mn,· · · , qn}. La diferencial ds : Esp,n−p →
Ep+s,n−p−s+1
s es por lo tanto cero sis ≥qn+1−mn. Esto muestra que parar como en la afirmación, está diferencial y la diferencialdr :Erp−r,n−p+r−1 →
Ep,n−p
r son cero. Tenemos queEsp,n+1−p = Esp,n−p paras ≥ r. El mismo argu- mento muestra queEp,n−p
s =E∞p,n−pparas≥rsuficientemente grande. Cuando la condición de la Proposición 3.1.3 se cumple para todo py n
(pararconveniente el cual puede depender de(p, n)), decimos que la sucesión espectral converge aEp,q
∞.La Proposición 3.1.3 dice que si la filtraciónF(K•) es regular y exhaustiva, la sucesión espectral es convergente. Frecuentemente se dice que la sucesión espectral “converge aHn(K•).”
Decimos que una sucesión espectralse colapsaenErsi tenemos queEr =
Er+1 =· · ·=E∞.
Proposición 3.1.4. Considérese un complejo con una filtración regular y ex- haustiva. Supóngase que para algunos enteros p y r ≥ 2, se cumple lo si- guiente: Para cadantenemos queEn−l,l
r = 0paral 6=p, entonces la sucesión
espectral se colapsa enEr y para cadan tenemos un isomorfismo canónico
Hn(K•)−→∼ En−l,l r .
Demostración. Sabemos que la sucesión espectral converge. Por lo tanto es suficiente demostrar queEs =Es+1 para cualquiers ≥ r. Supóngase verda-
dero parar ≤ s0 < s. Entonces tenemos que En−l,l
s = Ern−l,l por la supo- sición inductiva y es cero a menos quel = p. La diferencial ds : Esn−l,l →
En−l+s,l−s+1
s sólo podría ser no cero si l = p y l −s + 1 = p, lo cual es imposible ya ques≥ 2. Por lo tantoEs =Es+1.Paras≥ rsuficientemente
grande tenemos queEn−l,l
r = E∞n−l,l peroE∞n−l,l converge aHn(K•), por lo tanto tenemos el isomorfismo canónico
Hn(K•)−→∼ Ern−l,l.
Tenemos queE1p,q=Hp+q(Fp(K•)/Fp+1(K•)). La diferencial
d1 :Hp+q(Fp(K•)/Fp+1(K•))→Hp+q+1(Fp+1(K•)/Fp+2(K•))
es el homomorfismo de conexión en la sucesión exacta de complejos
0→Fp+1/Fp+2 →Fp/Fp+2 →Fp/Fp+1 →0.
Un morfismoφ :Ep,q
r → (E0)p,qr de sucesiones espectrales es una collec- ción de morfismos φr : Erp,q → (E0)rp,q para cada r ≥ 0 tal qued0r ◦φr =
φr ◦dr. Dados dos complejos (K•, d) y (L•, d0) con filtraciones F(K•) y
G(L•)respectivamente, un morfismo φ : K• → L• se dice que es compa- tible con la filtración siφ(Fp(K•)) ⊆ Gp(L•)para todo p. Talφ induce un morfismo de sucesiones espectrales.
Proposición 3.1.5. SeanE••
r y(E0)••r sucesiones espectrales convergentes y
φr : Erp,q →(E0)p,qr un morfismo de sucesiones espectrales. Si para algúns,
φses un ismorfismo, entoncesφres un ismorfismo para todor≥s, incluyen-
dor =∞.
Demostración. Por hipótesis tenemos que paras∈Z
φs :Esp,q →(E0)p,qs (1)
es un isomorfismo. Por definición de un morfismo de sucesiones espectrales se tiene que:
3.2. La sucesión espectral de un complejo doble 31 Por las propiedades de las sucesiones espectrales tenemos que:
Esp,q+1 ∼=H(Ep,q s ) y
(E0)p,q
s+1 ∼=H((E0)p,qs ),
entoncesφs+1 :Esp,q+1→(E0)p,qs+1es un isomorfismo por(1)y(2). Por lo tanto
φr : Erp,q → (E0)p,qr es un isomorfismo parar ≥ s, incluyendo ar = ∞ ya que ambas sucesiones espectrales son convergentes.
Esta proposición es utilizada para comparar las diferentes cohomologías de un complejo enAb.