T RANSFORMACIONES ENERGÉTICAS EN TRANSICIONES

Un control hidráulico de aguas arriba o aguas abajo, de acuerdo con el caso, entrega en el sitio donde se inicia una transición, la energía específica que le servirá a la corriente para iniciar el tránsito a lo largo de ella.

Si la energía específica disminuye suficientemente a lo largo de una transición, podría minimizarse en alguna parte de ella y conformarse un control hidráulico adicional.

Para entender este proceso se hace uso de la metodología presentada en la sección 2.3.2.3.

T

RANSFORMACIONES EN UNA TRANSICIÓN DEL FONDO

Un canal que posee una pendiente negativa, puede eventualmente modificarla en cualquier punto. Es pertinente hablar de una transición del fondo, si esta variación se da a lo largo de un tramo corto.

Supóngase que una compuerta actúa como control hidráulico en un punto, m, aguas arriba de un canal (ver recuadro figura 3.2). La posición am del control hidráulico produce régimen

supercrítico y determina así la energía específica en un punto cualquiera, j (ecuación 2.57):

H Z Z ) a ( E Ej= i m + i− j−Δ (3.19.)

Asúmase ahora que opera otra compuerta en n, como control hidráulico de aguas abajo. En un punto aguas arriba (ver recuadro figura 3.3), k, se establece una corriente subcrítica. En otro, l, aguas abajo de éste, la energía específica es (ejercicio 2.4.3):

H Z Z ) a ( E E_l= _{k n} + _k − _l−Δ (3.20.) 133 Ver [1].

FIGURA 3.2

Las expresiones (3.19) y (3.20) son formalmente equivalentes134_{. No obstante, hay que tener}

en cuenta que la imposición de E ( a ) se efectúa en el mismo sentido del flujo. De suerte i m

que primero se afecta la energía específica de i y después la de j. Por el contrario, E ( a ) k n

está en la zona más aguas arriba y su establecimiento se desarrolla a contraflujo. Por tanto, se modifica inicialmente la energía específica de l y posteriormente la de k. Esto hace que una relación causa efecto sea, quizás, mucho más evidente en el caso supercrítico que en el subcrítico. Se puede afirmar que E ( a ) tiene una vinculación más inmediata con la i i

energía específica producida en el sitio en que está el control hidráulico135_{. No sucede igual}

para laE ( a ) . Por ello, se adiciona la variable ak n n para expresar simbólicamente que el

control hidráulico es el que determina la energía específica en k, y que un cambio operacional en aquel se transmite hasta allí mediante el pulso c. Resulta, por estas razones, mucho más simple realizar este tipo de interpretaciones en régimen supercrítico136_.

Con la substitución general (figuras 3.2 y 3.3):

l / j k / i Z Z Z = − Δ

La (3.19) y (3.20) se pueden reescribir, respectivamente:

H Z ) a ( E E_j= _{i m} +Δ −Δ (3.21.) 134

Estas relaciones resultan útiles también para tratar las transformaciones energéticas en transiciones de la sección transversal.

135

Especialmente si i está inmediatamente aguas abajo de la compuerta.

136

La diferencia, aunque sutil, llega a ser importante. En la medida que se avance en la exposición, el lector podrá reconocer y valorar la importancia de esta aclaración.

FIGURA 3.3 H Z ) a ( E El= k n +Δ −Δ (3.22.)

El cambio en la cota del fondo y la pérdida de energía se reúnen en un único parámetro:

H

Z Δ

Δ

λ= − (3.23.) Éste cumple la función de reunir las variables que determinan los cambios de energía específica a lo largo del canal. Resulta particularmente útil para explicar la disminución de la energía específica que puede llevarla a la condición de energía mínima.

Así, la (3.21) y la (3.22) se transforman en:

j i m

E =E ( a )+λ

)

>1 (3.24.)

l k n

E =E ( a )+λ

)

<1 (3.25.)

Las ecuaciones anteriores muestran que la energía específica en cualquier punto depende también de la de referencia, establecida por un control hidráulico. Ya que en este caso particular es una compuerta, la cantidad de energía específica suministrada obedece al grado de apertura. Al reducirla, en corriente supercrítica (ver sección 1.2.2.4), la profundidad inmediatamente abajo disminuye, y consecuentemente la energía específica se incrementa (figura 3.2). Lo opuesto sucede al abrirla. Simbólicamente:

m i i m

a ↓ Ÿ y ↓ Ÿ E ( a )↑ (3.26.)

m i i m

En flujo subcrítico (ver sección 1.2.2.4), una operación idéntica conlleva el aumento de la profundidad aguas arriba, y la energía específica crece consecuentemente (figura 3.3). El proceso contrario acaece al abrir la compuerta. Simbólicamente:

n k k n

a ↓ Ÿ y ↑ Ÿ E ( a )↑ (3.28.)

n k k n

a ↑ Ÿ y ↓ Ÿ E ( a )↓ (3.29.)

El parámetro λ en las ecuaciones (3.24) y (3.25) toma indistintamente valores positivos, negativos o nulos, en función del peso relativo de ZΔ y HΔ . Por definición, una pérdida hidráulica es siempre positiva o nula (flujo ideal). El cambio en la cota de fondo, ZΔ , puede, sin embargo, ser positivo, negativo o nulo según lo sea la pendiente del canal: negativa, positiva o nula, respectivamente137_.

La evolución energética de la corriente supercrítica comprendida entre i y j se ilustra en forma conveniente con ayuda de la rama correspondiente de la figura 3.2.

El arco ij simboliza allí el desplazamiento energético desde el punto i de aguas arriba hasta

el punto aguas abajo j. Se distinguen dos sentidos factibles de recorrido:

Antihorario (i → j), cuando λ > 0. La energía específica aumenta hacia aguas abajo. Así se

aleja del estado de energía mínima. En la figura 3.2 atañe a la apertura a' de la compuerta. m

Horario (i → j) para λ < 0. La energía específica disminuye hacia aguas abajo y se

aproxima al estado de energía mínima (Ej→ Ec). En la figura 3.2 corresponde a la apertura

am de la compuerta.

Idéntica descripción cabe para el régimen subcrítico con la ayuda ahora de la rama respectiva en la figura 3.3:

Horario (k → l) cuando λ > 0. La energía específica se incrementa hacia aguas abajo y de

esta manera se distancia del estado de energía mínima. La figura 3.3 concierne a la apertura

n

a' de la compuerta.

Antihorario (k → l) para λ < 0. La energía específica decrece en dirección de aguas abajo y

se acerca a la condición de energía mínima (El → Ec). En la figura 3.3 se asocia a la

apertura, an, de la compuerta.

De las gráficas citadas se infiere que la aproximación al estado de energía mínima se refleja en una variación de la profundidad y la velocidad de la corriente, la cual es diferente acorde con el flujo. Esto es:

137

Un canal tiene usualmente pendiente negativa (si se admite que el flujo corre de izquierda a derecha). Corresponde a lo establecido en la sección 1.2.1.1. La pendiente nula y la positiva (contrapendiente o pendiente adversa) encuentran un uso práctico como disipadores de energía (ver capítulo 6).

c E→E Ÿ y > 1 V ­ ↑ ® _↓ ¯

)

y < 1 V ­ ↓ ® _↑ ¯

)

T

IPOS DE TRANSICIÓN DEL FONDO

Existen dos tipos de ella: Repecho

Caída REPECHO

Se designa de esta manera la transformación de la pendiente negativa de un canal en una positiva138_{. En caso de hacerla de modo gradual, se habla de una rampa positiva; de ser}

abrupta de un escalón positivo, o también de un umbral. Se verifica esta situación cuando sus cotas extremas están en la siguiente relación (ver los recuadros de la figura 3.2 y la figura 3.3): l / j k / i Z Z < Como: l / j k / i Z Z Z = − Δ

Se concluye que una rampa o un escalón positivo se identifican con un cambio negativo en la cota del fondo (según las ecuaciones 3.21 y 3.22). Esto es:

0 Z <

Δ

CAÍDA

En este caso, la pendiente negativa se torna más acusada a lo largo de la transición.

Se puede hablar también de una rampa negativa139 _{si la caída se hace de manera}

paulatina140_{. De un escalón negativo}141_{, si la modificación es abrupta.}

138

Se utiliza este término, para marcar diferencia con el canal de pendiente positiva o adversa, que se supone debe tener una mayor longitud.

139

Es claro que una caída se asocia al cambio positivo en la cota de fondo:

0 Z >

Δ

Las figuras 3.8 y 3.9 contienen fotografías, procedentes de experiencias de laboratorio, con ejemplos de rampas positivas y negativas.

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RANSICIÓN DEL FONDO Y ENERGÍA MÍNIMA

Si se verifica que λ > 0, una transición del fondo no conduce la corriente al estado de

energía mínima. Este valor del parámetro λ se alcanza al validar cualquiera de los siguientes grupos de condiciones (ecuación 3.23):

i) 0ΔZ>

ii) 0ΔH = (Flujo ideal) (3.30.) i) 0ΔZ>

ii) HΔZ >Δ (Flujo real) (3.31.) La energía mínima aparece cuando λ < 0. A su vez esta relación se valida para los

siguientes conjuntos de condiciones (ver la ecuación 3.23): i) ΔZ>0

ii) ΔZ <ΔH (Flujo real) (3.32.) i) ΔZ<0

ii) ΔH =0 (Flujo ideal) (3.33.) i) ΔZ<0

ii) HΔ < 0 (Flujo real) (3.34.) En consecuencia:

Cuando la corriente es ideal (ecuación 3.30) una caída del fondo no puede llevarla al estado de energía mínima. En una real podría ocurrir según la magnitud de la pérdida hidráulica, especialmente de la local (ecuación 3.32).

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, el concepto repecho parece ser el más indicado para indagar sobre el mecanismo que produce el estado de energía mínima.

En un primer nivel de análisis, suficiente para ilustrar el fenómeno, se presumirá que el flujo es ideal (ecuación 3.33) 142_.

140

Los canales tienen a menudo cambios de pendiente. De una negativa a otra. Una rampa negativa es un aumento de pendiente, sólo que el canal al que corresponde es más corto.

141

De esta definición debe excluirse el caso del salto hidráulico, que podría asimilarse más bien a una cascada. No es propiamente una transición, sino generalmente el punto final de un canal.

142

Se representa esta situación para régimen supercrítico en la figura 3.4 .

FIGURA 3.4

El grado de apertura de la compuerta, localizada en m, provee una energía específica en el punto i, donde el fondo del canal comienza justamente a levantarse. En la medida que la corriente prosigue hacia aguas abajo se desacelera progresivamente, incrementa su profundidad y consecuentemente desciende su energía específica143_{. A una cierta distancia}

de i la velocidad se minimiza (velocidad crítica) y la profundidad llega a su valor máximo; se arriba al estado crítico y la energía es un mínimo. En ese punto ΔZc esla altura del

fondo con respecto al punto i.

En el caso del flujo subcrítico (figura 3.5) la compuerta, situada en m, entrega una energía específica a la entrada, k, de la rampa. A partir de allí comienza a disminuir paulatinamente la profundidad y la corriente se acelera hasta alcanzar la velocidad crítica, mientras que la energía específica desciende hasta el mínimo. Esto ocurre a una altura del fondo, con relación a k, de ΔZc.

En síntesis:

En un repecho la energía mínima se alcanza por encima de la profundidad crítica si el régimen es subcrítico y por debajo si es supercrítico.

La consideración en el análisis de una pérdida local (inherente al cambio en el alineamiento del fondo) causa que la ΔZc requerido resulte inferior al ya citado, conforme a la (3.33)

144_.

143 _{Esta evolución puede seguirse gráficamente en la rama supercrítica de la figura 3.4. Basta con observar las}

líneas punteadas entre la superficie libre y la gráfica.

144

En flujo ideal, el desgaste de la energía específica es atribuible únicamente a la elevación del fondo. Por consiguiente, el desgaste se incrementa al incluir pérdidas.

FIGURA 3.5

T

RANSFORMACIONES EN UNA TRANSICIÓN DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

La sección transversal puede alterarse a lo largo del eje de un canal de una manera gradual o abrupta. Un ejemplo clásico es la intromisión de una pila de soporte para un puente. Para efectos de la discusión que sigue, se presume la verificación de las siguientes hipótesis:

i) La transición es horizontal.

ii) La sección transversal es rectangular. iii) El flujo es ideal.

Existen dos tipos posibles de transiciones de la sección: Ampliación

Reducción

La variación en la geometría de la sección hace indispensable tener en cuenta en estos casos dos curvas de energía específica: curvas de entrada ( i,k ) y curvas de salida ( j,l ) .

A

MPLIACIÓN

Llamada también ensanche (recuadro figura 3.6). Se caracteriza por una entrada, i, y una salida, j. En consecuencia:

j

i b

b < (3.35.) En la figura 3.6, con base en la (3.35) y la (2.46), se infiere que:

j

i q

q >

i j

c c

y >y

La (3.15) lleva a concluir que:

j i c

c E

E >

Luego la curva de energía específica de la entrada (i) se encuentra desplazada a la derecha con respecto a la de la salida (j) (figura 3.6)145_.

Este hecho es sumamente significativo porque implica que la energía específica de la salida de un ensanche se localiza siempre a la derecha de la energía mínima (figura 3.6). Esto es:

j

c

j E

E >

De esta relación aparece una consecuencia importante:

Una ampliación no puede conducir la energía específica de un flujo ideal al valor mínimo, tanto en régimen supercrítico como en subcrítico. Este resultado es equivalente al que describe la expresión (3.30).

De las hipótesis i) y iii) se desemboca en que necesariamente λ =0; de esta manera la (3.24)

se reducen simplemente a:

j

i E

E = (3.36.) Con base en la (3.36) y la figura 3.6, se infiere que el ensanche acelera una corriente supercrítica y desacelera una subcrítica, hasta establecer profundidades a la salida de él 146_:

1 1 i j y > y

)

>1 2 2 i j y <y

)

<1

Que además se alejan de la profundidad crítica de salida, como se corrobora en el perfil del canal, anexo a la figura 3.6.

El proceso que lleva a evaluar estas profundidades puede seguirse en forma cómoda –y bastante ilustrativa– mediante las poligonales superpuestas al diagrama de energía específica (figura 3.6)147 _:

145

En la Fig. 3.6 – y subsiguientes – se incluyen anexos a la curva: una planta de la transición y un perfil de ella, con la evolución de la superficie libre.

146 _{Se adicionan ahora nuevos subíndices para poder distinguir el flujo supercrítico (1) del subcrítico (2).}

147

Se introduce ahora este método alternativo –al analítico de la ecuación (3.36)– para cuantificar la profundidad a la salida de una transición, cualquiera que ella sea. Agrega la ventaja adicional de permitir seguir en forma descriptiva el proceso de conversión energética.

FIGURA 3.6

abcd (flujo subcrítico).

fghk (flujo supercrítico).

Su interpretación es la siguiente:

Los puntos a o f marcan el comienzo del procedimiento pues representan las profundidades impuestas por un control hidráulico de cualquier índole. Las energías específicas a la entrada se determinan, por tanto, a partir de los puntos b o g sobre la curva de entrada (i). En virtud de la conservación de la energía, c y h marcan los puntos de igual energía específica, sobre la curva de salida148_{. A partir de allí, se llega a d y k, que permiten medir}

las profundidades a la salida de la transición.

El análisis gráfico comprueba lo afirmado antes, en cuanto al comportamiento de una corriente supercrítica y subcrítica en una ampliación.

R

EDUCCIÓN

Conocida, así mismo, como estrechamiento (recuadro figura 3.7). Se define por la entrada,

k¸ y la salida, l. Por tanto: l

k b

b > (3.37.)

148

Al haberse supuesto que el flujo es ideal, las líneas bc y gf son paralelas al eje de las ordenadas. Su

Por las mismas razones expuestas para obtener la (3.36) y la (3.25) se simplifica para una reducción en:

l

k E

E = (3.38.) Un razonamiento similar al ya realizado para una ampliación, conduce a la conclusión:

Ÿ > k l c c y y k l c c E E >

Por ende, la curva de energía específica de la salida se ubica a la derecha de la de entrada (figura 3.7).

En estas circunstancias, existen tres relaciones factibles entre la energía específica de la salida de la reducción y la energía mínima allí mismo:

i) El>Ec_l

ii) El=Ec_l

iii) El<Ec_l

En el supuesto que la energía específica Ek se mantenga constante siempre149, los casos por

considerar se crean al modificar la relación entre la geometría de la sección de entrada y la de salida. Ésta se denomina grado o relación de contracción (σ):

0 b b 1 entrada salida _≥ ¸¸¹ · ¨¨© § ₋ = σ (3.39.)150 CASO i)

Si el grado de contracción es pequeño bl< , la separación entre curvas de energía bk

específica es reducida.

Con base en las poligonales de la figura 3.7, se puede concluir que la reducción descrita desacelera la corriente supercrítica y acelera la subcrítica; empero las profundidades subcrítica y la supercrítica se mantienen apartadas de la crítica. Esto lo confirma el esquema que contiene el perfil de la transición151_.

Es interesante resaltar que en este caso la respuesta hidráulica es opuesta a la ya ilustrada para una ampliación.

149

En el laboratorio, por ejemplo, lo que se hace es disminuir el ancho aguas abajo.

150

Sería negativo, si se tratase de una ampliación.

151

FIGURA 3.7

TRANSICIÓN DE LA SECCIÓN Y ENERGÍA MÍNIMA (CASO ii)

Se trata de una situación límite ya que el grado de contracción alcanza la magnitud justa para que el vértice Cl de la curva de salida haga tangencia con la vertical que pasa por El (en

la figura 3.7 se consigue al mover la curva l hacia la derecha152_{). Se puede, por}

consiguiente, escribir el principio de conservación de la energía en estos términos (ecuación 3.38): l c l k E E E = =

Este resultado es independiente del régimen. En supercrítico, la profundidad se aproxima a la crítica por debajo; en subcrítico por encima. Cabe considerar que esta condición es semejante a la ilustrada en las figuras 3.4 y 3.5. Por tanto:

Una reducción adecuada de la sección transversal induce en ese sitio flujo crítico y la energía específica alcanza su valor mínimo. El grado de reducción necesario para alcanzar este estado, se denomina grado de contracción crítica (σc). Se sigue de esto: l c l y y = 152

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