TIPOS DE MODELACIÓN

Para los fines de este trabajo, existen dos tipos de modelación: · Modelación Directa

· Modelación Inversa

Cuando describimos un sistema dinámico cualquiera, lo hacemos en términos de parámetros y relaciones matemáticas entre diversas cantidades, por ejemplo, fuerzas y aceleraciones. Las relaciones matemáticas, a su vez, las derivamos o deducimos de las leyes naturales que conocemos y de las relaciones empíricas que observamos. En aplicaciones prácticas, para sistemas complejos caracterizados por muchas variables y, a menudo, por relaciones matemáticas que combinan ecuaciones diferenciales ordinarias y

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la Ecuación III.3. Además es importante notar, que mientras M’ (jacobiano del modelo M)

relaciona los cambios en las n variables de entrada e con cambios en las m variables de

salida s, el transpuesto del jacobiano de M transforma los cambios de una función

arbitraria de las variables de salida s respecto de los cambios de la misma función en

relación de las variables de entrada e (Gallardo, 2002).

En otras palabras, dado un modelo M cuya derivada o jacobiano existe y relaciona

los cambios en los parámetros de entrada e con los cambios en los parámetros de salida s

(problema directo), también existe el transpuesto (adjunto) del jacobiano de M que

relaciona los cambios en los parámetros de salida s con los cambios en los parámetros de

entrada e (problema inverso o adjunto). Esquemáticamente (Figura III.4), en el caso

directo se avanza en el tiempo a través del jacobiano M’ y en el caso inverso se retrocede

en el tiempo a través del jacobiano transpuesto M’t. Así, el problema inverso no sólo

requiere regresar en el tiempo sino que además debe tomar el camino adjunto (Gallardo, 2002).

Figura III.4: Rol que desempeña el jacobiano del modelo M y de su transpuesto M’

relacionando los cambios entre las variaciones de las n variables de entrada e y de las m

variables de salida s de modo directo (hacia la derecha siguiendo la derivada del modelo M) y de modo inverso (hacia la izquierda siguiendo el transpuesto de la derivada del

modelo M). (Gallardo, 2002)

Las relaciones presentadas en el caso matricial son generales y su aplicabilidad se da en el caso de funciones y ecuaciones diferenciales. En el caso más general se habla, en lugar del operador matricial jacobiano y de su transpuesto, del operador y su operador adjunto. n i e_i ,..., 1 = ∆ m j s_j ,..., 1 = ∆ ' M t M'

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2. Buscar el operador o modelo adjunto que satisfaga la relación expresada en la Ecuación III.4 imponiendo una condición de optimalidad, que se elige de acuerdo al modelo, las observaciones y el conocimiento empírico que se tenga. En términos más estrictos, se resuelve un sistema de ecuaciones dado una de las siguientes condiciones:

1) Modelo y operador directo (ecuación de estado), incluyendo condiciones iniciales y de frontera dadas por el problema físico.

2) Modelo y operador adjunto (ecuación de estado adjunto), incluyendo condiciones iniciales y de frontera elegidas convenientemente.

3) Condición de optimalidad (ecuación de observación) determinada por las observaciones, el modelo y conocimientos empíricos. Este es el esquema empleado en este trabajo.

Se puede demostrar que este sistema tiene una solución única, es decir, un conjunto óptimo de parámetros de entrada, si el operador es convexo (su derivada es creciente), diferenciable (admite derivadas parciales) y coercivo (converge, tiende a un limite) en un espacio cerrado (Gallardo, 2002).

La búsqueda de funcionales de minimización, así como la búsqueda del operador adjunto que resuelva el problema inverso se abordan, en la práctica, a través de dos métodos principales: secuenciales y variacionales (Gallardo, 2002). Los métodos secuenciales, por ejemplo filtros de Kalman o funciones de Green, incorporan al modelo las observaciones de manera secuencial y, si el modelo es no lineal, recursiva, minimizando el funcional de distancia entre modelo y observaciones. Los métodos variacionales integran simultáneamente todas las observaciones al modelo y resuelven el sistema de ecuaciones III.2, III.3 y III.4.

Capítulo III. Fundamentos de Contaminación Atmosférica

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La modelación inversa es un área de creciente interés por parte de la comunidad de científicos atmosféricos. Inicialmente, la modelación inversa era usadas en ciencias atmosféricas mayoritariamente en el contexto de problemas de asimilación de datos meteorológicos y pronóstico del tiempo. Esto debido a la mayor disponibilidad de observaciones meteorológicas tradicionales (viento, temperatura, humedad, entre otras) que de observaciones de trazas atmosféricas como gases y aerosoles. Sin embargo, el creciente desarrollo ha ampliado el uso de la modelación inversa en química atmosférica. Además, se está empleando como una técnica de estimación de sensibilidades respecto de parámetros (por ejemplo emisiones, tasas de depositación, entre otras) así como para la optimización de parámetros en modelos de calidad del aire (Gallardo, 2002). Algunos ejemplos de aplicaciones de estas técnicas se muestran en la Tabla III.3

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Tabla III.3: Algunas aplicaciones de modelación inversa en ciencias atmosféricas

(Gallardo, 2002).

TEMA U OBJETIVO TÉCNICA REFERENCIA

Análisis de campos sinópticos a modo de minimizar el error del pronóstico a partir de un estado inicial pobre e irregularmente determinado u observado (problema

de inicialización).

Interpolación del campo geopotencial de 500 hPa desde las estaciones de radiosondeos a las celdas del modelo

barotrópico usando un polinomio bidimensional e interpolación estadística a través de la cual se asignan pesos óptimos, minimizando la varianza a los datos según

su representatividad.

Panofsky, 1949

Ciclo biogeoquímico del CO2,

estimación de fuentes y sumideros.

Acotamiento de las estimaciones de los flujos de CO2 a través de la resolución del

problema inverso para un modelo meridional y difusivo.

Bolin y Keeling, 1963 Problema de inicialización y

problema de sensibilidad a las condiciones de frontera laterales en

modelos de área limitada.

Asimilación variacional de datos en 3 y 4

dimensiones. Bengtsson, 1980

Problema de estimación probabilística del estado futuro del

tiempo.

Predicción de conjuntos (ensembles). En esta técnica se resuelve el problema

adjunto para estimar sensibilidades máximas y luego se realizan conjuntos de corridas para las variables o sensibilidades

seleccionadas.

Molteni et al, 1996

Ciclo biogeoquímico del metano, estimación de fuentes

Estimación de distribución óptima de flujos de emisión a partir de las observaciones de la concentración usando

prueba y error sobre un conjunto de escenarios consistentes con el error de las

observaciones.

Fung et al., 1991

Optimización del desempeño de modelos fotoquímicos asimilando

observaciones satelitales, determinación de la capacidad oxidativa de la atmósfera y ciclos

biogeoquímicos

Asimilación variacional de datos, método del adjunto y procedimientos recursivos

paralelizados (Filtros de Kalman, funciones de Green).

Fisher y Lary, 1995; Prinn et al, 1995; Enting,

1999; Ménard, 1999

Estimación de fuentes radioactivas y respuesta a emergencias nucleares

Asimilación variacional de datos. Resolución del problema adjunto.

Robertson y Langner, 1998; Pudykiewickz, 1998; Hourdin e Issartel,

2000; Seibert, 2001 Estimación de fuentes y parámetros

de reactividad, diseño de redes de monitoreo y sensibilidad a errores en

inventarios de emisiones para modelos fotoquímicos y emergencias

nucleares.

Resolución del problema adjunto, diferenciación automática y asimilación

variacional de datos.

Elbern et al, 2000; Quélo y Sportisse, 2002

Capítulo IV. Problemática Ambiental en la ZMG

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Capítulo IV: PROBLEMÁTICA AMBIENTAL EN LA ZONA