Continuamos con el estudio de la resoluci´on de las ecuaciones no linealesf(x) = 0 of(x) =y para uny en un espacio de Banach.
Ejemplo I.6.1 EjemploConsideremos el sistema no lineal
x21+x22−3x1=y1, x41−x 2
1x2+ 2 =y2. (I.6.1)
Para (x1, x2) = (1,2) se obtiene (y1, y2) = (6,1). La pregunta a la cual nos gustar´ıa responder es la siguiente:
¿Para (y1, y2) pr´oximo de (6,1), exite una soluci´on (x1, x2) de (I.6.1) que es pr´oxima de (1,2)? ¿Es localmente
´ unica?
Decimos que una aplicaci´on f : U → F, donde E, F son espacios vectoriales normados y U ⊂E abierto, es unhomeomorfismo alrededorde a∈U, si existe un vecindario abiertoU0 ⊂U deay un vecindario abierto deV0 def(a) tales que la restricci´onf|U0 es un homeomorfismo deU0 sobreV0.
I.6. TEOREMA DE INVERSI ´ON LOCAL 23 Teorema I.6.1 (Teorema de Inversi´on Local) SeanE,F espacios de Banach,U ⊂E abierto ya∈U. Sif :U →F es estrictamente diferenciable en ay si f0(a)es un isomorfismo deE sobreF, entonces f es un homeomorfismo local alrededor dea. Adem´as, la aplicaci´on inversaf−1 es estrictamente diferenciable en
b=f(a)y se tiene
(f−1)0(b) = (f0(a))−1. (I.6.2) Demostraci´on.-Aplicamos la proposici´on I.5.3 conA=f0(a). La funci´onf es estrictamente diferenciable ena. Esto significa que para todo >0 existeδ >0 tal que
kf(x)−f(z)−f0(a)(x−z)k ≤kx−zk parax, z∈B, (I.6.3) dondeB={x∈E| kx−ak ≤δ}. Entonces, se tiene tambi´en
x−z−f0(a)−1(f(x)−f(z)) ≤ f0(a)−1 · kx−zk parax, z∈B, (I.6.4)
Fijamos >0 tal quef0(a)−1
≤1/2. Para elδcorrespondiente,f es un homeomorfismo deBsobref(B)
por la proposici´on (I.5.3) y f(B) contiene el abierto V0={y∈F| ky−bk< σ} dondeσ=δ/(2f0(a)−1 ).
Por lo tanto,f es un homeomorfismo del abiertoU0=f−1(V0) sobreV0.
Para mostrar que f−1 es estrictamente diferenciable enb=f(a), planteamosx=f−1(u)z=f−1(v) en (I.6.4). Esto da parau, v∈V0
f−1(u)−f−1(v)−f0(a)−1(u−v) ≤ f0(a)−1 · f−1(u)−f−1(v) ≤2 f0(a)−1 2 ku−vk
utilizando la estimaci´on (I.5.6) conA=f0(a) yα= 1/2. Por lo tantof−1 es estrictamente diferenciable en
by la derivada est´a dada por (I.6.2).
Ejemplo I.6.2 Para el problema del ejemplo precedente, tenemos
f0(a) = 2a1−3 3a22 4a3 1−2a1a2 −a21 = −1 12 0 −1
Para la norma euclidiana, se calculaf0(a)−1
≈12,1. Si se plantea= 0,04, se puede encontrar unδ > 0
tal que (I.6.3) se verifica. Para todoy∈R2conky−bk ≤2δ/12,1 el sistema (I.6.1) posee una soluci´onxque
satisfacekx−ak ≤ δ. En esta bola de radioδ no hay otra soluci´on aparte dex. Adem´as, la demostraci´on del teorema de inversi´on local muestra que el m´etodo de Newton simplificado converge hacia esta soluci´on.
El objetivo siguiente es estudiar si la soluci´on de f(x) =y depende de manera diferenciable dey. M´as precisamente, estudiaremos las condiciones bajo las cuales la funci´on inversa es diferenciable en todo un vecindario deb=f(a).
Definici´on I.6.1 SeanE,F espacios vectoriales normados,U ⊂E y V ⊂F abiertos.
♠ f :U →F es continuamente diferenciable o de clase C1 sobre U, si f es diferenciable en todo punto de
U y sif0:U → L(E, F)es continua.
♠ f :U →V es un difeomorfismo (de claseC1) de U sobre V, sif es biyectiva, continuamente diferen-
ciable, y si la inversa f−1:V →U es continuamente diferenciable.
♠ f :U →F es un difeomorfismo local alrededor dea∈U, si existen: un vecindario abierto U0 ⊂U
deay un vecindario abierto V0 def(a)tales quef es un difeomorfismo de U0 sobre V0.
Remarquemos que un homeomorfismo que es continuamente diferenciable no siempre es un difeomorfismo. La funci´on f : R → R definida por f(x) = x3 nos sirve como contra ejemplo, porque f−1(y) = √3y es
continua, pero no diferenciable en el origen.
Una funci´on que es continuamente diferenciable sobreU es estrictamente diferenciable sobreU. Esto es una consecuencia del teorema I.5.5
Teorema I.6.2 SeanE,F espacios de Banach,U ⊂E un abierto ya∈U. Una aplicaci´on f :U →F de clase C1 es un difeomorfismo local alrededor dea, si y solamente sif0(a) es un isomorfismo de E sobre F.
Adem´as, se tiene
(f−1)0(y) =f0(x)−1 paray=f(x)en un vecindario de b=f(a).
Demostraci´on.-⇒: Sif :U →F es un difeomorfismo local alrededor dea, se puede derivar la identidad
f−1(f(x)) =x. Esto da
(f−1)0(y)f0(x) =I cony=f(x) (I.6.5) en un vecindario de a. Por consiguiente, f0(a) es inversible. La inversa de f0(a)−1 = (f−1)0(b) es una
aplicaci´on acotada porquef−1 es supuesta diferenciable enb.
⇐: El teorema de inversi´on local implica quef es un homeomorfismo local alrededor dea. Solo queda mostrar que f−1 es continuamente diferenciable en un vecindario de b = f(a). Como f0(x) es pr´oxima a f0(a), la continuidad de f0 : U → L(E, F) y GL(E, F) es un abierto,f0(x) es un isomorfismo para todo x en un vecindario U0 dea. Podemos aplicar el teorema de inversi´on local a cada uno de losx∈U0, lo que implica la diferenciabilidad def−1enV0=f(U0). Derivando la identidadf−1(f(x)) =x, se obtiene (I.6.5) y por lo
tanto (f−1)0(y) =f0(f−1(y))−1paray∈V0. La funci´on (f−1)0:V0→ L(F, E), siendo la composici´on de las
aplicaciones continuasf−1, f0 y (·)−1, es por consiguiente continua.
Corolario I.6.1 SeanE, F espacios de Banach,U ⊂Eun abierto yf :U →F continuamente diferenciable sobreU. Entonces, f es un difeomorfismo deU sobref(U), si y solamente si:
i) f es inyectiva sobre U,
ii) f0(x)es un isomorfismo para todo x∈U.
Demostraci´on.-Este resultado es una consecuencia del teorema precedente, por que la diferenciabilidad es una propiedad local.
Ejemplo I.6.3 (Coordenadas Polares) SeanU ={(r, ϕ∈ R2|r > 0}, V =R2− {(0,0)} y f :U →V dada por
(r, ϕ)7→(rcosϕ, rsinϕ).
Esta aplicaci´on es un difeomorfismo local alrededor de cada punto de U, porque
f0(r, ϕ) =
cosϕ −rsinϕ
sinϕ rcosϕ
y det(f0(r, ϕ)) =r >0.f no es inyectiva, se tienef(r, ϕ+ 2π) =f(r, ϕ). Por lo tanto, no es un difeomorfismo deU sobreV. Si se restringe los conjuntosU yV a
U0={(r, ϕ)|r >0,−π < ϕ < π}, V0=R2− {(x,0)|x≤0},
f se convierte en un difeomorfismo deU0 sobreV0. En la figura I.6.1 podemos observar una representaci´on
de las coordenadas polares.
Ejemplo I.6.4 (Coordenadas Esf´ericas) La aplicaci´on
(r, ϕ, ϑ)7→(rcosϕsinϑ, rsinϕsinϑ, rcosϑ)
es un difeomorfismo de U = {(r, ϕ, ϑ)|r > 0, −π < ϕ < π, 0 < ϑ < π} sobre el conjunto V = R3− {(x,0, z)|x≤0, z ∈R}, por que el determinante de la matriz jacobiana es−r2sinϑ6= 0 y la aplicaci´on es inyectiva.
I.6. TEOREMA DE INVERSI ´ON LOCAL 25
0
1
2
3
0
3
6
U
U
rr
ϕϕ
2π
f
1
2
3
−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
V
V
xx
yy
Figura I.6.4: Coordenadas Polares
Ejemplo I.6.5 (Transformaci´on de Cayley) La aplicaci´on (x, y)7→ 1−x2−y2 (1−x)2+y2, 2y (1−x)2+y2 (I.6.6) es un difeomorfismo del semiplano izquier-
do {(x, y)|x < 0} sobre el disco abierto {(u, v)|u2+v2 <1}. Ver aplicaciones confor-
mes de la parte B del curso de An´alisis de Segundo A˜no.
−4 −3 −2 −1 −2 −1 0 1 2 xx yy
f
1 −1 1 −1 u u vvPor lo tanto, la aplicaci´on (I.6.6) es biyectiva y es continuamente diferenciable.
I.6.1.
Ejercicios
1. Consideremos la funci´onf :R2→ R2 dada por f1(x1, x2) =x1, f2(x1, x2) = x2−x21 si x ≤ 1x2 x−2x2 1x2 x2 1 si 0≤x2≤x21 −f2(x1,−x2) si x2≤0 Mostrar que:(a) f es diferenciable en todo punto. (b) f0(0) es inversible (calcularf0(0)).
(c) f no es estrictamente diferenciable en el origen.
(d) No existe vecindario del origen dondef sea inyectiva; es decirfno es un homeomorfismo alrededor del origen.
2. Dar un difeomorfismo (a) del intervalo (0,1) conR, (b) del intervalo (0,1) con la semirectaR∗+.
3. Sea el “cubo”C={x∈Rn|0< x1<1, i= 1, . . . , n}y el ”simplex”S ={y∈Rn|yi >0,P n
i=1yi<1}
y se considera la aplicaci´onϕ: C →Rn dada por ϕ(x) =y con yk = (1−x1)· · ·(1−xk−1)xk para
k= 1, . . . , n.
(a) Paran= 2 graficar las imagenes deϕde las rectas paralelas al origen. (b) Verificar quePn
i=1yi= 1−Q n
i=1(1−xi)
(c) Verificar queϕes un un difeormorfismo de Csobre S y encontrar su inversa. 4. Las coordenadas esf´ericas deRn est´an dadas porψ(r, θ1, . . . , θn−1) =xdonde
x1 = rcosθ1
x2 = rsinθ1cosθ2
x3 = rsinθ1sinθ2cosθ3
.. .
xn−1 = rsinθ1sinθ2. . .sinθn−2cosθn−1
xn = rsinθ1sinθ2. . .sinθn−2sinθn−1.
Mostrar que
detψ0=rn−1sinn−2θ1sinn−3θ2· · ·sinθn−2,
y mostrar que la restricci´on de la aplicaci´onψa (0,∞)×(0, π)n−2×(−π, π) es un difeomorfismo.
5. Seaαnel volumen de la esfera{x∈Rn| kxk2≤1}enR
n. Utilizando el resultado del ejercicio anterior,
el teorema de cambio de variable para integrales y la definici´on de la funci´on Gamma Γ(x) mostrar que
αn =
πn/2
Γ(n/2 + 1). Mostrar igualmente queαn→0 cuandon→ ∞.
Indicaci´on. ParaIk =
Rπ
0 sin
kt dtse tiene (k+ 1)I
k+1=kIk−1.
6. En el plano con las coordenadas cartesianas (x, y) se considera las dos curvas
C1 = {(x, y) :x2−y= 0}
C2 = {(x, y) :x−y2= 0}.
Encontrar un difeormorfismo local alrededor de (0,0)f tal que
f(C1) = {(u, v) :v= 0}
f(C2) = {(u, v) :u= 0}.
7. Para todo a∈Rse considera la funci´onfa :R→R dada porfa(x) =ax−sinx. ¿Para qu´e valores
de ala funci´onfa es un homeomorfismo?, ¿un difeomorfismo?, ¿un difeomorfismo local alrededor del
origen?