En esta secci´on definiremos la simplicidad en el sentido de Lp ´algebra de operadores y dare- mos condiciones necesarias y suficientes sobre el grafo Q para que el ´algebra Op(Q) resulte simple. Veremos que estas condiciones coinciden con las del caso C∗(Q) probado en 2006 por Tomforde [25] y el caso del ´algebra de Leavitt LQ en 2008 por Abrams y Aranda Pino
[3].
Definici´on 3.4.1 Decimos que una Lp-´algebra de operadores A es simple si todo morfismo
contractivo no nulo de A en otra Lp-´algebra de operadores es inyectivo.
Cabe destacar que, a diferencia de lo que ocurre en el caso C∗, no todo ideal cerrado es el n´ucleo de un morfismo entre Lp ´algebras de operadores. El ejemplo se puede encontrar en un trabajo reciente de Gardella y Thiel, [15, Theorem 2.5].
Por lo tanto, la Definici´on 3.4.1 no caracteriza a Op(Q) simple como ´algebra de Banach, pues podr´ıa tener ideales cerrados que no sean el n´ucleo de un morfismo contractivo entre Lp ´algebras de operadores.
Nos interesa probar que LQes simple si y solo si Op(Q) tambi´en lo es (en el sentido de la
Definici´on 3.4.1).
La primera implicaci´on es el Teorema de unicidad 3.4.2 probado en la Secci´on 3.2.
Teorema 3.4.2 Si LQes simple, entonces Op(Q) es simple como Lp-´algebra de operadores.
Para la reciproca necesitaremos los conjuntos hereditarios y saturados y los ideales S1 introducidos en la Secci´on 3.3.
Teorema 3.4.3 Si Op(Q) es simple como Lp-´algebra de operadores, entonces LQes simple.
Demostraci´on. Por [5, Theorem 3.1], LQ es simple si y solo si los ´unicos subconjuntos
de v´ertices hereditarios y saturados son ∅ y Q0, y todo ciclo en Q tiene salida.
En el caso en que el grafo Q ni es solo un ciclo, ni es un ciclo m´as entradas, veamos que estas dos condiciones necesarias y suficientes de simplicidad se verifican.
Sea H ( Q0 es un subconjunto hereditario y saturado propio, entonces consideremos su ideal generado I(H) y por Lema 3.3.4 Op(Q)/I(H) ≃ Op(Q \ H) es una p-´algebra de operadores. Sea π : Op(Q) → Op(Q \ H) la proyecci´on usual, que adem´as es contractiva y no nula. Como Op(Q) es simple, entonces π es inyectiva, y por lo tanto I(H) = 0. Por la correspondencia dada en el Teorema 3.3.7 resulta H = ∅.
Por el [2, Lemma 2.9.6], lo probado antes es equivalente a que Q sea cofinal.
Sea c un ciclo sin salida y sea H := c0el subconjunto de v´ertices que aparecen en el ciclo
c.
Si ninguna arista e tiene la propiedad de que r(e) ∈ H, entonces es claro que H es hered- itario y saturado no vac´ıo. Por lo probado antes, H = Q0, lo cual es absurdo ya que estamos suponinedo que Q no es un solo ciclo.
3.4. TEOREMA DE SIMPLICIDAD 55
En el caso en que exista una arista e tal que r(e) ∈ c0 y que no sea una entrada que empieza en un pozo, entonces existe f ∈ Q1tal que s( f ) = s(e) (resp. r( f ) = s(e)) y r( f ) < H (resp. s( f ) < H). En cualquiera de los dos casos, como Q es cofinal existe un camino α tal que s(α) ∈ H y r(α) ∈ {s( f ), r( f )}. Esto significa que el ciclo c tiene una salida, lo que es absurdo.
Falta ver que en el resto de los casos, cuando Q es un solo ciclo c y cuando es un ciclo
c con entradas, el ´algebra Op(Q) no es simple. O sea que vamos a probar que en estos casos particulares donde LQno es simple, el ´algebra Op(Q) tampoco.
M´as all´a del n´umero de aristas, a modo de ejemplo, estas ser´ıan las dos posibilidades para el grafo Q:
o de la forma .
En cualquier caso, existe c = e1e2. . . ed un ciclo en el grafo Q y notemos a sus v´ertices
como vi := s(ei) con i = 1, . . . , d. Sean fji las aristas que son entradas del ciclo, con wji :=
s( fji) y vi = r( fji).
Numeramos al resto de las aristas (o sea, las entradas fji en el caso de haber) a partir
del natural d + 1 en adelante, en el orden 11, 21, . . . , 12, 22, . . . , 1n, 2n, . . . y los notamos nji.
Consideremos el conjunto X := {1, . . . , d} ∪ {nji ∈ N>d}ji con la medida de contar.
Sea π : LQ → L(Lp(X)) la representaci´on espacial definida sobre las aristas y sobre sus
estrellas como: ei 7→ Ei,i+1 en 7→ En,1 e∗i 7→ Ei+1,i fji 7→ Eji,i fj∗i 7→ Ei, ji
(donde las matrices Ei, j son las matrices can´onicas), y luego extendemos lineal y multi-
plicativamente.
Es claro que π(c) = π(c2) = E1,1, entonces π no es inyectiva. Podemos extender el
morfismo π a toda el ´algebra Op(Q), entonces existe un morfismo contractivoeπ : Op(Q) →
L(Lp(X)) de manera queeπ|LQ =π. Como ι : LQ ֒→ O
p(Q) es inyectiva por Corolario 3.1.4 y
eπ ◦ ι = π, entonceseπ no es inyectiva dado que π no lo es.
Encontramos un morfismo contractivo y no nuloeπ : Op(Q) → L(Lp(X)) no inyectivo, entonces Op(Q) no es simple como Lp ´algebra.
Demostraci´on. Por [2, Lemma 2.9.6], [5, Theorem 3.1], Teorema 3.4.2 y Teorema 3.4.3.
Corolario 3.4.5
Op(Q) simple ⇐⇒ C∗(Q) simple ⇐⇒ LQsimple.
Chapter 4
La K-teor´ıa de O
p
(Q) cuando L
Q
es
simple
En 2011, Phillips calcul´o la K-teor´ıa de las ´algebras Odp([21]). Anteriormente, en 2009, Ara, Brustenga y Corti˜nas calcularon la K-teor´ıa de ´algebras de Leavitt para grafo finitos por filas ([6]). Parte de estos resultados nos permitir´an, en este ´ultimo cap´ıtulo de la tesis, calcular la
K-teor´ıa del ´algebra Op(Q) para Q un grafo finito por filas cuando LQ es simple. El c´alculo
estar´a basado en la sucesi´on Pimsner-Voiculescu para el producto cruzado reducido en el contexto Lp, [22].
Consideraremos el producto cruzado reducido para una Lp ´algebra en particular que pre- sentaremos en la siguiente secci´on, y que ser´a un colim´ıte en la categor´ıa de ´algebras de Banach con morfismos contractivos, considerada por Phillips en [22].
4.1
La L
p-´algebra colim O
p(Q)
0Sea Q un grafo finito y sin fuentes. Consideremos los elementos t+ =
X v∈Q0 ev y t− = X v∈Q e∗v
definidos en la Proposici´on 3.2.9. Definimos el morfismo isom´etrico α : Op(Q)0 → Op(Q)0
por α(a) := t+at−y notamos por S := colimαOp(Q)0al col´ımite en la categor´ıa de las ´algebras
de Banach con morfismos contractivos, inducido por α de Op(Q)0. M´as adelante extendere-
mos esta notaci´on para α siendo un endomorfismo de L0, o de Op(Q)0, o de Op(Q).
Lema 4.1.1 S es una Lp-´algebra de operadores.
Demostraci´on. Queremos representar de forma isom´etrica el ´algebra S en alg´un espacio
de medida X.
A continuaci´on construiremos este espacio X a partir del conjunto de caminos de longitud finita P.
Sea Dv := {γ ∈ P : ev ≥ γ} y D := ∪v∈Q0Dv. Definimos dos aplicaciones m− : P → P
como m−(γ) = es(γ)γ y m+: D → P m+(γ) = e∗vγ si γ ∈ Dv.
Sea X := colim(P−−→ P . . .) y sean Pm− i := P lo que hay en el lugar i.
En el Ejemplo 1.4.6 construimos una representaci´on ρ espacial de LQen L(Lp(P)). Re-
stringiendo a Op(Q)0 obtenemos un morfismo a colimψL(Lp(Pi)) (donde ψ : L(Lp(Pi)) →
L(Lp(P
i+1)) el morfismo conjugar por m∗+ y m ∗
−), que pasa al col´ımite dado que α es una isometr´ıa.
Entonces existe un morfismo π : S → colimL(Lp(Pi)). Si probamos que existe un
morfismo isom´etrico σ de colimψL(Lp(Pi)) en L(Lp(X)), luego habremos representado a S
sobre Lp(X) por σ ◦ π.
Construcci´on de σ:
Como X es un col´ımite existen morfismos de P en X que en cada lugar i lo llamaremos
θi : Pi → X. Estos inducen (∀i) aplicaciones de Lp(X) en Lp(Pi) que llamaremos θ∗i.
Sea Y := colim(D −−→ D . . .). Para cada i vamos a definir una aplicaci´on τm+ i : Y → Pide
la siguiente manera: si j ≥ i, tenemos las funciones (m+)j−i : Dj := D → Pi, como adem´as el
diagrama Dj (m+)j−i m− //Dj+1 (m+)j+1−i }}③③③ ③③ ③③ ③ Pi
conmuta, lo podemos extender al col´ımite. Analogamente, notamos por τ∗i al morfismo de Lp(Pi) en Lp(X) inducido por τi identificando Lp(Y) ⊆ Lp(X).
Sea σi : L(Lp(Pi)) → L(Lp(X)) el morfismo
f 7→ τ∗i ◦ f ◦ θ∗i.
Veamos que pasa al col´ımite, o sea que σi+1◦ ψ = σi.
Como el diagrama Pi θi m− //Pi+1 θi+1 }}③③③ ③③ ③③ ③ X conmuta m∗−◦ θ∗i+1= θ∗i. Adem´as, el diagrama Di m+ //Di+1 Y τi OO τi+1 << ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③