Por ejemplo, el grupo de bits: 1 j 101100110 : : : 0 j 0000110 , donde m = 24; r = 7, indica que el número es negativo (primer bit 1), la mantisa a = (0;101100110 : : : 0)2 = 0;69922;
p + p0 = (0000110)2 = 6: Puesto que p0 = 2r 1 = 27 1 = 64, entonces p = 6 p0 = 58;
x = 0;69922 2 58: Note que para r = 7; 64 p 63:
Para el grupo de bits 0j 101100110 : : : 0 j 1000010 se tiene: mantisa a = (0;101100110 : : : 0)2=
0;69922, exponente con corrimiento: p + p0 = (1000010)2 = 66, p0 = 64 entonces p = 66 p0 =
2. Luego x = 0;69922 22 = 2;57688:
1.6.
Tipos de Errores
En la sección 3 hemos visto algunos ejemplos de cálculo de soluciones numéricas de problemas relativamente sencillos que surgen en los ámbitos del álgebra lineal, el análisis matemático, las ecuaciones diferenciales en los que se evidencian los resultados aproximados obtenidos en instrumentos de cálculo como son las calculadoras de bolsillo y los computadores. Con cualquiera de estos instrumentos, los resultados mostrados están sujetos a errores.
En el análisis numérico, uno de los problemas fundamentales es el estudio o análisis del error cometido en cada uno de los métodos de aproximación que se proponen. Interesa establecer la exactitud y precisión en el cálculo de la solución de un problema (P ), la minimización de los errores cometidos en el cálculo de la solución aproximada de (P ). Se distinguen varios tipos de errores que limitan la exactitud. Estos pueden clasi…carse en tres grupos: errores en los datos de entrada o errores inherentes; errores de redondeo y errores de aproximación.
1. Errores en los datos de entrada o errores inherentes. Se deben a esquematizaciones hechas para la reducción de términos matemáticos de cierto modelo. Pueden deberse también a errores debidos en las medidas experimentales de una magnitud física o a observaciones de cualquier otra índole (de tipo económico, social, etc.). Pueden tener también su origen como resultados de un cálculo realizado previamente. Nótese que estos errores aparecen antes de iniciar el cálculo de un cierto problema (P ). En el estudio que nosotros haremos no nos ocuparemos de este tipo de errores. 2. Errores de redondeo. Estos errores son debidos a la necesidad de trabajar con números de máquina. Dependen casi exclusivamente del instrumento de cálculo a disposición. La evaluación rigurosa es, a menudo, muy complicada. Para el cálculo de la solución de ciertos problemas que consideraremos más adelante, los errores de redondeo tienen una in‡uencia enorme que puede arruinar los resultados. Por tanto es de mucha importancia el poder controlarlos.
A continuación presentamos tres números reales y sus aproximaciones con 8, 16, 24, 32 cifras luego del punto decimal, las mismas que han sido obtenidas con el programa de Matemática. El símbolo ' se utilizará en lo sucesivo para indicar aproximación. Tenemos,
805 111 ' 7;25225225; 805 111 ' 7;252252252522522525; 805 111 ' 7;252252252522522525225225; 805 111 ' 7;25225225252252252522522525225225; ' 3;14159265; ' 3;1415926535897932; ' 3;141592653589793238462643; ' 3;14159265358979323846264338327950;
p 2 ' 1;41421356; p2 ' 1;4142135623730950; p 2 ' 1;414213562373095048801689; p 2 ' 1;41421356237309504880168872420970: Note que el número 805
111 es un número racional, su representación decimal es in…nita y periódica. Basta conocer el primer período de su representación decimal y con esta puede escribirse el número con el número de cifras que se desee.
Al representar los números reales como aproximaciones con un número determinado de cifras decimales, se comete un error de redondeo que trataremos más adelante.
3. Errores de aproximación. Este tipo de errores se dividen en dos grupos: los errores de truncamiento y los errores de discretización.
a) Errores de truncamiento. Consideremos los siguientes ejemplos. 1. Sean (an) una sucesión numérica real y
1
P
n=0
anuna serie que suponemos convergente. Denotamos
con S su suma, esto es, S = P1
n=0
an: Con frecuencia, el cálculo exacto de S es muy difícil de obtener,
por lo que se recurre al cálculo aproximado. La idea es aproximar la suma S a través de un número …nito m de términos, digamos Sm =
m
P
n=0
an: Este procedimiento produce un error denominado
de truncamiento. La determinación del número de términos necesarios para la aproximación de la solución S es importante, pués evita la ejecución de cálculos que no mejoran la precisión de la solución, y, disminuyen los costos numéricos.
2. Sean (fn) una sucesión de funciones de…nidas en un intervalo [a; b] de R y 1
P
n=0
fn una serie de
funciones que suponemos converge uniformemente en el intervalo [a; b]: Se de…ne la función f como sigue: f (x) = P1
n=0
fn(x) x 2 [a; b]. Nos interesamos en trazar la grá…ca de la función f: En la
generalidad de situaciones resulta complicado, y en ocasiones imposible, el cálculo de cada f (x): Una forma de resolver este problema es aproximar cada f (x) con una suma …nita de términos de la serie P1
n=0
fn(x), la misma que se elige apropiadamente en función de la precisión que deseamos
obtener. Este proceso de aproximación provoca un error denominado de truncamiento. Por otro lado, dado el volumen de cálculo a realizar es conveniente elaborar un algoritmo numérico para calcular cada f (x): Cuando la serie converge rápidamente este es el camino a seguir. Lastimosamente, en ocasiones, el solo hecho de limitar a un número …nito de términos no basta sobre todo en el caso de series que convergen lentamente, esto conduce a proponer otro tipo de problema que consiste en la búsqueda de un método para acelerar la convergencia de la serie, una vez logrado esto, se pasa a calcular los valores aproximados de f (x): En un capítulo posterior se estudian esta clase de problemas.
b) Errores de discretización. Consideremos los siguientes ejemplos.
1) Sea v una función real continua en el intervalo cerrado [a; b]: Queremos calcular v(x) con x 2 [a; b]; lastimosamente la función v no es conocida en todo el intervalo [a; b] sino en un conjunto …nito de m + 1 puntos de una partición (m) = fx0 = a; x1; ; xm = bg de [a; b]; donde xi 1 < xi
i = 1; ; m; digamos S = f(xi; v(xi)) 2 R2 j i = 0; 1; ; mg. Este problema (P ) se presenta
con mucha frecuencia y se le conoce como problema de interpolación. La idea es aproximar v(x) mediante vh(x) de una función vh de…nida en [a; b] que sea mucho más simple de calcular de modo
que vh(xi) = v(xi) i = 0; 1; ; m; esto conduce a construir la función vh como vh=
i=mP
i=0
v(xi)'i;
donde f'0; ; 'mg es un conjunto de funciones que se construyen apropiadamente. La función vh
así de…nida se conoce con el nombre de función interpolante de v. Este proceso produce un error denominado de discretización. En un capítulo posterior se estudia este tipo de problemas.
En la …gura siguiente se muestra la grá…ca de una función continua v de…nida en el intervalo [0; a] con a > 0; y la de una función interpolante vh (segmentos de recta) de v: Se muestran también los
1.6. TIPOS DE ERRORES 37 puntos de la partición de (m) de [0; a] :
Figura 9 2) Sea L > 0: Se considera el siguiente problema:
hallar una función u 2 C2([0; L]) solución de u00(x) + u(x) = f (x) si x 2]0; L[; u(0) = 0; u(L) = 0;
donde f 2 C( [0; L]); con Ck([0; L]) el espacio de funciones que poseen derivada continua en el intervalo [0; L]; k = 0; 1; ; y se pone C([0; L]) = C0([0; L]). Este problema es parte de la familia de los denominados problemas unidimensionales de valores en la frontera. Con la hipótesis sobre f; se demuestra que este problema tiene solución única u 2 C2([0; L]). Para ciertos tipos de funciones f se puede encontrar soluciones explícitas que no se representan como integrales, para otros tipos de funciones f las soluciones se expresan como integrales de las que no pueden calcularse sus primitivas o que resultan difíciles de calcularse. Por otro lado, se tiene interés en calcular numéricamente la solución u(x) x 2 [0; L]: Todos estos argumentos nos conducen a resolver el problema de valores en la frontera en forma numérica, es decir, proceder a discretizar dicho problema. Para el efecto, sea m 2 Z+; (m) = fx0 = 0; x1; ; xm= Lg una partición de [0; L]; donde xj 1< xj j = 1; ; m:
Ponemos hj = xj xj 1 j = 1; ; m; h = maxfhj j i = 1; ; mg: En el caso de una partición
uniforme, se de…ne h = L
m y xj = jh j = 0; 1; ; m: Consideremos una partición uniforme. Se denota con uj a una aproximación de u(xj) j = 0; 1; ; m: En el capítulo 2 mostraremos que
u00(x) se aproxima mediante el cociente denominado diferencias …nitas centrales de segundo orden que se indica a continuación:
u00(xj) '
u(xj+1) 2u(xj) + u(xj 1)
h2 j = 1; ; m 1:
Con esta aproximación, el problema propuesto de valores en la frontera se aproxima como 8
< :
u(xj+1) 2u(xj) + u(xj 1)
h2 + u(xj) ' f(xj) j = 1; ; m 1;
u(x0) = 0; u(xm) = 0;
por lo que el problema discreto es el siguiente:
hallar !u = (u1; ; um 1) 2 Rm 1 solución del sistema de ecuaciones lineales
( uj+1 2uj + uj 1
h2 + uj = f (xj) j = 1; ; m 1;
u0 = 0; um = 0:
Este proceso de discretización del problema de valores en la frontera, produce un error denominado error de discretización.
La estimación de los errores de discretización es fundamental en el Análisis Numérico. Exacto, inexacto, precisión, imprecisión.
En el lenguaje corriente, los términos exactitud y precisión se usan indistintamente como sinónimos. En el contexto del análisis numérico es importante establecer la diferencia que existe entre estos dos téminos.
El témino exactitud se re…ere a que tan cercano está un valor calculado o medido con el verdadero valor; mientras que el término inexacto se de…ne como una desviación del verdadero valor. También se considerará como exacto aquel resultado o método riguroso, conforme a la lógica.
El término precisión se re…ere a que tan cercano está un valor individual calculado o medido con cualquier otro; mientras que el término imprecisión se re…ere a una magnitud que se aleja una de otra. Se comprenderá como precisión aquello que no deja incertidumbre, determinado rigurosamente. Por ejemplo, con 9 cifras luego del punto decimal, p3 se calcula como 1;732050808. En este caso hablamos de una exactitud de 10 9: Cuandop3 se aproxima como 1;7320, 1;7320508, 1;732050808 hablamos de una precisión de 4; 7; 9 cifras luego del punto decimal.
Si I = 2 R 0 p xdx = 2 3( p
2)3 ' 1;88562; hablamos en este caso del cálculo de I con una exactitud de 10 5; y aplicando la regla del rectángulo siguiente: I5 = 0;4(p0;2 +p0;6 +p1;0 +p1;4 +p1;8),
resulta I5 ' 1;898667; hablamos en este caso de un cálculo de I5 con una precisión de 10 6; y un
cálculo aproximado de I con una precisión de 10 2:
Con error de cálculo entenderemos tanto la inexactitud como la imprecisión. Tenemos Verdadero valor = Valor aproximado + error,
donde el error puede deberse a los errores de redondeo, de aproximación (truncamiento, discretización) o ambos. De manera general, al verdadero valor lo conoceremos como solución exacta y al valor aproximado lo denominaremos solución numérica o también solución aproximada. De estas observaciones tenemos que los métodos numéricos deben ser su…cientemente exactos y precisos.