Teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica

Las ideas b´asicas de la teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica generalizan de manera natural las ideas introducidas por el c´odigo de Shor. Los estados cu´anticos son codificados por una operaci´on unitaria en un c´odigo de correcci´on de errores cu´antico, que se defi- ne formalmente como un subespacio C de un espacio de Hilbert. Es conveniente contar con una notaci´on para el proyector en el espacio de c´odigo C, por lo que vamos a em- plear la notaci´on P. Para el c´odigo de inversi´on del bit con tres qubits, el proyector ser´ıa

P =|000ih000|+|111ih111|. Tras la codificaci´on, el c´odigo es expuesto al ruido, a lo que le sigue la medida del s´ındrome, que nos permite conocer qu´e tipo de error se ha producido, es decir, el s´ındrome de error. Una vez se ha determinado, se lleva a cabo la operaci´on de recuperaci´on, devolviendo el sistema cu´antico a su estado original.

Para desarrollar una teor´ıa general de correcci´on de errores cu´antica necesitamos hacer las menores asunciones posibles sobre la naturaleza del ruido y el proceso empleado para realizar la correcci´on del error. Es decir, no vamos a asumir necesariamente que la correcci´on del error se produce a partir de un m´etodo de dos pasos, detecci´on y recuperaci´on. Tampoco vamos a hacer asunciones sobre el ruido que se produce en los sistemas de qubits o si ´este es d´ebil o no. S´olo vamos a emplear dos asunciones generales: el ruido se puede describir mediante una operaci´on cu´antica E, y el proceso completo de la correcci´on de errores se realiza mediante una operaci´on cu´antica que preserva la traza a la que denominaremos R y que recibe el nombre de operaci´on de correcci´on de errores. As´ı unimos en una ´unica pieza los dos pasos de detecci´on y recuperaci´on. Para que se realice de manera satisfactoria la correcci´on de errores, para cualquier estado ρ que se encuentre en el c´odigo C se debe cumplir

(R ◦ E) (ρ)∝ρ

Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica son un conjunto de ecuaciones que se pueden emplear para ver si un c´odigo de correcci´on de errores cu´antico protege de un tipo particular de ruido E.

Teorema 4.1. Condiciones para la correcci´on de errores cu´antica

Sea C un c´odigo cu´antico y P el proyector en C. Supongamos que E es una operaci´on cu´antica con elementos {Ei}. Una condici´on necesaria y suficiente para la existencia de una operaci´on de correcci´on de errores R que corrija E enC es

P E_i†EjP =αijP para alguna matriz herm´ıtica α de n´umeros complejos.

Denominamos a los elementos {Ei} del ruido E errores, y si existe tal R, diremos que {Ei} constituye un conjunto de errores corregible. La verificaci´on de las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica es directa, pero es una tarea que precisa tiempo.

4.3.1.

Discretizaci´on de los errores

Normalmente no sabemos exactamente qu´e error ha afectado a nuestro sistema cu´antico, por lo que ser´ıa muy ´util que un c´odigo espec´ıficoC y una operaci´on de correcci´on de errores R se pudieran emplear para proteger contra una clase completa de procesos ruidosos. Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica se pueden adaptar de manera sencilla para obtener exactamente este tipo de protecci´on.

Teorema 4.2. Supongamos que C es un c´odigo cu´antico y R es la operaci´on de correc- ci´on de errores que recupera el c´odigo tras sufrir un proceso ruidoso E con elementos {Ei}. Supongamos que F es una operaci´on cu´antica con elementos {Fj} que son combinaciones lineales de losEi, es decir

Fj = X

i

para alguna matrizmij de n´umeros complejos. Entonces, la operaci´on de correcci´on de errores R tambi´en corrige los efectos del proceso ruidoso F en el c´odigo C.

Esto nos permite introducir un lenguaje m´as potente para describir los c´odigos de correc- ci´on de errores cu´anticos. En lugar de hablar sobre la clase de procesos ruidososE que puede ser corregida por un c´odigo C y una operaci´on de correcci´on de errores R, podemos hablar de un conjunto de errores {Ei} que son corregibles. Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica se mantienen para estos operadores

P EiE

†

iP =αijP

Los teoremas 4.1 y 4.2 implican que cualquier proceso ruidoso E cuyos elementos sean com- binaciones lineales de los errores{Ei}puede ser corregido por la operaci´on de recuperaci´onR.

Por lo tanto, hemos visto que es posible discretizar los errores cu´anticos, es decir, para corregir el continuo de errores posibles en un ´unico qubit es suficiente saber c´omo corregir un conjunto finito de errores.

4.3.2.

C´odigos degenerados

Existe una clase interesante en los c´odigos cu´anticos que presenta una propiedad que no encontramos en los cl´asicos. Estos c´odigos se denominan c´odigos degenerados. La manera m´as sencilla de ilustrarla es empleando el c´odigo de Shor, considerando el efecto de los erro- res Z1 y Z2 en las palabras del c´odigo. Como ya hemos visto, el efecto es el mismo en dos

palabras distintas, cosa que no puede suceder en los c´odigos cl´asicos, donde para dos pala- bras distintas, dos errores distintos dan resultados diferentes. Este fen´omeno de encontrar c´odigos cu´anticos degenerados tiene su lado bueno, pero tambi´en su lado malo. Las malas noticias son que algunas de las t´ecnicas demostradas para los c´odigos cl´asicos para probar la existencia de cotas en la correcci´on de errores no pueden aplicarse en el caso de los c´odigos degenerados. Por otra parte, las buenas noticias son que los c´odigos cu´anticos degenerados son unos de los c´odigos cu´anticos m´as interesantes, puesto que son capaces de contener m´as informaci´on que los cl´asicos, dado que distintos errores no deben llevar necesariamente el espacio del c´odigo a otro espacio ortogonal. Es posible, aunque a´un no se ha demostrado, que esta propiedad permita a los c´odigos degenerados almacenar la informaci´on cu´antica de una manera m´as eficiente que a cualquier c´odigo no degenerado.

4.3.3.

La cota cu´antica de Hamming

Para distintas aplicaciones queremos emplear el “mejor” c´odigo cu´antico posible. El sig- nificado de “mejor” depende de la aplicaci´on. Es por esto que queremos encontrar un criterio para determinar si un c´odigo con unas caracter´ısticas particulares existe o no. Para ello, vamos a desarrollar la cota cu´antica de Hamming, una cota simple que nos permite obtener una visi´on general de las propiedades de los c´odigos cu´anticos. Esta cota s´olo se puede aplicar a c´odigos no degenerados, pero nos da una idea de c´omo deber´ıan ser las cotas m´as generales. Supongamos que un c´odigo no degenerado se emplea para codificar k qubits en n qubits, de manera que es capaz de corregir errores en cualquier subconjunto de t o menos errores. Supongamos que ocurren j errores, con j ≤ t. Existen n_j

conjuntos de lugares donde pueden producirse errores. En cada uno de estos conjuntos existen tres posibles errores (las tres matrices de Pauli X, Y y Z) que pueden producirse en cada qubit, dando un total de 3j _{errores posibles. El n´umero total de errores que pueden producirse ent o menos qubits es}

t X j=0 n j 3j

Para codificark qubits de una manera no degenerada, cada uno de estos errores debe corres- ponder a un subespacio ortogonal 2k_{-dimensional. Todos estos subespacios deben ajustarse} al espacio 2n_{-dimensional disponible para n qubits, dando lugar a la siguiente desigualdad}

t X j=0 n j 3j2k≤2n

Esta desigualdad se denomina cota cu´antica de Hamming.

No todos los c´odigos cu´anticos son no degenerados, por lo que la cota cu´antica de Ham- ming es m´as ´util como una regla general que como una cota r´apida para los c´odigos cu´anticos.