∫ Dando como resultado:
A.5 Teoría para calcular la línea media
Debido a que se va a trabajar en R3, se utilizan las características y propiedades que definen a los diagramas de Voronoi/Delaunay. Entonces para cada elemento Voronoi dimensional
k≤3
existe un triángulo Delaunay dimensional dual de k-3 dimensiones. Estos significa que para cada celda Voronoi existe un punto generador,para cada faceta Voronoi existe una arista Delaunay, para cada arista Voronoi existe un triangulo Voronoi y para cada vértice Voronoi existe un tetraedro Delaunay.
A.5.1 Función de distancia
Dada una superficie suavemente integrada en R3, una función de distancia h puede ser asignada a lo largo
de R3 para que se defina la distancia a cada punto de
Σ
.h
Σ:R
3→R,xainf
p∈Σx−
p
. Para aplicar esta teoría, aΣ
se le puede reconocer como un muestreo de puntos P. Por ello es normal aproximar la función h ap
x
x
R
R
h
P:
3→
,
ainf
p∈P−
. Los puntos críticos de hp son los puntos en R3 que se encuentran en laenvolvente convexa de los puntos más cercanos de P. Ahora bien, los puntos críticos de hp son los puntos de
intersección de los objetos Voronoi a su par de objetos Delaunay. Además, el índice del punto crítico es el mismo que la dimensión del objeto Delaunay que genera ese punto crítico en particular. En seguida se enlistan los puntos críticos hp, y la figura A.17 muestra las cuatro situaciones que resultan en un punto crítico de cuatro
distintos índices.
• Máxima son los vértices Voronoi que se incluyen en un tetraedro Delaunay.
• Punto de silla (índice 2) se encuentra en la intersección de los bordes Voronoi con los triángulos de
Delaunay.
• Punto de silla (índice 1) se encuentra en la intersección de la faceta Voronoi con las aristas Delaunay.
• Minima son los puntos muestreados, siempre y cuando se incluyan en la celda Voronoi.
a) b) c) d)
Figura A. 17. Casos de puntos críticos en diagramas de Voronoi/Delaunay.
En cualquier punto , se puede asignar un campo vectorial que tome la dirección del ascenso más rápido a la función de distancia generada. Los puntos críticos se asignan como vector cero. Entonces el campo vectorial va a inducir un flujo. Si a un punto se le permite moverse siguiendo el campo vectorial, entonces se
traza una órbita la cual terminara en un punto crítico. El juego de puntos cuyas orbitas terminen en un punto
crítico c se les llama juego estable de c. De igual forma, si un punto traza una órbita inversa cuando sigue al
descenso más rápido de la función de distancia y termina en un punto crítico c’. Al juego de puntos cuyas
orbitas invertidas terminen en c’ se les llama juegoinestable de c’.
Ahora se calculan entonces los juegos inestables para los puntos de silla, el índice 1 (U1) e índice 2 (U2) para
82 A.5.2 Extracción lineal del esqueleto
Los juegos inestables de los puntos de silla (índice 1) son bidimensionales. Un punto de silla (U1), c se
encuentra en la intersección de la faceta Voronoi F y la arista Delaunay. Para cada punto \ , hp va
incrementando radialmente hacia fuera de c. Por esto la órbita intercepta los bordes de Voronoi en la
coordenada F lo que significa que F se encuentra en U(c). Una vez que el flujo pega en una arista Voronoi, o
de otro modo, el flujo entra en una faceta Voronoi con las aristas de Delaunay opuestas al ángulo más grande del triángulo de Voronoi. Este proceso iterativo va calculando los juegos inestables de c. Los algoritmos
computaciones y el cálculo exacto se describen de manera completa en (Tamal K. Dey, 2006). La figura A.17 a) muestra una etapa intermedia de este cálculo donde las caras azules contienen a c, las caras amarillas se
encuentran en U(c) y las caras rosas se incluirán en las siguientes iteraciones.
a) b) Figura A. 18. Construcción de los juegos inestables de puntos de silla (índice 1 y 2).
Un punto de silla (índice 2) se genera por la intersección de un borde Voronoi con un triángulo Delaunay. El juego inestable de los puntos de silla (índice 2) son de una dimensión. Se refieren a una polilínea con un punto final en el punto de silla y la otra en el máximo local. La polilínea consiste en segmentos que son subconjuntos de los bordes Voronoi o que se encuentran en las facetas Voronoi. Debido al último caso, la polilínea no puede ser una subcompleja del diagrama Voronoi de P. La figura A.18 b) ilustra este último ejemplo.
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