Metaheuristic For Solving Supply Management Problem with Lower-Bounded Demands
TÉCNICAS PROPUESTAS DE RESOLUCIÓN
El SMPLD es un problema NP-difícil, es decir, que es un problema en el que no podemos garantizar encontrar la mejor solución en un tiempo polinómico razonable mediante un método exacto. Los métodos heurísticos se utilizan, cuando no existe un método exacto de resolución para el problema considerado o cuando existe un método exacto que consume mucho tiempo para ofrecer la solución óptima. Sin embargo, los heurísticos llegan a estancarse con facilidad en óptimos locales, es por ello que diseñaron nuevas estrategias o mecanismos específicos para escapar de óptimos locales, orientando la búsqueda en cada momento dependiendo de la evolución del proceso de búsquedas, llamando a estas metaheurísticas. Las metaheurísticas son procedimientos de búsqueda inteligente que no garantizan la obtención del óptimo sin embargo son capaces de generar buenas soluciones con un consumo razonable de recursos.
A continuación se describen las técnicas metaheurísticas empleadas en este trabajo:
Ascenso a la montaña (HC por las siglas en inglés de Hill Climbing): es un algoritmo iterativo que comienza con una solución arbitraria a un problema, luego intenta encontrar una mejor solución variando incrementalmente un único elemento de la solución. Si el cambio produce una mejor solución, otro movimiento incremental se realiza sobre la nueva solución, repitiendo este proceso hasta que no se puedan encontrar mejoras.
Búsqueda Local Multi-arranque (MSLS por las siglas en inglés de Multi-Start Local Search): es un algoritmo iterativo en el cual cada iteración implica dos fases. En la primera fase, se construye una solución, ya sea aleatoriamente o mediante un procedimiento heurístico. Una vez que se tiene una solución al problema, en la segunda fase, dicha solución generada se mejora (aunque no es necesario) mediante un algoritmo de búsqueda local o incluso otra metaheurística. Este procedimiento se repite un determinado número de veces, hasta que se satisface un criterio de paro. Nótese que cada ejecución del algoritmo embebido es completamente independiente de las demás.
Recocido simulado (SA, por las siglas en inglés de Simulated Annealing): es un algoritmo iterativo que inicia con un cierto estado original 𝑠. Mediante un proceso particular al problema tratado, genera un estado vecino 𝑠′ al estado actual. Si la energía, o evaluación mediante la función objetivo, del estado nuevo 𝑠′ es menor (es decir mejor, para un problema de minimización) que la del estado actual 𝑠, el primer estado se cambia por el segundo. Si, al contrario, la evaluación del estado nuevo 𝑠′ es mayor que la de 𝑠, entonces se puede eventualmente aceptar este deterioro de la función objetivo eligiendo 𝑠′ en lugar de 𝑠 bajo una cierta probabilidad que depende de la diferencia de calidad entre las soluciones y del valor actual de un parámetro de operación, la temperatura. Esta temperatura va decreciendo en el transcurso del proceso de búsqueda, de tal manera que la probabilidad de aceptar
una solución deteriorando la función objetivo disminuye. La posibilidad de elegir un estado peor al actual es el mecanismo que le permite a SA salir de óptimos locales para poder llegar al óptimo global.
Algoritmo genético (GA, por las siglas en inglés de Genetic Algorithm): es un algoritmo iterativo en el cual se genera una población de soluciones candidatas. Cada solución candidata tiene un conjunto de propiedades que pueden ser mutadas y alteradas. La evolución suele partir de una población de individuos generados al azar. Posteriormente, en cada generación, se evalúa la aptitud de cada individuo en la población. Los individuos más aptos son seleccionados estocásticamente de la población actual, y el genoma de cada individuo es modificado (recombinado y posiblemente mutado al azar) para formar una nueva generación. La nueva generación de soluciones candidatas se utiliza entonces en la siguiente iteración del algoritmo. El algoritmo termina cuando se ha producido un número máximo de generaciones, o se ha alcanzado un nivel de aptitud satisfactorio para la población.
METODOLOGÍA
Con el objeto de comparar el desempeño de las cuatro metaheurísticas diseñadas, en todas ellas implemeto el mismo número de llamadas a la función objetivo ( puesto a que el tiempo de computo, depende del equipo, del sistema operativo y de la arquitectura del procesador). El cual se establecio en 50000 llamadas a la función objetivo (2000 para cada uno de los 25 arranques de la Búsqueda Local Multi-arranque y 5000 generaciones para el Algoritmo Genético ya que la población era de 10 individuos).
La generación de las soluciones iniciales (única o población), fue aletaroria sin embargo se implementaron tecnicas de forma que no salieran de la región factible del problema, esto para evitar una reparación de las soluciones. De igual manera, para generación de vecinos (o de hijos y mutantes, en el caso del Algoritmo Genético), se evitó la reparación de estos, es decir, solo se aceptaban soluciones que se encontraran en la región factible de las soluciones (método de pena de muerte).
La calibración de parámetros de Recocido Simulado y Algoritmo Genético, se realizó a través de fuerza bruta. Para ello se asigna un valor fijo a los parámetros, excepto a uno, el cual se modificaba entre los límites permitidos. Se elige aquel que muestre mejor desempeño y se repite el proceso, tomando un parámetro diferente y resignándole valores.
Para cada una de las técnicas se realizaron 20 corridas en cada una de las instancias, registrando el mejor valor obtenidopara compararlo con las demás. En la seccion siguiente se muestran los resumtados numericos para cada serie del banco de instancias con los mejores valores obtenidos de cada metaheurística y el mejor valor encontrado en la literatura.
Posteriormente, se analizo el comporamiento de las cuatro metauristicas en cada una de las series de las instancias. Para ello se realizo la prueba de wilkocxon sobre los resultados ontenidos.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Se resolvieron cada una de las instancias con las cuatro metaheurísticas implementadas, para comparar el desempeño de éstas, y también contra los mejores valores reportados en la literatura especializada.
En la Tabla 1 se muestran los resultados de la serie RAN, en la cual se comparan las técnicas implementadas y el mejor valor encontrado en la literatura especializada.
Serie RAN
Instancia encontrado Mejor valor Ascenso a la montaña Multi-Arranque Recocido Simulado Algoritmo Genético
ran13×13 3252 7838 5340 4741 3366 ran12×21 3664 7282 5424 4648 3828 ran14×18 3712 6794 6460 4683 3883 ran 4×64 9711 12894 10897 10856 9857 ran8×32 5247 10240 7761 6046 5373 ran16×16 3823 6896 6629 5263 4022 ran10×26 4270 7399 7058 5761 4432 ran17×17 1373 5452 3111 1969 1530
En la Tabla 2 se muentran los resutados de la prueba de Wilckoxon. Se observa que en esta serie de problemas el comportamiento de los métodos es diferente destacandose el comportemiento del GA sobre el resto de las técnicas.
HC MS SA GA
HC Falso Verdadero Verdadero Verdadero
MS Verdadero Falso Verdadero Verdadero
SA Verdadero Verdadero Falso Verdadero
GA Verdadero Verdadero Verdadero Falso
Tabla 2.- Resultados Wilckoxon para la serie RAN
En la Tabla 3 se muestran los resultados de la serie H, en la que destaca el Algoritmo Genético por tener los mejores resultados, sin alcanzar el mejor reportado.
Serie H
Instancia encontrado Mejor valor Ascenso a la montaña Multi-Arranque Recocido Simulado Algoritmo Genético
h_0 1208672 1218593 1215215 1214040 1209585 h_1 1204194 1212640 1212584 1210474 1204804 h_2 1192687 1201281 1199708 1196397 1192866 h_3 1188904 1194841 1192315 1191664 1189856 h_4 1209357 1219051 1214068 1215304 1210290 h_5 1202258 1211541 1211491 1205360 1202283 h_6 1201097 1210620 1203833 1202674 1201509 h_7 1172931 1180939 1182218 1182070 1173783 h_8 1198108 1205835 1203741 1205024 1198153 h_9 1192529 1202120 1198072 1201158 1192625 h_a 1233688 1242656 1239034 1243490 1233925 h_b 1208211 1215718 1212211 1213405 1208906 h_c 1209685 1216558 1214111 1211318 1209750 h_e 1185378 1193902 1187171 1192106 1185612
Tabla 3.- Comparación de resultados para la serie H
En la Tabla 4 se muentran los resutados de la prueba de Wilckoxon. Se observa que en esta serie de problemas el comportamiento de los métodos MS y SA es similar, sin embargo estas son diferntes de HC y GA.
HC MS SA GA
HC Falso Verdadero Verdadero Verdadero
MS Verdadero Falso Falso Verdadero
SA Verdadero Falso Falso Verdadero
GA Verdadero Verdadero Verdadero Falso
Tabla 4.- Resultados Wilckoxon para la serie H
En la tabla 5 se muestran los resultados numericos sobre la serie S. Por otro lado en la tabla 6 se muestran los resultados de la prueba de Wilckoxon.
Serie S
Instancia encontrado Mejor valor Ascenso a la montaña Multi-Arranque Recocido Simulado Algoritmo Genético
s_1 613951 658730 620416 618786 614251 s_2 631219 674807 639322 633436 631232 s_3 627294 668368 636498 628787 627687 s_4 634609 679964 642656 638852 635082 s_5 605145 623997 613636 607301 605484 s_6 669346 717299 673878 670244 669539 s_7 602737 645346 611018 604112 602868
s_8 645843 670114 651560 647828 646160
Tabla 5.- Comparación de resultados para la serie S
HC MS SA GA
HC Falso Verdadero Verdadero Verdadero
MS Verdadero Falso Verdadero Verdadero
SA Verdadero Verdadero Falso Verdadero
GA Verdadero Verdadero Verdadero Falso
Tabla 6.- Resultados Wilckoxon para la serie S
En la tabla 7 se muestran los resultados numericos sobre la serie S. Por otro lado en la tabla 8 se muestran los resultados de la prueba de Wilckoxon, todas las técnicas propuestas tienen un comportamiento diferente.
Serie P
Instancia encontrado Mejor valor Ascenso a la montaña Multi-Arranque Recocido Simulado Algoritmo Genético
p_1 8527 10217 9268 9412 8579 p_2 7836 10524 8525 9170 7936 p_3 8423 10040 9697 10226 8453 p_4 8409 9950 9798 10328 8476 p_5 8007 10057 8782 9870 8186 p_6 8320 10690 9360 10081 8344 p_7 7874 10738 9368 8848 7928 p_8 9543 12145 10932 11179 9707 p_9 8831 11565 9813 9740 8899 p_10 8524 10345 9951 9199 8630 p_11 8196 9946 9221 8744 8249 p_12 8323 10062 9081 10084 8459 p_13 8276 10680 9111 9322 8457 p_14 8916 10454 9571 10042 8950
Tabla 7.- Comparación de resultados para la serie P
HC MS SA GA
HC Falso Verdadero Verdadero Verdadero
MS Verdadero Falso Verdadero Verdadero
SA Verdadero Verdadero Falso Verdadero
GA Verdadero Verdadero Verdadero Falso
Tabla 8.- Resultados Wilckoxon para la serie S
En la tabla 9 se muestran los resultados numericos sobre la serie S. Por otro lado en la tabla 10 se muestran los resultados de la prueba de Wilckoxon, las técnicas HC y MS son similares, mientras que SA y GA son similares entre si.
Serie MIS
Instancia encontrado Mejor valor Ascenso a la montaña Arranque Multi- Recocido Simulado Algoritmo Genético
hamming6–4 60 60 60 60 60 c125.9 91 95 91 91 91 johnson16.2.4 112 112 112 112 112 mann.a27 252 263 259 253 253 gen200_p0.9_44 156 167 165 159 158 gen200_p0.9_55 145 160 156 152 146
HC MS SA GA
HC Falso Falso Verdadero Verdadero
MS Falso Falso Falso Verdadero
SA Verdadero Falso Falso Falso
GA Verdadero Verdadero Falso Falso
Tabla 10.- Resultados Wilckoxon para la serie S
CONCLUSIONES
En conclusión, se puede ver que la metaheurística que tuvo mejor funcionamiento fue el Algoritmo Genético, ya que para las series RAN, S, H y P se obtuvieron valores muy cercanos (menos del 5%) al mejor reportado por la literatura especializada, sin embargo, solo en la serie MIS se alcanzaron los mejores reportados, excepto en las instancias mann.a27, gen200_p0.9_44 y gen200_p0.9_55. Siendo la tecnica de GA la que se destaco en su comportamiento en la mayoria de los caso.
Lo anterior se debió a dos razones: la manera en que se calibro el Algoritmo Genético y a la cantidad de llamadas a la función objetivo. En trabajos futuros se propone emplear otras tecnicas de calibracion tales como auto-adaptación o la calibración estadistica.
Por otro lado, se pudo observar que tanto la Búsqueda Local Multi-Arranque y Recocido Simulado tienen resultados buenos y malos, ya que en algunas instancias resulto ser mejor uno que el otro y viceversa. En trabajos futuros se propone hibridar estas tecnicas con GA ya que esta ha generado buenos resultados. Por último, todas las técnicas pueden tener mejora, desde la calibración, la reparación de soluciones fuera de la región factible y la generación de vecinos, por lo que aún hay trabajo a futuro para esta investigación.
REFERENCIAS
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