22. Lo que se pretende con este teorema queda claro en la carta a Keferstein: "Sin una prueba lógica de existencia permanecería siempre dudoso si la noción de un tal conjunto (infinito) no contendrá quizá contradicciones internas." Hay que resaltar que Dedekind no pretende establecer la existencia 'exterior' del infinito en la realidad física o en alguna realidad ideal, sino solo su existencia 'mental', es decir su consistencia. Dedekind había sido siempre partidario del infinito actual, y fue su conciencia clara del problema de la consistencia en matemáticas lo que le llevó a intentar demostrar la consistencia de la idea de conjunto infinito. Diversos testimonios de la época nos confirman que en aquel momento no se concebía ninguna demostración de consistencia que no pasara por mostrar la existencia de un modelo (cf. Grattan-Guinness (ed.), Del cálculo a la teoría de
conjuntos, 1630-1910 (Madrid: Alianza, 1984) 301). Con esto, Dedekind trató de ahondar más que cualquiera de sus
antecesores, y que la mayoria de sus sucesores, que se conformaron simplemente con la postulación axiomática del infinito. Otro incentivo para demostrar, y no postular, la existencia (mental) del infinito es que al parecer su posición epistemológica respecto a la matemática le llevaba a evitar formulaciones axiomáticas: todo debía ser resultado de las puras leyes del pensamiento y de nociones basadas únicamente en la lógica, todo debía ser demostrado.
Pero como se sabe, el recurso a la idea de 'universo mental' hace que el teorema sea sospechoso de dar lugar a antinomias: entre las "cosas que pueden ser objetos de mis pensamientos" están todos los conjuntos (recuérdese que todo conjunto es una cosa, punto 3), y por tanto también todos los conjuntos antinómicos. Este es el motivo de que el enfoque de Dedekind fuera abandonado.
Como Dedekind reconoce, su teorema de infinito es análogo a otro de Bolzano; Dedekind conoció la obra de Bolzano en 1882, al enviársela Cantor (carta del 7.10.1882 en Dugac, o.c., 256), de modo que la influencia de este autor llegó solo cuando las ideas fundamentales del escrito estaban ya listas (me refiero a la definición de infinito, la noción de cadena, la definición de conjunto simplemente infinito). Es interesante observar que entre la prueba de Bolzano y la de Dedekind hay diferencias significativas. Para empezar, Dedekind cuenta con una definición precisa de infinito, y gracias a ella puede hacer más riguroso el desarrollo de la prueba (son especialmente importantes las condiciones de similaridad y existencia de un elemento base). Pero además la prueba de Bolzano considera el conjunto de todas las verdades, donde si A es una proposición verdadera, 'A es verdadera' también lo es; Bolzano, como Frege, tiene una posición platónica, realista radical, ante los objetos de las matemáticas y de la lógica. Dedekind, por el contrario, resulta siempre coherente con una posición mentalista, en el sentido de que los objetos matemáticos no existen fuera de la mente del matemático; de ahí que transforme la prueba y considere el conjunto de nuestros posibles objetos de pensamiento. Vale la pena decir que desde los planteamientos de su época era natural considerar que el 'universo mental' es una noción puramente lógica: es posible pensar todo aquello que no sea contradictorio, de modo que es la lógica quien determina los límites de mi universo mental.
23. Estas condiciones definitorias de los conjuntos simplemente infinitos no son otra cosa que los axiomas de Dedekind para la aritmética; la condición más sutil es la ß., porque en ella interviene la noción de cadena de un conjunto, que asegura la validez del principio de inducción y evita la aparición de números no estándar (cf. el punto 6 de la carta a Keferstein). Resultan equivalentes a los conocidos axiomas de Peano, razón por la cual no es raro hablar de la “aritmética de Dedekind-Peano”. Aún así, hay diferencias entre ellos: puede decirse que los axiomas de Peano son más inmediatos, mientras que Dedekind formula todo en términos de conjuntos, aplicaciones y cadenas. También hay diferencias en las teorías construidas por ambos autores, siendo mucho más completa la de Dedekind (tres ejemplos: generalidad de la teoría de cadenas y del teorema 59, fundamentación de las definiciones recursivas en el § 9, demostración de categoricidad del sistema axiomático en § 10).
El propio Peano reconoció haber tenido a la vista el libro de Dedekind mientras revisaba para su publicación el librito
Arithmetices principia (cf. la introducción en van Heijenoort, From Frege to Gödel, Cambridge University Press, 1967, 86; trad.
española en Oviedo: Pentalfa, 1979). Sin embargo, según H. C. Kennedy, Peano descubrió independientemente sus axiomas; cf. por ejemplo 'Peano's concept of number', Hist. Math. 1 (1974), 387-408, o también mi “R. Dedekind (1888), G. Peano (1889)” en I. Grattan-Guinness (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 (Elsevier, Amsterdam, 2005) capítulo 47, pp. 613–626.
También Zermelo se basó en esa misma definición de conjunto simplemente infinito para postular, en su Axioma del Infinito, un conjunto que contiene (al menos) un conjunto simplemente infinito, y que por tanto sirve como modelo de la aritmética (cf. 'Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I', trad. inglesa en van Heijenoort, o.c., 204).
24. Se trata aquí de demostrar que todos los conjuntos simplemente infinitos son isomorfos, con lo que se prueba la categoricidad de la definición 71. Vemos pues que Dedekind que todos los aspectos de la cuestión de los modelos no estándar, indicada en la carta a Keferstein, se reflejan perfectamente en la exposición.
25. Esta complicada prueba de la inversa del teorema 159 envuelve el empleo del axioma de elección, como señaló Zermelo ya en 1904 (cf. la trad. inglesa en van Heijenoort, o.c., 188). Se establece como condición del teorema que para todo n existe una aplicación biyectiva arbitraria αn de Zn en Σ; a partir de aquí, nuestro objetivo es definir una aplicación biyectiva (representación
similar) χ de N en Σ. No podemos obtenerla componiendo directamente las aplicaciones arbitrarias αn, porque entonces ni
siquiera está garantizado que obtengamos una aplicación (un mismo n puede tener muchas imágenes); necesitamos una nueva serie de aplicaciones compatibles entre sí. Para comprender el resto del proceso, lo más cómodo es imaginárselo como una construcción: partimos de α1(Z1) = ψ1(Z1); ahora, dada ψn determinamos ψn'(Zn') escogiendo un k perteneciente a αn'(Zn') que no
esté contenido en ψn(Zn) ─Dedekind demuestra que deben existir tales elementos k─, y haciendo ψn'(n') = k, ψn'(Zn) = ψn(Zn). La
construcción de la aplicación biyectiva χ de N en Σ supone por tanto la 'elección' de un infinitos elementos k, precisamente uno por cada αn. Reformulándolo de modo que la aplicación del axioma resulte más evidente, tenemos infinitos conjuntos αn(Zn) y
queremos obtener un y solo un elemento an de cada uno de los αn(Zn), siendo todos los an distintos entre sí. Por tanto, para
considerar χ como algo dado necesitamos apelar al axioma de elección.
En algunos trabajos de historiadores puede encontrarse una interpretación distinta, y a mi entender errónea, del modo en que el axioma de elección interviene en el teorema; se trataría de que Dedekind postula que el conjunto de aplicaciones de cada Zn en Σ es no vacío, pasando a elegir una aplicación para cada Zn por medio del axioma de elección (implícito). En primer
lugar, Dedekind no parece presentar así las hipótesis; pero además, si aceptamos esta interpretación del teorema, el axioma de elección no interviene una sola vez sino dos, cosa que parecen haber pasado por alto los historiadores en cuestión. Cf. el artículo de R. Bunn en Grattan-Guinness (ed.), o.c., 321, así como J. Cassinet, 'Liens entre l'infini et l'axiome du choix', Structures in
Mathematical Theories (Servicio editorial de la Universidad del Pais Vasco, 1990), 231-232, y J. Cavaillès, Philosophie mathématique (Paris: Hermann, 1961), 140 (nota 2); esta interpretación se originó al parecer en G. Hessenberg, 'Grundbegriffe
der Mengenlehre' (Abhandlungen der Fries'schen Schule, 1 (1906), 479-706).
26. Ya en el primer prólogo señala Dedekind que el concepto de número cardinal es "realmente muy complicado". En su exposición, la posibilidad de asignar a cada conjunto finito Σ un número n (por tanto, no la condición de unicidad de esta asigna- ción, sino la condición de existencia) depende de la complicada demostración inversa de 159, y por tanto del axioma de elección.