Teoría de Encolamiento para el Análisis de Retardo.

¿Qué sucede si dos sitios desean utilizar el enlace al mismo tiempo? Dos repuestas básicas: coordinación y encolamiento. Un fácil ejemplo de coordinación

es Token Ring. Las LANs token ring involucra el movimiento del token, el cual

podrá transmitir. Esto es correcto en LANs donde las distancias son muy cortas y el tiempo de propagación es muy pequeño, pero no es muy bueno si las entidades que deben de ser coordinadas se encuentran a ciento o miles de kilómetros de distancia. Esto es porque el retraso de propagación del token para moverse por un

anillo de 1000 millas de longitud seria:

1 0 0 0 _(2.16)

186000

o aproximadamente 5mseg. El tiempo que le toma transmitir un paquete de 1000bits a una velocidad de 16Mbps es:

1 0 0 0 _(2.17)

16,000,000

casi dos ordenes de magnitud menos. En el caso donde las distancias son muy largas, una aproximación más razonable es el agregar capacidad de almacenamiento al sistema y el utilizar una política de almacenamiento-y-envío para el ruteo de paquetes. Esto permite a múltiples paquetes el ocupar la red al mismo tiempo. Si se modela un enlace como un sistema de encolamiento, el objetivo es el comprender el retraso que los paquetes experimentan el pasar por el enlace. Importante es resaltar que el tiempo de servicio para un paquete de n bits

en un enlace de velocidad S bps es yí. (Cahn, 1998).

La distribución del los tiempos de servicio para paquetes es una de las dos cosas que determinan el retraso a través del enlace. El otro aspecto es el proceso de arribo. El proceso de arribo es descrito por el espacio que existe entre el arribo de paquetes. Por lo tanto, el modelo depende de dos distribuciones de probabilidad: pk,,,grl,(x)(o p(x)de manera mas corta, el cual describe la distribución

de de la longitud de lo paquetes, y pimi,l.an.ivil,(x) (o g(x)óe manera mas corta, que

describe el proceso de inter-arribo. Si la probabilidad de distribución esta dada por la función:

P(x) = ce~cx (2.18)

entonces es llamada una distribución exponencial. Si ambos procesos, py q,

están distribuidos de manera exponencial, el sistema resultante de encolamiento

es denotado como un encolamiento MIMl\.

El análisis de un encolamiento MIM l\ es particularmente simple y esta

evocado a la derivación de bloqueo en el sistema telefónico. La tasa de arribo de

procesamiento es denotada como ju. La distribución de la longitud de paquetes es

entonces

p(x) = ¡le^x

y el espacio entre el arribo de paquetes es

q(x) = Áe~ÁX

(2.19)

(2.20) Debe hacerse notar que dado que los paquetes raramente tiene una longitud que no es un número entero de bits, esto no modela completamente la realidad. Se puede modelar este sistema con un modelo infinito de estados. Los estados son So, 5,, 5,, S3,... Los estados y las transiciones entre los estados se

muestran en la figura 2.21. So se refiere al estado donde actualmente los

paquetes no están siendo servidos o almacenados, y Sn se refiere a un paquete

que esta siendo transmitido y n-\ paquetes esperando por servicio en el

encolamiento. Se asumirá que los paquetes son transmitidos en el orden en el que son recibidos (Cahn, 1998).

Figura 2.21. El espacio de estados para un encolamiento M IM l\.

El retraso del sistema puede ser calculado si se conocen las probabilidades,

pn, de estar en el estado Sn. Estas probabilidades estarán definidas mientras el

sistema este en un estado estable definido por una región que cumple con A < /u.

Claramente, si A >ju, los paquetes arriban mas rápidamente de lo que pueden ser

transmitidos y la longitud del encolamiento tiende a °°.

Cuando el sistema se encuentra en cualquiera de los estados S1,, entonces

la tasa a la que los paquetes arriban es A y la tasa en el cual están siendo

servidos es //. La tasa de servicio es independiente del número de paquetes que se encuentran en el encolamiento dado que sólo hay un servidor. Las ecuaciones de estados muestran el flujo a través de de los estados 5,, y 5n+1 debe ser cero.

Por lo tanto,

ri+l (2.21)

A

P = — (2.22)

entonces

SH+i = pSn (2.23)

Esto demuestra que

P\ = PPo

(2.24)

Pi =P'Po

y en general

Pn=P"Po (2-25)

Dado que pn es la distribución de probabilidad, se puede ver que

Í>,A>Í>"=7^ = 1 (2.26)

por lo tanto

Po=l~P (2-27)

(2.28) Estas probabilidades nos permiten calcular el tiempo de espera y el tiempo total en el sistema. El tiempo de espera esta definido como la cantidad de tiempo que un paquete espera en el encolamiento antes de que llegue a la cabeza de la línea y comience a ser transmitido. El tiempo total es el tiempo de espera más el tiempo de servicio. El tiempo de espera esta definido como

(2.29)

y el tiempo total entre entrar y salir del sistema es

Se define como el tiempo promedio del servicio Ts como el recíproco de la tasa de

servicio. Esto es Ts = V . Por lo tanto en ocasiones es de ayuda escribir

T = TS+TW (2.31)

lo cual expresa el tiempo total como la suma del tiempo de servicio y el tiempo de espera.

Ya con los fundamentos claros propuestos en este capítulo, se tiene de manera más completa lo que se pretende hacer en esta tesis. Los modelos de generación de tráfico buscando obtener una relación entre la distancia, costo y el tráfico entre cada par de nodos; así como la relación a considerar entre la utilización del un enlace y el retraso del mismo.

Como parte primordial de esta tesis es la teoría para la creación de redes tipo MESH, la cual veremos en el siguiente capítulo con el algoritmo Mentor II.