Toda permutaci´ on se descompone o bien como producto de un n´ umero par de transposiciones, o bien como producto de un n´ umero impar de transposiciones.

Demostraci´on.Como vimos en el lema anterior, al aplicar sucesivamente transpo- siciones a Δ, s´olo cambio el signo, luego si

σ = τ₁τ₂· · · τm,

donde las τi son transposiciones, por los comentarios previos al lema,

σ∗Δ = (−1)mΔ.

Si σ tuviera una descomposici´on como producto de un n´umero par de transposiciones y otra como producto de un n´umero impar de transposiciones llegar´ıamos a una

contradicci´on. 

Definici´on 4.10. Diremos que una permutaci´on es par si se puede descomponer como producto de un n´umero par de transposiciones. En caso contrario diremos que la permutaci´on es impar.

El conjunto An tiene caracter´ısticas que lo hacen interesante y lo estudiaremos

con detenci´on. Un resultado que no debe sorprender demasiado es que la mitad de las permutaciones son pares y la mitad son impares.

Teorema 4.11. Si n > 1, la cardinalidad de An es n₂!.

Demostraci´on.Sea B el conjunto de las permutaciones impares y consideremos la siguiente funci´on:

f : An −→ B

σ −→ σ (1, 2)

La funci´on est´a bien definida ya que si σ es par, el producto de σ por una transposici´on es impar.

La funci´on es inyectiva, ya que si

σ(1, 2) = τ (1, 2), σ(1, 2)(1, 2) = τ (1, 2)(1, 2),

σId = τ Id,

σ = τ.

La funci´on es sobreyectiva, puesto que si τ es una permutaci´on impar, τ (1, 2) es par, luego

f (τ (1, 2)) = τ (1, 2)(1, 2) = τ.

Esta funci´on demuestra que hay tantas permutaciones pares como impares, y como toda permutaci´on es par o impar, hay la mitad de cada una. 

Resulta interesante notar tambi´en que el producto de dos permutaciones pares es tambi´en par, decimos que el conjunto An es cerrado bajo productos. Es decir, si

operamos dos elementos de An, el resultado tambi´en pertenece a An. Lo mismo puede

decirse de las permutaciones inversas. La inversa de una permutaci´on par tambi´en es par, ya que como vimos m´as arriba, la inversa de un producto de transposiciones es el producto de las mismas transposiciones pero en el orden inverso, luego su n´umero no var´ıa.

Por otra parte, el producto de permutaciones impares es par, es decir, el conjunto de las permutaciones impares no es cerrado bajo productos.

4.1.2 Ejercicios

1. Considere la permutaci´on τ = (1 2 3 4 5), ¿cu´antas permutaciones distintas hay en el conjunto . . . τ−2, τ−1, τ0, τ , τ2. . . ? Repita el ejercicio con τ = (1 2 3) (4 5). Haga

lo mismo con otras permutaciones elegidas por usted. ¿Qu´e puede conjeturar? 2. Escriba una permutaci´on en S₁₀. Descomp´ongala como producto de ciclos disjun-

tos. Descomp´ongala como producto de transposiciones. H´agalo de dos maneras distintas. Haga variaciones de este ejercicio hasta que sienta que lo domina.

3. Definimos el orden de una permutaci´on τ como el menor entero positivo n tal que τn _{= Id.}

a) Demuestre que el orden de un ciclo es igual a su largo. b) Encuentre el orden de  1 2 3 4 5 2 4 5 1 3  . c) Encuentre el orden de (1 3)(2 5), de (1 3)(3 5) y de (1 3)(4 5 6 2).

d) ¿Cu´al es el orden de un producto de ciclos? Haga varios ejemplos y conjeture un teorema. Demu´estrelo.

e) ¿Cu´ales son los ´ordenes posibles para una permutaci´on en S₆?, ¿en S₇? 4. a) Escriba la permutaci´on (a b c)2 como un ciclo de largo tres.

b) Encuentre un ciclo τ de largo tres tal que τ2= (a b)¸.

c) Escriba la permutaci´on (a b c d e)2 como un ciclo de largo cinco. d) Encuentre un ciclo τ de largo cinco tal que τ2= (a b c d e). 5. Sean σ una permutaci´on y (a₁a₂· · · ak) un ciclo. Demuestre que

σ(a₁a₂· · · ak)σ−1= (σ(a₁) σ(a₂)· · · (ak) ).

6. Demuestre que no existe una permutaci´on σ tal que σ (1 3 5) = (1 2 3 4)σ.

4.2 Isometr´ıas

En esta secci´on estudiaremos otro conjunto de biyecciones, esta vez se trata de apli- caciones del plano euclidiano en s´ı mismo que preservan distancias. Tales funciones se llaman isometr´ıas. Este es un interesante ejemplo de c´omo el ´algebra aparece tambi´en dentro de la geometr´ıa.

Definici´on 4.12. Una isometr´ıa del planoR2en s´ı mismo es una funci´on

σ :R2−→ R2,

tal que para todo par de puntos P y Q del plano,

d(σ(P ), σ(Q)) = d(P, Q),

donde d(P, Q) es la distancia euclidiana habitual, vale decir, si

P = P (x₁, y₁) y Q = Q(x₂, y₂),

d(P, Q) =(x₂− x₁)2+ (y₂− y₁)2.

Debemos observar que la funci´on identidad es obviamente una isometr´ıa. Adem´as si σ y τ son isometr´ıas, entonces

d(στ (P ), στ (Q)) = d(σ(τ (P )), σ(τ (Q))) = d(τ (P ), τ (Q)) = d(P, Q),

luego σ τ es tambi´en una isometr´ıa, en otras palabras, el conjunto de todas las iso- metr´ıas del plano es cerrado bajo productos. As´ı mismo, es cerrado bajo inversos, ya que como para cualquier P ∈ R2

si σ es una isometr´ıa,

d(σ−1(P ), σ−1(Q)) = d(σσ−1(P ), σσ−1(Q)) = d(P, Q).

Ejemplos 4.13.

1. Traslaciones. Una traslaci´on es una funci´on que mueve todos los puntos del plano una cierta distancia en una direcci´on dada. Anal´ıticamente,

(x, y)−→ (x + a, y + b) ,

donde el vector (a, b) fija la direcci´on y distancia de la traslaci´on.

2. Rotaciones. Consiste en rotar el plano en un ´angulo dado θ en torno a un punto fijo O. Anal´ıticamente, si fijamos el origen de nuestro sistema de coordenadas en el punto O,

(x, y)−→ (x cos θ − ysenθ, xsenθ + y cos θ).

Un poco de trigonometr´ıa elemental nos ayudar´a a demostrar que toda rotaci´on es una isometr´ıa.

3. Reflexiones. Consiste en reflejar los puntos del plano con respecto a una recta arbitraria. Es decir, el punto P es enviado en el punto P que se encuentra sobre la perpendicular por P a la recta y a la misma distancia de ella que P , del otro lado de la recta.

Como veremos un poco m´as adelante, esencialmente, estas son las ´unicas iso- metr´ıas del plano. En efecto, toda isometr´ıa es el producto de una traslaci´on, una rotaci´on y una reflexi´on.

No es del todo obvio que una isometr´ıa es, como hemos insinuado, una biyecci´on en R2. Para demostrarlo, empezaremos con un lema que se desprende directamente de la definici´on de isometr´ıa.

Lema 4.14. La imagen del tri´angulo ABC por una isometr´ıa es un tri´angulo con-