Capítulo II. Estructura de Grupos
2.11 Teorema de la descomposición
Definición: uno de la tesis del algebra lineal de las formas canónicas es la tesis de descomposición que estudiaremos en la siguiente lección. Para su demostración necesitamos algunos conocimientos iniciales relacionadas con el subespacio cíclico generado por un vector.
Sea W un espacio vectorial de dimensión finita n ≥ 1, T: W W una transformación lineal y v un vector cualquiera de W. El conjunto [w]T= < TK(w)|0 ≥ 0 >
Más precisamente [w]T = < TK(w)|0 ≤ k ≤ m-1 > , donde m es el grado del polinomio
mínimo de la transformación T. el vector v se dice que es un vector cíclico de T si [w]T =W. de
manera análogo se define el subespacio [α]A =Kn.
Proposición: Si T: W W es transformación lineal de un espacio W de dimensión finita n ≥ 1 y sea Y= {v1,…, vn} una base de W. Entonces, el vector W= C1.W1+…+ Cn.Wn es un
vector cíclico de T si y solo si α= (C1,…, Cn) es un vector cíclico de la matriz de T en la base Y.
(Jimenez A. , 2015) Demostración:
A continuación, presentamos algunas propiedades evidentes de [v]: a) [0] = 0
c) Si w ≠ 0 y qw(x) su polinomio anulador. Entonces dim([w]) = grado (qv(x)). Más
exactamente, si grado (qw(Y)) = k
Finalmente {w, T(w), …, TK-1(w) } es una base de [w]
d) Si T[w] la restricción de T a [w]. por consiguiente, el polinomio mínimo de T[w] coincide con el anulador de qv(x) del vector v.
Aplicación didáctica
Sesión de aprendizaje
Los conocimientos matemáticos nos permiten solucionar ciertos problemas de la vida cotidiana. Hoy en día el tratamiento de los temas de matemática en las escuelas debe darse de manera didáctica con la intención de que los estudiantes puedan hacer uso de cada conocimiento en la resolución de problemas y situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
La aplicación didáctica para este tema de Estructura de grupos, lo realizaremos mediante una sesión de aprendizaje, haciendo la observación de que el desarrollo de todo el tema de GRUPOS requiere de una planificación de varias sesiones, pero nos enfocaremos en un concepto, pero reiteramos que, para comprender todo el tema, es necesario hacer un estudio completo.
Planificación de sesión de aprendizaje planificación
I. DATOS INFORMATIVOS:
UNIDAD
1. UGEL : Nº 01
2. NIVEL/TURNO : Secundario/ Tarde
6
3. DIRECTOR : Juan MARCELINO TARMEÑO
4. PROF.
RESPONSABLE : Antonio TELLO VILCAPI
SESIÓN
5. AREA : Matemática
6. GRADO Y SECCIÓN : 2 ° A
3
7. DURACIÓN : 90 Minutos. II. TÍTULO DE LA SESIÓN:
Reconocemos una ley de composición interna y su estructura de semigrupo o monoide. III. APRENDIZAJES ESPERADOS:
Competencia Capacidades Indicadores Instrumento de
Evaluación Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad Matematiza situaciones
- Reconocer relaciones de ley de composición interna en problemas multiplicativos y de adición
- Diferencia y usa modelos basados en un monoide y semigrupo, al plantear y resolver problemas. Ficha de trabajo Ficha de evaluación Ficha de tarea Lista de cotejo Propósito de la sesión:
Desarrollar ciudadanos con pensamiento productivo, crítico y reflexivo que puedan entender mediante la matemática los diferentes aspectos del mundo que lo rodea. Como Aprendiendo a reconocer LCI, semigrupo y monoide que involucran en un clima de respeto y responsabilidad.
Serán de utilidad para su presente y futuro personal, social, productivo y profesional.
Producto de la sesión
Propone una ley de composición interna en el cuaderno de actividades
IV. SECUENCIA DIDÁCTICA: Inicio:(20minutos)
• El profesor da la bienvenida a los alumnos. Además de comunicar las reglas de trabajo y propósito que tienen la actividad del día.
El docente rescata y resalta los saberes previos serán de utilidad para resolver la situación
problemática además se utilizarán de base para los nuevos aprendizajes obtenidos por los estudiantes.
Desarrollo: (50 minutos)
Los estudiantes de forma individual intentaran resolver el problema de manera heurística:
- Comprende el problema:
El estudiante debe realizar la decodificación y entendimiento tomando en cuenta sus saberes previos a cerca del problema, donde se halla la incógnita, los datos, la condición (es), entre otros términos que se encuentra en el problema de manera implícita y/o explicitas que proporciona el problema en cuestión
- Concebir un plan:
El objetivo de este paso es que el estudiante establezca un plan estratégico que le conduzca a la solución del problema, este plan sugiere el uso de la intuición y creativo del estudiante, quien pone a prueba su agudeza y habilidad en búsqueda de una idea brillante en procura dar solución al problema.
Buscar la relación de los dato y la incógnita mediante la condición o condiciones propuestas por el problema, para relacionar estos elementos se tendrá que utilizar un argumento lógico o conjunto de argumentos derivado de algún teorema, axioma, definición, concepto de un saber previo matemático que garantice la concepción del plan, además tiene que adecuarse a los datos recogidos y satisfacer la condición(es) para la ejecución del plan. Caso contrario el docente; presenta un problema más sencillo donde el docente con ayuda de los estudiantes lo resolverán con el objetivo que el estudiante gane confianza y extraiga el conjunto de argumento lógico para que lo emplee en la solución al primer problema.
- Ejecución del plan
El profesor dará una situación de la vida real para ser resuelta por los estudiantes de forma individual a cada integrante que conforman los grupos. La situación se puede presentar en una pizarra (anexo 01).
Estando ya el estudiante en posesión de un plan y la estrategia requerida para resolver el problema, La aplicación de la estrategia heurística implica procesos algorítmicos para la solución al problema. Los procesos algorítmicos deben estar previamente sustentados por alguna tecnología matemática y conlleva a una técnica matemática o acción algorítmica que satisface la condición del problema en relación a los datos obtenidos.
- Examinar la solución obtenida solución
Es necesario que el estudiante requiera la convicción de que la solución encontrada es la correcta, efectuando una revisión crítica y autocrítica del problema desarrollado.
Este último paso es donde prima la reflexión sobre los procedimientos ejecutados y sobre el resultado obtenido, teniendo en cuenta la verificación y consolidación de los conocimientos previos y nuevos, que fueron necesarios para lograr el resultado del problema y esperado.
En conclusión es el momento en donde se va desarrollar la metacognición de lo aprendido.
El estudiante ya, con la solución al problema. Comunica a los demás integrantes de su grupo sobre la solución y los procedimientos para la solución.
La estudiante valida su respuesta exponiendo en la pizarra ante los demás grupos, la solución del problema planteado por el docente.
El docente formaliza algunos puntos del tema de la sesión para disipar las dudas de los estudiantes.
Cierre: (20 minutos)
El estudiante de forma individual resuelve una práctica calificada, para que el docente
obtenga un indicio sobre el éxito de la trasferencia del aprendizaje.
El estudiante realizan metacognición mediante las siguientes preguntas: ¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?, ¿Cómo he decidido de lo que digo es cierto?
El docente deja una tarea domiciliaria para reforzar el aprendizaje obtenido.
Desarrollan la práctica calificada o anexo (2) que será calificada la momento para que el docente pueda percatarse si los estudiante aprendieron el tema del día y resuelven el anexo (3) que será como tarea domiciliaria el cual reforzara lo aprendido en clases.
Los estudiantes discuten sobre cuál de las soluciones obtenidas es la correcta, hasta llegar a un consenso, para que una conclusión a la solución del problema.
Los estudiantes pregunta como también prestan atención a las argumento lógico o conjunto de argumentos derivado de algún teorema, axioma, definición, concepto. Para luego dominar las técnicas matemáticas que serán validadas por tales argumentos.
V. TAREA A TRABAJAR EN CASA:
Efectuar los ejercicios y problemas referidos al tema. Anexo (3) VI. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR:
- Regla
- Información
- Materiales: plumón de pizarra, plumón de papel, mota.
- Papeles y papelote. TÉCNICAS - Prueba escrita - Informe - Cuestionario - Tarea domiciliaria REFERENCIAS Para profesor:
Ministerio de Educación (2016). Currículo Nacional. (2 ed). Lima.: Editorial Ministerio de Educación
. y Ciencias, Subdirección General de Información y publicación.
Para alumno:
Ministerio de educación (2015). Libro segundo año de matemática (1 ed). Lima.: Editorial Editorial
Ficha de inicio
Propósito: Encontrar los valores de las horas transcurridas y dar a conocer intuitivamente el elemento neutro.
El reloj
Consideremos el conjunto A formado por todos los numero que figuran en los clásicos relojes como se muestra.
Figura 3. La figura ilustra un reloj de pared. Fuente: Chirinos, 2014.
Se pregunta a los alumnos:
1) ¿Qué hora serán tres horas después de las 10 horas? 2) Se verifica, 4 + 10 = 10 + 4
3) ¿Cuánto es? 7 + 12 =………, 12 + 11=………..
Ficha de trabajo
Propósito: Registrar la cantidad de horas transcurridas en cada cuadrado. Integrantes:
Actividad 01: En la siguiente tabla completa todas las sumas, usando los números del reloj, que denotaremos por A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
1. Considerando el reloj clásico (Anexo 01) completa las siguientes tablasde valores:
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 10 2 10 3 10 3 4 10 3 4 5 10 3 6 10 3 7 10 3 8 10 3 9 10 3 10 3 11 3
12 3
2. Según la tabla; ¿7+9=16?...
¿Para qué valor de x en A se cumple que 2 + x = 15? Justifique………
2. . Observando la tabla, ¿Qué propiedades de la suma se cumplen? (notase las líneas vertical y horizontal sombreadas ¿Y la diagonal sombreada?)
¿∀ a, b ϵ A; será, siempre: a + b = b + a?... Si x + 12= x; ¿Cuál es el valor de x?...
3. . Considerando los números del reloj; en la ecuación: x + 7 = 6, ¿Cuál es la hora que representa x? justifique su respuesta………..
Actividad: Autoevaluación
1. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: a) La adición de 2 y 3 en N es 5. ( ) b) El 1 es elemento neutro de la adición en N. ( ) c) El producto cartesiano es una operación interna. ( ) 2. Indicar la propiedad que se han empleado en cada una;
a) (a + b) + c = b + (c + a)……… b) 0 + 205 = 205 ………
c) 20=x ⇒ x = 20 ……….. 3. Marca con una “x” en los espacios donde corresponda.
Propiedad Estructura Monoide Semigrupo Clausura Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico
Síntesis
Operaciones internas. Definición. - se llama operación interna de un conjunto A distinto devacío, a toda función de T de AxA en A.
Notaciones:
1) Si T es una operación interna en A, lo representamos T: AxA A
(p, q) p T q
Donde p T q resultado de operar p con q mediante la operación interna T considerando el orden, ese tiene, p es el elemento de la izquierda y q es el elemento de la derecha.
Estructura algebraica. Se tiene T es una ley de interna de composición en A, entonces (A, T) se llama una estructura algebraica.
Es decir afirmamos que T provee de una estructura algebraica al conjunto A≠ ø Algunos autores, a estas estructuras algebraicas le llaman monoide.
Semigrupo. Definición: si T es una operación interna en A y T es asociativa, entonces se se tiene que T define en A la estructura de semigrupo, es decir se afirma que (A, T) es un semigrupo.
Estructura de grupo. Si B un conjunto y T es la ley de composición interna en B. Se dice que (B, T) tiene la estructura de grupo, si se cumple
G1) T es asociativa
G2) Existe el neutro
G3) T tiene elemento simétrico
Subgrupos. Definición. - un subconjunto A distinto de vacío de G es un subgrupo del grupo (G, T), si y solo si A es un grupo con la operación T en G, restringida sobre A.
Teorema. Un subconjunto A diferente de vacío de G, es un subgrupo de (G, T) si y solo si (1) ∀ a, b ϵ H, a T b ϵ H
(2) ∀ a ϵ H, a-1 ϵ H
Clases laterales Se tiene:
Sea (A, T) es un grupo, ∀ a, b elementos de A el resultado a T b de A, lo vamos a simbolizar en forma multiplicativa, es decir, en vez de escribir a T b escribiremos a b para tratar los demás conceptos que se estudian más adelante sobre grupos y subgrupos.
Clases laterales por la izquierda y por la derecha
Definición. - Si (A, T) un grupo y W un subgrupo de A. Dado un elemento a de A Las clases laterales de a por la izquierda respecto a A, es el siguiente conjunto: aW= {a w ϵ A/ w ϵ W}
La clase lateral de a por la derecha respecto de A, es el siguiente conjunto: Wa= { w a ϵ A/ w ϵ W}
Relación de equivalencia en un grupo (B, T)
Si (B, T) un grupo y W un subgrupo de B. En B se define una relación denotado con ≡ con la condición para a, b en B. a ≡ b (modw) ⇔ a-1 b ϵ W
Donde se tiene que esta relación ≡ es de equivalencia en B.
Clases de equivalencia. Sea ≡ una relación de equivalencia en el grupo A, para cualquier elemento a de A, en la clase de equivalencia de a cierta relación ≡, se define con [a]
[a]={x ϵ A/ a ≡ x mod(W)}
Finalmente, para a ϵ A, daremos la definición de su clase lateral por la izquierda aW= {a w ϵ A/ w ϵ W}.
Teorema:
Si H es un subgrupo de G y la relación ≡ anterior en el grupo G de equivalencia para a ϵ A, se verifica [a] = a W
Conjunto cociente. Tenemos H un subgrupo de A. El conjunto cociente A por las relaciones anteriores se denota con A/H y por tanto definimos
A/H = {[a] ⊂ A/ a ϵ A} Luego:
(1) A/H ={aH ⊂ A/ a ϵ A} (por la izquierda) (2) A/H ={Ha ⊂ A/ a ϵ A} (por la derecha)
Teorema de Lagrange. En A grupo de n elementos y W es um subgrupo de A, entonces el cardinal de W divide a n, en símbolos: card(W)/n.
Grupo cociente
Sea (A, T) un grupo y W un subgrupo normal de A, en el conjunto cociente A/W ={aW ⊂ A/ a ϵ A} se define la operación * como sigue ∀ aW, bW en A/W aW * bW = abW
Veamos que (A/W, *) es un grupo.
Homomorfimos de grupos
Definición.- Si (A, T) y (A1, T1) 2 grupos. En la función f: A A1 se tiene que es un
homomorfismo de grupos, si y solo si, para todo a, b en A se verifica f(a T b) = f(a) T1 f(b)
Teorema
Si A y A1, son grupos y f: A A1 un homomorfismo, se verifica.
(2) Sea B es un subgrupo de A1, entonces f-1(B) es subgrupo de A
Núcleo de homomorfimo de grupos
Si f: B B1, homomorfismo de grupos.
Definición: llamamos núcleo de f y se denotara con N(f) al subconjunto de B, donde sus elementos tienen como imagen al elemento neutro e1 de B1, en símbolos:
Apreciación crítica y sugerencias
Hoy en día nuestro país se apuesta poco o nada por la educación, es por ello que espero que la presente monografía contribuya a incentivar a muchas personas apostar por una buena educación. El mundo de la matemática y en especial a las estructuras algebraicas forman parte del currículo para la formación de futuros docentes de la especialidad de matemática, siendo de carácter obligatorio, para lograr así una mejor comprensión de las matemáticas, porque en la actualidad no basta con dominar los contenidos temáticos del área de razonamiento, y actitudes que les permitan una educación interdisciplinaria para poder alcanzar las metas propuestas.
Estos criterios exigen que los profesores y como toda persona que realiza trabajos en la docencia a poder actualizarse continuamente, teniendo en cuenta aspectos curriculares, vigencia de contenidos y metodologías.
En el caso del programa de régimen regular pedagógico y universitaria de la especialidad de matemática, del cual yo provengo, sugiero se ponga énfasis en temas que ayuden a mejor nuestro nivel académico para poder desarrollarnos como buenos profesionales competentes, teniendo como un gran valor la ética y morales que correspondan a nuestra quería y amada profesión.
Conclusiones
Los enunciados que se mostraron en el presente proyecto evidencian, lo importante que es el tema de Estructuras algebraicas. Por ser un tema de formación académica que todo docente dedicado a la labor pedagógica en el área de matemática debe conocer. Por estas razones se enfatiza en un contenido del tema entendible, adecuado, logrando una situación didáctica que contribuirá a un buen desempeño del docente en el aula.
Logrando concluir que nuestra formación académica ha sido mejorada, en nuestras habilidades matemáticas en distintos temas, incluyendo nuestra capacidad de reflexión. Todos estos capítulos son importantes y muy aplicados a la vida cotidiana, un correcto desempeño en estos conocimientos nos facilitaría diversos problemas que se dan en la vida cotidiana. Añadiendo que si favorece en nuestra vida diaria también lo hará en nuestra vida futura profesionalmente.
Tras el estudio mencionado se puede concluir, lo tan importante que es las matemáticas como para muchas otras ciencias. El objetivo planteado de dar una situación didáctica que facilite el aprendizaje de los alumnos se menciona en la aplicación didáctica.
Los resultados obtenidos fueron positivos en el presente proyecto, ya que se logró la consigna en cuanto información teórica y situación didáctica, logrando así una contribución para mis colegas y futuros docentes en su arda labor del día a día.
Referencias
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Trujillo, C., F., Chirinos M., D., Yauri, V., A., Giles N., M., & Davila H., V. (2014). Introduccion a la estructuras algebraicas. Lima: UNE.
Apéndice(s)
Apéndice A: Lista de cotejo SECCIÓN: A
Docente responsable: ……….
N° Área Fecha
Reconoce e identifica una ley de composición interna Estudiantes Hecho Pendiente No realizo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Apéndice B: Ficha de evaluación Grupo Nº: ………
Apellidos y nombres
Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación(*) ¿Comprendí la intención de la situación planteada? ¿Aporté al desarrollo de la actividad? ¿Describió y realizó procesos para llegar a la solución del problema? ¿Relacionó y aplicó conceptos de estructura de grupos para resolver la situación?